伤城文章网 > 数学 > 山东省德州市2017届高三(上)期末数学试卷(文科)

山东省德州市2017届高三(上)期末数学试卷(文科)


2016-2017 学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知全集 U=R,集合 M={x|x2+2x﹣3≥0},N={x|log2x≤1},则(?UM)∪N= ( )

A.{x|﹣1≤x≤2} B.{x|﹣1≤x≤3} C.{x|﹣3<x≤2} D.{x|0<x<1} 2.复数 z= A.i ,则 =( )

B.1+i C.﹣i D.1﹣i )

3.已知向量 =(1,x) , =(2x+3,﹣x) (x∈R) ,若 ∥ ,则 x 的值为( A.﹣2 B.﹣2 或 0 C.1 或﹣3 D.0 或 2

4.已知 p:函数 f(x)= x3﹣ ax2+x+b 在 R 上是增函数,q:函数 f(x)=xa﹣2 在(0,+∞)上是增函数,则 p 是¬q( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

5.如图所示的程序框图,若输入 n,x 的值分别为 3,3,则输出 v 的值为(

A.1

B.5

C.16 D.48 +α)= ,则 cos( C.﹣ D.
第 1 页(共 26 页)

6.已知 sin( A. B.

﹣2α)=(



7.抛物线 y2=8x 与双曲线 C:



=1(a>0,b>0)有相同的焦点,且该焦 )

点到双曲线 C 的渐近线的距离为 1,则双曲线 C 的方程为( A.x2﹣ =1 B.y2﹣ =1 C. ﹣y2=1 D. ﹣y2=1

8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是( cm2( )



A.80 B.76 C.72 D.68 9.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策,为了解适龄民众对放开生育 二胎政策的态度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得 到数据如表: 生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100 )

根据以上调查数据,认为“生二胎与年龄有关”的把握有( 参考公式:x2= 参考数据: P(x2≥k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

,其中 n=n11+n12+n21+n22.

A.90% B.95% C.99% D.99.9% 10. 方程 x2+ x﹣1=0 的解可视为函数 y=x+ 与函数 y= 的图象交点的横坐标,

第 2 页(共 26 页)

若 x4+ax﹣4=0 的各实根 x1、x2、…、xk(k≤4)所对应的点(xi, k)均在直线 y=x 的同一侧,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣6) )

) (i=1,2,…,

B. 6) (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) C. (6,+∞) D. (﹣6,

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知函数 f(x)= 则 f(f(﹣2) )的值 .

12.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 T, 其范围为[0,10],分别有五个级别; T∈[0,2]畅通;T∈[2,4]基本畅通;T ∈[4,6]轻度拥堵;T∈[6,8]中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵.晚高峰时段(T ≥2) ,从某市交能指挥中心选取了市区 20 个交能路段,依据其交能拥堵指数数 据绘制的直方图如图所示,用分层抽样的方法从交通指数在[4,6],[6,8],[8, 10]的路段中共抽取 6 个中段,则中度拥堵的路段应抽取 个.

13.若变量 x,y 满足

,则 x2+y2 的最小值是



14.如图,正方形边长是 2,直线 x+y﹣3=0 与正方形交于两点,向正方形内投 飞镖,则飞镖落在阴影部分内的概率是 .

15.函数 f(x)在[a,b]上有意义,若对任意 x1、x2∈[a,b],有 f(



第 3 页(共 26 页)



[f(x1)+f(x2)],则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P,现给出如下命题:

①f(x)= 在[1,3]上具有性质 P; ②若 f(x)在区间[1,3]上具有性质 P,则 f(x)不可能为一次函数; ③若 f(x)在区间[1,3]上具有性质 P,则 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f (x)=1,x∈[1,3]; ④若 f(x)在区间[1,3]上具有性质 P,则对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f ( )≤ [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. .

其中真命题的序号为

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.已知向量 =(2sinx, cosx) , =(﹣sinx,2sinx) ,函数 f(x)= ? .

(Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若角 C 为锐角,且 f( ﹣ )= ,a= ,S△ABC=2 ,求 c 的值.

17.某高校青年志愿者协会,组织大一学生开展一次爱心包裹劝募活动,将派出 的志愿者,分成甲、乙两个小组,分别在两个不同的场地进行劝募,每个小组各 6 人,爱心人士每捐购一个爱心包裹,志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念,茎 叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数, 且图中乙组的一 个数据模糊不清,用 x 表示,已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少一 个. (1)求图中 x 的值; (2)在乙组的数据中任取两个,写出所有的基本事件并求两数据都大于甲组增 均数的概率.

