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2015届河北省邯郸市高三摸底考试理科数学试题


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2015 届河北省邯郸市高三摸底考试理科数学试题

理科数学
考试时间:120 分钟 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则( A. M ? N 【答案】C 【解析】 试题分析:由已知 2, 3 ? M , 2, 3 ? N ,所以 M ? N ? {2,3} ,故选 C . 考点:集合的基本运算. 2.复数 z ? B. N ? M C. M ? N ? {2,3}

?

?

) D. M ? N ? (1,4)

i +1 ( i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在( i
B.第二象限 C.第三象限



A.第一象限 【答案】D 【解析】

D.第四象限

试题分析:由已知 z ?

i +1 ?i(i +1) ? ? 1 ? i ,对应点为 (1, ?1) ,选 D . i 1

考点:1.复数的四则运算;2.复数的几何意义. 3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况,采用分层抽样的方法从高一 600 人、 高二 780 人、高三 n 人中,抽取 35 人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为 13 人, 则 n 等于( ) A、660 B、720 C、780 D、800 【答案】B 【解析】 试题分析: 由已知, 抽样比为 考点:随机抽样. 4.设 a ? log2 3 , b ? log4 6 , c ? log8 9 ,则下列关系中正确的是( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a
试卷第 1 页,总 17 页

13 1 35 1 ? ? , n ? 720 . , 所以有 故选 B . 780 60 600 ? 780 ? n 60


D. c ? a ? b

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【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知

a?l o ? 2 g

1 3 b ? l1 o , g ? 6 4 2

2

l ? o g2

6

l o g

c ? log8 9 ? log2 3 9 , 3 9 ? 6 ? 3 ,故 a ? b ? c ,选 A .
考点:对数运算 5 . 设 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则

a1 1 ? a 1 2? a 1 3 ?(
A、75 B、90 【答案】C 【解析】

) C、105 D、120

试题分析:由已知 3(a1 ? d) ? 15,a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 80, 解得 d ? 3, a1 ? 2 , 所以 a11 ? a12 ? a13 ? 3(a1 ? 11d) ? 3? (2 ? 33) ? 105 ,故选 C . 考点:等差数列及其性质 6.阅读程序框图,运行相应程序,则输出 i 的值为( )

A.3 B.4 【答案】B 【解析】

C.5

D.6

试题分析:执行程序,第一次, i ? 1, a ? 2, 不满足 a ? 50 ;第二次, i ? 2, a ? 5, 不满 足 a ? 50 ;第一次, i ? 3, a ? 16, 不满足 a ? 50 ;第一次, i ? 4, a ? 65, 满足 a ? 50 , 结束程序,故选 B . 考点:算法与程序框图. 7.如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1 cm,粗实线为某空间几何体的三视图,则 该几何体的体积为( )

试卷第 2 页,总 17 页

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A.2 cm 【答案】B 【解析】

3

B.4 cm

3

C.6 cm

3

D.8 cm

3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

试题分析:该几何体为一四棱锥,底面是一直角梯形,面积为 锥的高为 2 ,故几何体的体积为 ? 6 ? 2 ? 4 ( cm3 ),选 B. 考点:1.三视图;2.几何体的体积. 8.函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 ( ?

1 ? (2 ? 4) ? 2 ? 6 ,四棱 2

1 3

? ?

, ) 上的图象大致为( 2 2



A 【答案】D 【解析】

B

C

D

试 题 分 析 : f ( x) ? 2 x ? tan x 是 奇 函 数 , 其 图 象 关 于 原 点 成 中 心 对 称 . 又

f ( ) ? ? tan ? ? 1 ? 0 ,故选 D . 4 2 4 2
考点:1.函数的奇偶性;2.函数的图象.

?

?

?

?

?x ? 2 y ? 0 ? 9. 设z ? x? y, 其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 6, 则 z 的最小值为 ( ?0 ? y ? k ?
A.-5 B.-4 【答案】C 【解析】 C.-3 D.-2



?x ? 2 y ? 0 ? 试题分析:根 据 ? x ? y ? 0 画出可行域及直线 x ? y ? 0 , 如 图 所 示 . ?0 ? y ? k ?