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ACB,AA1=A1C=AC=2 BC= ,且 A1C⊥BC,点 E,F 分别为 AB,A1C1 的中点.
第 4 页(共 26 页)



(1)求证:BC⊥平面 ACA1; (2)求证:EF∥平面 BB1C1C; (3)求四棱锥 A1﹣BB1C1C 的体积.

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,数列{ }的前 n 项和为 Tn,试证明:Tn< .

20.已知函数 f(x)=ex(ax2+bx+c)的导函数 y=f′(x)的两个零点为﹣3 和 0. (其 中 e=2.71828…) (Ⅰ)当 a>0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为﹣e3,求 f(x)在区间[﹣5,1]上的最大值. 21.如图,在平面平直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 离心率 e= + =1(a>b>0)的

,在顶点为 A(﹣2,0) ,过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭

圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP ⊥EQ?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由; (3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求 的最小值.

第 5 页(共 26 页)

第 6 页(共 26 页)

2016-2017 学年山东省德州市高三 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.已知全集 U=R,集合 M={x|x2+2x﹣3≥0},N={x|log2x≤1},则(?UM)∪N= ( )

A.{x|﹣1≤x≤2} B.{x|﹣1≤x≤3} C.{x|﹣3<x≤2} D.{x|0<x<1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出集合的等价条件,根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:M={x|x2+2x﹣3≥0}={x|x≥1 或 x≤﹣3},N={x|log2x≤1}={x|0<x ≤2}, 则?UM={x|﹣3<x<1}, 则(?UM)∪N={x|﹣3<x≤2}, 故选:C

2.复数 z= A.i

,则 =(



B.1+i C.﹣i D.1﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则 可求. 【解答】解:z= 则 =i. 故选:A. = ,

3.已知向量 =(1,x) , =(2x+3,﹣x) (x∈R) ,若 ∥ ,则 x 的值为( A.﹣2 B.﹣2 或 0 C.1 或﹣3 D.0 或 2 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
第 7 页(共 26 页)



【分析】根据题意和平面向量共线的坐标表示列出方程,化简后求出 x 的值. 【解答】解:∵向量 =(1,x) , =(2x+3,﹣x) (x∈R) ,且 ∥ , ∴﹣x﹣x(2x+3)=0,即 2x(x+2)=0, 解得 x=﹣2 或 x=0, 故选 B.

4.已知 p:函数 f(x)= x3﹣ ax2+x+b 在 R 上是增函数,q:函数 f(x)=xa﹣2 在(0,+∞)上是增函数,则 p 是¬q( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据函数单调性和导数的关系结合函数单调性的性质分别求出 p,q 的 等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:若函数 f(x)= x3﹣ ax2+x+b 在 R 上是增函数, 则 f′(x)=x2﹣ax+1≥0 恒成立,即判别式△=a2﹣4≤0,则﹣2≤a≤2,即 p:﹣ 2≤a≤2, 若函数 f(x)=xa﹣2 在(0,+∞)上是增函数,则 a﹣2>0,即 a>2 即 q:a>2, ¬q:a≤2, 则 p 是¬q 的充分不必要条件, 故选:A

5.如图所示的程序框图,若输入 n,x 的值分别为 3,3,则输出 v 的值为(



第 8 页(共 26 页)

A.1

B.5

C.16 D.48

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 v,i 的值,可得当 i=﹣1 时 不满足条件 i≥0,退出循环,输出 v 的值为 48. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 n=3,x=3,v=1,i=2 满足条件 i≥0,执行循环体,v=5,i=1 满足条件 i≥0,执行循环体,v=16,i=0 满足条件 i≥0,执行循环体,v=48,i=﹣1 不满足条件 i≥0,退出循环,输出 v 的值为 48. 故选:D.

6.已知 sin( A. B.

+α)= ,则 cos( C.﹣ D.

﹣2α)=(



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用诱导公式,求得 cos( 求得 cos( ﹣2α)的值. = =cos +α) ( ﹣α) , 则 cos ( =2 ﹣2α) ﹣α)的值,再利用二倍角的余弦公式,

【解答】 解: ∵sin (

第 9 页(共 26 页)

﹣1= ﹣1=﹣ , 故选:C.

7.抛物线 y2=8x 与双曲线 C:



=1(a>0,b>0)有相同的焦点,且该焦 )

点到双曲线 C 的渐近线的距离为 1,则双曲线 C 的方程为( A.x2﹣ =1 B.y2﹣ =1 C. ﹣y2=1 D. ﹣y2=1

【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 【分析】先求出抛物线的焦点坐标,即可得到 c=2,再求出双曲线的渐近线方程, 根据点到直线的距离求出 b 的值,再求出 a,问题得以解决. 【解答】解:∵抛物线 y2=8x 中,2p=8, ∴抛物线的焦点坐标为(2,0) . ∵抛物线 y2=8x 与双曲线 C: ∴c=2, ∵双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x, ﹣ =1(a>0,b>0)有相同的焦点,

且该焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 1, ∴ =1,即 =1,解得 b=1,

∴a2=c2﹣b2=3, ∴双曲线 C 的方程为 故选:D. ﹣y2=1,

8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是( cm2( )



第 10 页(共 26 页)

A.80 B.76 C.72 D.68 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知,几何体是两个相同长方体的组合,长方体的长宽高分别为 4,2,2,两个长方体的重叠部分是一个边长为 2 的正方形,由此能求出该几何 体的表面积. 【解答】解:由三视图知,几何体是两个相同长方体的组合, 长方体的长宽高分别为 4,2,2, 两个长方体的重叠部分是一个边长为 2 的正方形,如图, 该几何体的表面积为: S=2(2×2×2+2×4×4)﹣2(2×2)=72. 故选:C.

9.2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策,为了解适龄民众对放开生育 二胎政策的态度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得
第 11 页(共 26 页)

到数据如表: 生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100 )

根据以上调查数据,认为“生二胎与年龄有关”的把握有( 参考公式:x2= 参考数据: P(x2≥k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

,其中 n=n11+n12+n21+n22.

A.90% B.95% C.99% D.99.9% 【考点】独立性检验的应用. 【分析】根据列联表中的数据,计算 K2 的值,即可得到结论. 【解答】解:由题意,K2= ∴有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”. 故选 A. ≈3.030>2.706,

10. 方程 x2+

x﹣1=0 的解可视为函数 y=x+

与函数 y= 的图象交点的横坐标, ) (i=1,2,…,

若 x4+ax﹣4=0 的各实根 x1、x2、…、xk(k≤4)所对应的点(xi, k)均在直线 y=x 的同一侧,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,﹣6) )

B. 6) (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) C. (6,+∞) D. (﹣6,

【考点】函数的图象. 【分析】原方程等价于 x3+a= ,原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y= 的交点 的横坐标:分 a>0 与 a<0 讨论,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x3+a= , 原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y= 的交点的横坐标;
第 12 页(共 26 页)

而曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 向上或向下平移|a|个单位而得到的. 若交点(xi, ) (i=1,2,k)均在直线 y=x 的同侧,

因直线 y=x3 与 y= 交点为: (﹣2,﹣2) , (2,2) ;

所以结合图象可得:



解得 a>6 或 a<﹣6,即实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣6)∪(6,∞) , 故选:B

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知函数 f(x)= 【考点】对数的运算性质. 【分析】利用分段函数在不同区间的解析式不同,分别代入即可得出. 【解答】解:∵﹣2<0,∴f(﹣2)= ∵9>0,∴f(9)=log39=2. ∴f(f(﹣2) )=2. 故答案为 2. =9; 则 f(f(﹣2) )的值 2 .

12.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 T,
第 13 页(共 26 页)

其范围为[0,10],分别有五个级别; T∈[0,2]畅通;T∈[2,4]基本畅通;T ∈[4,6]轻度拥堵;T∈[6,8]中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵.晚高峰时段(T ≥2) ,从某市交能指挥中心选取了市区 20 个交能路段,依据其交能拥堵指数数 据绘制的直方图如图所示,用分层抽样的方法从交通指数在[4,6],[6,8],[8, 10]的路段中共抽取 6 个中段,则中度拥堵的路段应抽取 3 个.

【考点】频率分布直方图;分层抽样方法. 【分析】解:由频率分布直方图知[4,6],[6,8],[8,10]的路段共有 18 个, 由此能求出按分层抽样, 从 18 个路段选出 6 个, 中度拥堵的路段应抽取的个数. 【解答】解:由频率分布直方图知[4,6],[6,8],[8,10]的路段共有: (0.1+0.2)×20+(0.25+0.2)×20+(0.1+0.05)×20=18 个, 按分层抽样,从 18 个路段选出 6 个, ∵T∈[6,8]中度拥堵, ∴中度拥堵的路段应抽取:6× 故答案为:3. =3 个.