试卷第 3 页,总 17 页

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平 移 直 线 x ? y ? 0 知其经过点 A(k,k) 时, z 有最大值 2k ? 6 ,即 k ? 3 ;平 移 直 线

x ? y ? 0 知其经过点 (?2k,k) 即 (?6,3) 时, z 有最小值 ?6 ? 3 ? ?3 ,故 选 C .
考点:简单线性规划. 10.把半径为 2 的圆分成相等的四弧,再将四弧围成星形放在半径为 2 的圆内,现在往 该圆内任投一点,此点落在星形内的概率为( )

A.

4

?

?1

B.

2

?

C.

4

?

?

1 2

D.

1 2

【答案】A 【解析】 试题分析:这是一道几何概型概率计算问题.星形弧半径为 2 ,

? ?2 ? (
2

? ? 22

∴ 点落在星形内的概率为 P (A)= 考点:几何概型.

1 ? ? 2 ? 2) ? 2? 4 4 4 2 ? ? 1, 故选 A . 2 ? ?2 ?

? 11. 已知 A, B, C 点在球 O 的球面上, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2 . 球心 O 到平面 ABC

的距离为 1,则球 O 的表面积为( ) A. 12? B. 16? C. 36? 【答案】A 【解析】

D. 20?

试 题 分 析 : 设 A, B, C 所 在 圆 心 为 O1 , 则 O1 恰 为 BC 的 中 心 , 连 AO1 , OO1 则

AO1 ? 2 , OO1 ? 平 面 ABC ; 在 直 角 三 角 形 AO1O 中 ,
2 2 AO ? AO12 ? OO1 2 ? ( 2) ? 1 ? 2 3, 故 S球O ? 4? ? ( 3) ? 12? ,选 A .

考点:1.球的几何性质;2.球的表面积.
试卷第 4 页,总 17 页

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12. 抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,M 是抛物线 C 上的点, 若三角形 OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 36 ? ,则 p 的值为( A.2 B.4 【答案】D 【解析】 C.6 D.8 )

试题分析:∵ △OFM 的外 接 圆 与 抛 物 线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 准 线 相 切 , ∴ △OFM 的 外 接 圆 的 圆 心 到 准 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 . ∵ 圆 面 积 为 36? , ∴ 圆 的 半 径 为 6 , 又 ∵ 圆 心 在 OF 的 垂 直 平 分 线 上 , OF ? ∴

p , 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

p p ? ? 6, p ? 8 ,故 选 D . 2 4

考点:1.抛物线的几何性质;2.直线与圆的位置关系.

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)
5

13.二项式 ? x 2 【答案】 ?10 【解析】

? ?

1? ? 展开式中 x 的系数为___________________. x?

3 开式中 x 的系数为 ?C5 ? ?10 .

考点:二项式定理. 14.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每 位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种. 【答案】 10 【解析】 试题分析:由题意知本题是一个分类计数问题. 一是 3 本集邮册一本画册,让一个人拿本画册就行了 4 种,另一种情况是 2 本画册 2 本 集邮册,只要选两个人拿画册

C42 ? 6 种,根据分类计数原理知共10 种.

考点:1.分类计数原理;2.组合. 15.在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, D 是 AB 的中点, E 为线段 AC 上一动点,则

EB ? ED 的取值范围为
【答案】 ? 【解析】 试题分析: 由 题 意 得 ,AE 与 AB 的 夹 角 是 60°,D 是 AB 的 中 点 , 设 | AE | ? x , ∴ EB ? ED ? ( AB ? AE) ? ( AD ? AE) ? AB ? AD ? (AB ? AD ) ? AE? | AE |2

? 23 ? ,3? ? 16 ?

3 ? 2? | AD |2 ?3 AD ? AE ? | AE |2 ? 2 ? x+x 2 ,由 于 E 为 线 段 AC 上 一 动 点 , 故 2 0 ? x ? 2, 3 3 23 f x) ? 2 ? x ? x 2 ? ( x ? )2 ? , 令 ( 2 4 16 3 23 ∴ 当 x ? 时 , f( x) min= , 4 16
当 x ? 2时, ( f x) m a x ? 3 , ∴ EB ? ED 的取值范围为 ?

? 23 ? ,3? . ? 16 ?