13.若变量 x,y 满足 【考点】简单线性规划.

,则 x2+y2 的最小值是

1



【分析】画出可行域,目标函数 z=x2+y2 是可行域中的点(0,﹣1)到原点的距 离的平方,利用线性规划进行求解.

【解答】解:变量 x,y 满足

,如图,

第 14 页(共 26 页)

作出可行域,x2+y2 是点(x,y)到原点的距离的平方, 故最大值为点 A(0,﹣1)到原点的距离的平方, 即|AO|2=1,即 x2+y2 的最小值是:1. 故答案为:1.

14.如图,正方形边长是 2,直线 x+y﹣3=0 与正方形交于两点,向正方形内投 飞镖,则飞镖落在阴影部分内的概率是 .

【考点】几何概型. 【分析】 根据几何概率的求法, 可以得出镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的 面积与总面积的比值. 【解答】解:观察这个图可知:阴影部分是正方形去掉一个小三角形, 设直线与正方形的两个交点为 A,B, ∴在直线 AB 的方程为 x+y﹣3=0 中, 令 x=2 得 A(2,1) , 令 y=2 得 B(1,2) . ∴三角形 ABC 的面积为 s= 则飞镖落在阴影部分的概率是: = ,

第 15 页(共 26 页)

P=1﹣

=1﹣

=1﹣ = .

故答案为: .

15.函数 f(x)在[a,b]上有意义,若对任意 x1、x2∈[a,b],有 f( ≤



[f(x1)+f(x2)],则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P,现给出如下命题:

①f(x)= 在[1,3]上具有性质 P; ②若 f(x)在区间[1,3]上具有性质 P,则 f(x)不可能为一次函数; ③若 f(x)在区间[1,3]上具有性质 P,则 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f (x)=1,x∈[1,3]; ④若 f(x)在区间[1,3]上具有性质 P,则对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 f ( )≤ [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]. ①③④ .

其中真命题的序号为

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据 f(x)在[a,b]上具有性质 P 的定义,结合函数凸凹性的性质,利 用数形结合即可得到结论. 【解答】解:①f(x)= 在[1,3]上为减函数,则由图象可知对任意 x1,x2∈[1, 3],有 ff( )≤ [f(x1)+f(x2)]成立,故①正确: )≤ [f(x1)+f

②不妨设 f(x)=x,则对任意 x1,x2∈[a,b],有 f( (x2)],故②不正确, ③在[1,3]上, f(2)=f[ ]≤ [f(x)+f(4﹣x)],

∵F(x)在 x=2 时取得最大值 1, ∴ ,

∴f(x)=1,即对任意的 x∈[1,3],有 f(x)=1,故③正确;
第 16 页(共 26 页)

∵对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3], f( ∴f( +f(x3)+f(x4)]; 即 f( 故答案为:①③④ )≤ [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].故④正确; )≤ [f(x1)+f(x2)],f( )≤ (f( )+f( )≤ [f(x3)+f(x4)], ) )≤ [f(x1)+f(x2)

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.已知向量 =(2sinx, cosx) , =(﹣sinx,2sinx) ,函数 f(x)= ? .

(Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若角 C 为锐角,且 f( ﹣ )= ,a= ,S△ABC=2 ,求 c 的值.

【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦 定理. 【分析】 (Ⅰ)由已知利用平面向量数量积的运算,三角函数恒等变换的应用化 简函数解析式可得 f(x)=2sin(2x+ )﹣1,令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k

∈Z,即可解得 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)由 f( ﹣ )= ,可解得 sinC= ,结合 C 为锐角,利用同角三角函数

基本关系式可求 cosC,利用三角形面积公式可求 b 的值,进而利用余弦定理可 求 c 的值.
第 17 页(共 26 页)

【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)∵ =(2sinx, cosx) , =(﹣sinx,2sinx) ,函数 f(x)= ? . sin2x+cos2x﹣1=2sin(2x+ ,k∈Z,解得:kπ﹣ ,kπ+ )﹣1,…3 分 ,k∈Z,

∴f(x)=﹣2sin2x+2 ∴令 2kπ﹣ ≤2x+

sinxcosx= ≤2kπ+

≤x≤kπ+

∴f(x)的单调递增区间为:[kπ﹣ (Ⅱ)∵f( ﹣

],k∈Z…6 分

)= ,可得:2sinC﹣1= ,解得 sinC= , = ,…8 分 ,解得:b=6, = = …12 分

∵C 为锐角,可得:cosC= 又∵a= ,S△ABC=2 = absinC=

∴由余弦定理可得:c=

17.某高校青年志愿者协会,组织大一学生开展一次爱心包裹劝募活动,将派出 的志愿者,分成甲、乙两个小组,分别在两个不同的场地进行劝募,每个小组各 6 人,爱心人士每捐购一个爱心包裹,志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念,茎 叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数, 且图中乙组的一 个数据模糊不清,用 x 表示,已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少一 个. (1)求图中 x 的值; (2)在乙组的数据中任取两个,写出所有的基本事件并求两数据都大于甲组增 均数的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (1)由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为 16,从而乙组送出钥匙扣 的平均数为 17,由此能求出 x. (2)乙组送出的钥匙扣的个数分别为 8,12,18,19,22,23,若从乙组中任 取两名志愿者送出钥匙扣的数字,基本事件总数 n=C
第 18 页(共 26 页)

=15,甲组送出的钥匙扣

的平均数为 16 个, 利用列举法求出符合条件的基本事件个数,由此能求出结果. 【解答】解: (1)由茎叶图知甲组送出钥匙扣的平均数为: , 则乙组送出钥匙扣的平均数为 17, ∴ 解得 x=9. (2)乙组送出的钥匙扣的个数分别为 8,12,18,19,22,23, 若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字,基本事件总数 n=C 甲组送出的钥匙扣的平均数为 16 个,符合条件的基本事件有: (18,19) , (18,22) , (18,23) , (19,22) , (19,23) , (22,23) , 共有 6 个基本事件,故所求概率为 p= = . =15, ,

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ACB,AA1=A1C=AC=2 BC= ,且 A1C⊥BC,点 E,F 分别为 AB,A1C1 的中点.



(1)求证:BC⊥平面 ACA1; (2)求证:EF∥平面 BB1C1C; (3)求四棱锥 A1﹣BB1C1C 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的 判定. 【分析】 (1)推导出 A1D⊥AC,A1D⊥BC,A1C⊥BC,由此能证明 BC⊥平面 ACA1. (2)设 B1C1 的中点为 G,连结 FG、GB,推导出四边表 FGBE 是平行四边形,从 而 EF∥BG,由此能证明 EF∥平面 BB1C1C. (3)四棱锥 A1﹣BB1C1C 的体积: = ,由此能求出结果.

【解答】证明: (1)∵在△AA1C1 中,AA1=A1C,取 D 为 AC 中点,
第 19 页(共 26 页)

∴A1D⊥AC, ∵侧面 AA1C1C⊥底面 ABC, ∴侧面 AA1C1C∩底面 ABC=AC, ∴A1D⊥平面 ABC, ∵BC 在平面 ABC 上,∴A1D⊥BC, 又 A1C⊥BC,A1C、AD 都在平面 ACA1 上,且 A1C∩AD=D, ∴BC⊥平面 ACA1. (2)设 B1C1 的中点为 G,连结 FG、GB, 在四边形 FGBE 中,FG∥A1B1,且 FG 又∵EB∥A1B1,且 EB= A1B1, ∴ ,∴四边表 FGBE 是平行四边形, A1B1,

∴EF∥BG, 又∵BG? 平面 BB1C1C,EF?平面 BB1C1C, ∴EF∥平面 BB1C1C. 解: (3)∵AA1=A1C=AC=2 ∴ , ,

又由(1)知 BC⊥平面 ACA1,AC? 平面 ACA1, ∴BC⊥AC, 又 BC= ,∴S△ABC= ,

∴四棱锥 A1﹣BB1C1C 的体积: = = .

19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*) .
第 20 页(共 26 页)

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,数列{ }的前 n 项和为 Tn,试证明:Tn< .

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)根据数列的项和和之间的关系,即可求数列{an}的通项公式; bn= (2) 累加即可求数列{ = }的前 n 项和为 Tn , = ,

【解答】解: (1)由题意得 an+1=2Sn+2,an=2Sn﹣1+2, (n≥2) , 两式相减得 an+1﹣an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an, 则 an+1=3an,n≥2, 所以当 n≥2 时,{an}是以 3 为公比的等比数列. 因为 a2=2S1+2=4+2=6,满足 的等比数列, ∴数列{an}的通项公式;an=2×3n﹣1 (2)证明:bn= = Tn= ×[ = , +…+ < . ] = , 对任意正整数成立 {an}是首项为 2,公比为 3