考点:1.平面向量的线性运算;2.平面向量的数量积;3.二次函数的性质.
试卷第 6 页,总 17 页

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r 2 5? r r r r 10 ?3 r , 令 10 ? 3r ? 1 ,得 r ? 3 ,所以展 试题分析:由 Tr ?1 ? C5 ( x ) ( ? ) ? ( ?1) C5 x

1 x

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16.如果定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不等的实数 x1 , x2 都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) , 则 称函 数 f ( x) 为 “ Z 函 数”给 出 函数 : ①y ? - x3 ? 1


②y ? 3x - 2sin x - 2cos x

?ln x , x ? 0 ? ③y ? ? ? ?0, x ? 0

2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 。 ④y ? ? 2 ? ? ? x ? x, x ? 0

以上函数为“ Z 函数”的序号为 【答案】②④ 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 对 于 任 意 给 定 的 不 等 实 数 x1 , x2 都 有

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x1 ( f

1

? x )

2

x ( f? 2) x

1

, x (? f x 2成 (立 x 1 )f 2 ) ,恒

x

∴不等式等价为 是定义在 R 上 f x) (x1 ? x2 )( [ f x ) f x ) >0 恒 成 立 , 即 函 数 ( 1 ? ( 2] 的增函数.

①y ? - x3 ? 1 在 定 义 域 上 单 调 递 减 . 不 满 足 条 件 ;

②y ? 3x - 2sin x - 2cos x
y? ? 3 ? 2cosx ? 2sinx ? 3 ? ( 2 sinx ? cox) ? 3? 2
增,满足条件; ③ ③y ? ?



2sin (x ?

?
4

)>0, 函数单 调递

? ?ln x , x ? 0 , 当 x>0 时 , 函 数 单 调 递 增 , 当 x<0 时 , 函 数 单 调 递 减 , ? ?0, x ? 0

不满足条件;

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? ④y ? ? 2 , 结 合 函 数 的 图 象 知 , 满 足 条 件 . 故 答 案 为 ②④. ? x ? x , x ? 0 ? ?

试卷第 7 页,总 17 页

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考点:1.新定义问题;2.函数的单调性;3.应用导数研究函数的性质. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 17.已知递增等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 S3 ? 2S2 ? 1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,且 {bn } 的前 n 项和 Tn . 求证: Tn ? 2 【答案】 (1) an ? 2n ?1 . (2)见解析. 【解析】 试题分析: (1)设公比为 q,由题意:q>1, a1 ? 1 ,根据 可. (2)由(I)得到 bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1 ,

s

3

? 2 s2 ? 1建立 q 的方程即

Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1

?

?

利用“分组求和法” ,应用等差数列、等比数列的求和公式得到

1,??? 上是单调递增即可得证. Tn ? n 2 ? 2n ?1利用其在 ?
试题解析: (1) 设公比为 q, 由题意: q>1, a1 ? 1 , 则 a2 ? q ,a3 ? q 2 , ∵ ∴ a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 1 , 2分

s

3

? 2 s2 ? 1,

试卷第 8 页,总 17 页

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则 1 ? q ? q ? 2(1 ? q) ? 1 解得: q ? 2 或 q ? ?1 (舍去) ,
2

∴ an ? 2n ?1

4分 6分

(2) bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1

Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1

?

?

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2

8分

又∵ Tn

1,??? 上是单调递增的 ? n 2 ? 2n ?1 在 ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

∴ Tn ? T 1 ? 2 ∴ Tn

?2

10 分

考点:1.数列的通项;2. “分组求和法” ;3.等差数列、等比数列的求和公式. 18.在三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且三角形的面积为

S?

3 ac cos B . 2
c a 1 1 ? ? 4 ,求 ? 的值. a c tan A tan C

(1)求角 B 的大小 (2)若

【答案】 (1) B ? 【解析】

?

3

; (2) 2 3 .

试题分析: ( 1 ) 在 三 角 形 ABC 中 S ?

1 3 ac sin B , 由 已 知 S ? ac cos B 可 得 2 2

? 1 3 ac sin B ? ac cos B 即 tan B ? 3. 又 0﹤ B ﹤ ? 得到 B ? . 3 2 2
2 (2)应用正弦定理可得 sin B ? 3 sin A sin C 即 sin A sin C ?