20.已知函数 f(x)=ex(ax2+bx+c)的导函数 y=f′(x)的两个零点为﹣3 和 0. (其 中 e=2.71828…) (Ⅰ)当 a>0 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)的极小值为﹣e3,求 f(x)在区间[﹣5,1]上的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出 f′(x)=ex[ax2+(2a+b)x+b+c],推导出 ax2+(2a+b)x+b+c=0
第 21 页(共 26 页)

的两根为﹣3 和 0,从而得到 b=﹣c,a=﹣c,由此能求出 f(x)的单调区间. (Ⅱ)由 f(x)=aex(x2+x﹣1) ,当 a>0 时,由 f(0)=﹣e3,解得 c=﹣e3,a=e3; 当 a<0 时,由 f(﹣3)=﹣e3,得 a=﹣ 上的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=ex(ax2+bx+c) , ∴f′(x)=ex[ax2+(2a+b)x+b+c], ∵导函数 y=f′(x)的两个零点为﹣3 和 0, ∴ax2+(2a+b)x+b+c=0 的两根为﹣3 和 0, ∴ ,即 b=﹣c,a=﹣c, ,由此能求出 f(x)在区间[﹣5,1]

f′(x)=ex(ax2+3ax) ,a>0, 令 f′(x)>0,解得 x>0 或 x<﹣3;令 f′(x)<0,解得﹣3<x<0, ∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣3) , (0,+∞) ,单调递减区间为(﹣3,0) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=aex(x2+x﹣1) , 当 a>0 时,由(Ⅰ)知 f(0)=﹣e3,解得 c=﹣e3,a=e3, 在区间[﹣5,1]上,f(﹣3)=5,f(1)=e4, ∴f(x)max=e4. 当 a<0 时,f(﹣3)=﹣e3,解得 a=﹣ 在区间[﹣5,1]上,f(0)= ∴f(x)max= , , ,

,f(﹣5)=﹣

综上所述,当 a>0 时,f(x)max=e4, 当 a<0 时, .

21.如图,在平面平直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 离心率 e=

+

=1(a>b>0)的

,在顶点为 A(﹣2,0) ,过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭

圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E.
第 22 页(共 26 页)

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP ⊥EQ?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由; (3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求 的最小值.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由椭圆的左顶点 A(﹣2,0) ,则 a=2,又 e= = ﹣c2=1,即可求得椭圆的标准方程; (2)直线 l 的方程为 y=k(x+2) ,代入椭圆方程,由韦达定理,求得 D 点坐标, 利用中点坐标公式即可求得 P, 由 ? =0, 则向量数量积的坐标运算则 (4m+2) ,则 c= ,b2=a2

k﹣n=0 恒成立,即可求得 Q 的坐标; (3)由 OM∥l,则 OM 的方程为 y=kx,代入椭圆方程,求得 M 点横坐标为 x= ± , =

=

+

≥2

,即可求得

的最小值. ,则 c= ,

【解答】解: (1)由椭圆的左顶点 A(﹣2,0) ,则 a=2,又 e= = 又 b2=a2﹣c2=1, ∴椭圆的标准方程为: ;

(2)由直线 l 的方程为 y=k(x+2) , 由 ,整理得: (4k2+1)x2+16k2x+16k2﹣4=0,

第 23 页(共 26 页)

由 x=﹣2 是方程的根,由韦达定理可知:x1x2=

,则 x2=



当 x2=

,y2=k(

+2)=



∴D(



) ,

由 P 为 AD 的中点, ∴P 点坐标( , ) ,

直线 l 的方程为 y=k(x+2) ,令 x=0,得 E(0,2k) , 假设存在顶点 Q(m,n) ,使得 OP⊥EQ, 则 ⊥ =( ,即 , ? =0, ) , =(m,n﹣2k) ,



×m+

×(n﹣2k)=0

即(4m+2)k﹣n=0 恒成立, ∴ ,即 ,

∴顶点 Q 的坐标为(﹣ ,0) ; (3)由 OM∥l,则 OM 的方程为 y=kx, ,则 M 点横坐标为 x=± ,

OM∥l,可知

=



=



第 24 页(共 26 页)

=



=



=

+

≥2



当且仅当 ∴当 k=± 时,

=

,即 k=± 时,取等号, 的最小值为 2 .

第 25 页(共 26 页)

2017 年 2 月 6 日

第 26 页(共 26 页)


搜索更多“山东省德州市2017届高三(上)期末数学试卷(文科)”

. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . |
网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com