1 1 1 ? ,将 4 tan A tan C

变形得到 ?

3 ?2 3. 2 sin A sin C
1 3 ac sin B , 由 已 知 S ? ac cos B 可 得 2 2

试题解析: ( 1 ) 在 三 角 形 ABC 中 S ?

1 3 B ? 3 ? B为三角形内角, ac sin B ? ac cos B ? t a n 2 2
0﹤ B ﹤ ? ? B ?

?
3
试卷第 9 页,总 17 页

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c a a 2 ? c 2 b 2 ? 2ac cos B ? ?4 (2)? ? ? a c ac ac
由正弦定理可得

?B ?

?
3

? b 2 ? 3ac

1 3 4 1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) sin B ? ? ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C sin A sin C
si2 nB ? 3 s i n As i C n

?B ?

?

? sin A sin C ?

?

3 ?2 3 2 sin A sin C

考点:1.正弦定理;2.和差倍半的三角函数. 19.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AD ? 平面 A1 BC ,其垂足 D 落在直线 A1 B 上. (1)求证: BC ⊥ A1 B (2)若 AD ? 3 , AB ? BC ? 2 , P 为 AC 的中点,求二面角 P ? A1 B ? C 的平面角 的余弦值
A1 C1

B1

D
A

P

C

B

2 7 【答案】 (1)证明:见解析; (2) 7 .
【解析】 试题分析: (1)根据三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

? A1 A ? 平 面 ABC , 又 BC ? 平 面 ABC , ? A1 A ? BC 加 之

AA1 ? 平 面

A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,
? BC ? 平面 A1 AB ,
即可得证.

AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB (2)由(1)知 BC ? 平面 A 1 AB ,

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如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 B ? xyz

AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上,

?

AD ? A1 B .
z
A1 C1

B1

y

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

D
A

x

P

C

B
确定得到 B(0,0,0) , A(0,2,0) ,C (2, 0, 0) ,P (1, 1, 0) , A1(0, 2, 2 3) , BP ? (1,1,0)

BA1 ? (0,2,2 3 ) BC ? (2,0,0)
求平面 PA 1 B 的一个法向量、平面 CA 1 B 的一个法向量,得到二面角 P ? A 1 B ? C 平面 角的余弦值是

n ? AD 2 7 2 7 (2)也可利用 cos n1 ? AD ? 1 求解. ? 7 7 n 1 AD
三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,

试题解析: (1)证明:

? A1 A ? 平面 ABC ,又 BC ? 平面 ABC , ? A1 A ? BC
-

AD ? 平面 A1BC ,且 BC ? 平面 A1BC ,

? AD ? BC . 又

AA1 ? 平面 A1 AB , AD ? 平面 A1 AB , A1 A ? AD ? A ,

? BC ? 平面 A1 AB ,
又 A1 B ? 平面 A1 BC ,

? BC ? A1 B
AB ? 平面 A1 AB ,从而 BC ? AB (2)由(1)知 BC ? 平面 A 1 AB ,
如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 B ? xyz

AD ? 平面 A1BC ,其垂足 D 落在直线 A1B 上,
试卷第 11 页,总 17 页

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?

AD ? A1 B .
z
A1 C1

B1

y

D
A

x

P

C

B
在 Rt ??ABD 中, AD ? 3 ,AB=2,

sin ?ABD ?

AD 3 0 , ?ABD ? 60 ? AB 2

在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB . 在 Rt??ABA 1 中, AA 1 ? AB ? tan 60 ? 2 3
0

,

则 B (0,0,0), A(0,2,0) ,C(2,0,0),P(1,1,0), A1 (0,2,2 3 ), BP ? (1,1,0)

BA1 ? (0,2,2 3 ) BC ? (2,0,0)
设平面 PA 1 B 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z ) 则

? ?n 1 ? BP ? 0 ? ?x ? y ? 0 即? ? ? ?2 y ? 2 3z ? 0 ?n1 ? BA1 ? 0 ?

可得 n1 ? (3,?3, 3)

设平面 CA1 B 的一个法向量 n2 ? ( x, y, z) 则

? ? n 2 ? BC ? 0 ? x ? 0 即? ? n ? BA ? 0 ? ?2 y ? 2 3 z ? 0 ? 2 1 cos n1 , n2 ? n1 ? n2 n1 n2
2 7 7

可得 n2 ? (0,?3, 3)

?

2 7 7
12 分

? 二面角 P ? A1 B ? C 平面角的余弦值是

( 2 ) 或 ? AD ? 平面A1BC, 则AD 即为平面 A1 BC的法向量 在 Rt??ABD 中 ,

试卷第 12 页,总 17 页

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3 3 1 3 AD ? 3 ,AB=2,则 BD=1 可得 D( 0, , ) AD ? (0, ? , ) 2 2 2 2

cos n1 ? AD ?

n1 ? AD n 1 AD

?

2 7 7
2 7 7
12 分

? 二面角 P ? A1 B ? C 平面角的余弦值是

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

考点:1.空间几何体的特征;2.垂直关系;3.空间的角;4.空间向量方法. 20.某商场组织有奖竞猜活动,参与者需要先后回答两道选择题,问题 A 有三个选项, 问题 B 有四个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 25 元,正 确回答问题 B 可获奖金 30 元,活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第 一个问题回答正确,则继续答题,否则该参与者猜奖活动终止,假设一个参与者在回答 问题前,对这两个问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题. (1)如果参与者先回答问题 A,求其获得奖金 25 元的概率; (2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大. 【答案】 (1)参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元概率为 再答问题 B. 【解析】

1 ; (2)应该先答问题 A, 4

1 1 ,随机猜对问题 B 的概率 P2 ? . 3 4 (1)设参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元为事件 M , 1 3 1 ? ? ,即得解. 由 P?M ? ? P 1 (1 ? P 2) ? 3 4 4
试题分析:随机猜对问题 A 的概率 P 1 ? (2)参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ①先回答问题 A 再回答问题 B,参与者获奖金额 ? 可取 0,25,55, 则有 P(? ? 0) ? 1 ? P 1 ?

2 1 1 , P(? ? 25) ? P , P(? ? 55) ? PP 1 (1 ? P 2) ? 1 2 ? 3 4 12

E (? ) ?
得到

130 12 ;
3 1 1 , P(? ? 30) ? P2 (1 ? P , P(? ? 55) ? PP 1) ? 1 2 ? 4 6 12

②先回答问题 B 再回答问题 A,参与者获奖金额? 可取 0,30,55 则有 P (? ? 0) ? 1 ? P2 ?

E (? ) ?

115 12

根据 E (? ) ? E (? ) ,得出结论.

1 1 ,随机猜对问题 B 的概率 P2 ? . 3 4 (1)设参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元为事件 M , 1 3 1 1 ? ? ,即参与者先回答问题 A,且获得奖金 25 元概率为 则 P?M ? ? P 1 (1 ? P 2) ? 3 4 4 4
试题解析:随机猜对问题 A 的概率 P 1 ? (2)参与者回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:

试卷第 13 页,总 17 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

①先回答问题 A 再回答问题 B,参与者获奖金额 ? 可取 0,25,55, 则 P(? ? 0) ? 1 ? P 1 ?

2 1 1 , P(? ? 25) ? P , P(? ? 55) ? PP 1 (1 ? P 2) ? 1 2 ? 3 4 12

E (? ) ?

②先回答问题 B 再回答问题 A,参与者获奖金额? 可取 0,30,55 则 P (? ? 0) ? 1 ? P2 ?

130 12

3 1 1 , P(? ? 30) ? P2 (1 ? P , P(? ? 55) ? PP 1) ? 1 2 ? 4 6 12

E (? ) ?

115 12

因为 E (? ) ? E (? ) ,所以应该先答问题 A,再答问题 B. 考点:1.随机变量的数学期望;2.概率的应用. 21.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰 a 2 b2

直角三角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径 的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)设 P 为椭圆上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T , 且满足 OS ? OT ? t OP (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)由题意可得圆的方程为 ( x ? c) ? y ? a ,圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的
2 2 2

x2 ( ? 2, 2) ? y 2 ? 1. ;(2) t ? . 2

距离 d ?

c ?1 2

?a;

根据椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a2 b2

三角形, b=c, a ?

2b ? 2c 代入*式得 b ? c ? 1 ,即可得到所求椭圆方程.

(2)由题意知直线 L 的斜率存在,设直线 L 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 p?x0 , y0 ? 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 根据 ? ? 64k ? 4 1 ? 2k
4

?

2

?x

2

? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0
1 ; 2

?

2

??8k

2

? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 得到 k 2 ?
2

?

设 S ?x1 , y1 ? , T ?x2 , y2 ? 应用韦达定理 x1 ? x2 ?

8k 8k 2 ? 2 . , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

试卷第 14 页,总 17 页

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

讨论当 k=0, t ? 0 的情况,确定 t 的不等式. 试题解析: (1)由题意:以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方 程为 ( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , ∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

?a

∵椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三 a2 b2

角形, b=c, a ?

2b ? 2c 代入*式得 b ? c ? 1 ∴ a ? 2b ? 2
4分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

x2 ? y 2 ? 1. 故所求椭圆方程为 2

(2)由题意知直线 L 的斜率存在,设直线 L 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 p?x0 , y0 ? 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ∴ ? ? 64k 4 ? 4 1 ? 2k 2 8k 2 ? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0
2 ∴k ?

?

?

6分

?

??

?

1 2

设 S ?x1 , y1 ? , T ?x2 , y2 ? 则 x1 ? x2 ?

8k 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2

8分

当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, OS ? OT ? t OP 成立,故,t=0 符合题意。 当t ? 0时

8k ? tx ? x ? x ? 0 1 2 ? 1? 2 k 2 ? ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4 ) ? ? 4 k 得 0 1 2 1 2 ? 1? 2 k 2 ?
2



1 8k 2 1 ?4k x0 ? ? , y0 ? ? 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

10 分

32k 4 16k 2 将上式代入椭圆方程得: 2 ? ?1 t (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2
16k 2 整理得: t ? 1 ? 2k 2
2

1 2 知0 ? t ? 4 2 ( ? 2, 2) 所以 t ? 12 分
2 由k ?

考点:1.椭圆的方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系;3.直线与圆的位置
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? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

关系.

e ax 22.已知函数 f ( x ) ? x
(1)若 f ( x ) 在区间 ?1 , +?? 单调递增,求实数 a 的取值范围;

1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [m, m ? 1](m ? 0) 上的最小值. 2 【答案】 (1) a ? 1 .
(2)当 a ? (2)当 0 ? m ? 1 时, f ( x)min

e2 ? f (m ? 1) ? m ?1
e 2

m?1

当 m ? 2 时, f ( x) min 【解析】

e2 ? f (m) ? . m
eax eax (ax ? 1) 1 )? ? ? 0 在 ?1 , +?? 上恒成立,即 a ? 在 2 x x x

m

试题分析: (1) 由题知转化得到 (

+?? 上恒成立. ?1,
(2)应用导数研究以下三种情况:当 0 ? m ? 1 时;当 1 ? m ? 2 时;当 m ? 2 时. 试题解析: (1)由题知:函数 f ( x ) 在上为增函数,故 ( 上恒成立 又由 e
ax

eax eax (ax ? 1) )? ? ? 0 在 ?1 , +?? x x2

? 0, x2 ? 0 ,则 ax ? 1 ? 0 ,即 a ?

1 在 ?1 , +?? 上恒成立 x

又 ( ) max ? 1 ,故 a ? 1
x 2

1 x

1 e (2)当 a ? 时, f ( x) ? ( x ? 0) , f ( x )? ? 2 x


x e ( ? 1) 2 x2

x 2

x ? 1 ? 0 时,即 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2 x 当 ? 1 ? 0 时,即 x ? 0 或 0 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 2
则 f ( x ) 的增区间是 (2, ??) ,减区间是 (??, 0) , (0, 2) 由于 m ? 0 ,则 m ? 1 ? 1 当 m ? 1 ? 2 时,即 0 ? m ? 1 时, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上单调递减 则 f ( x)min

e2 ? f (m ? 1) ? m ?1
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m?1

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

当 1 ? m ? 2 时, f ( x ) min ? f (2) ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 外 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ?

当 m ? 2 ? m ? 1 时,即 1 ? m ? 2 时, f ( x ) 在 ?m,2? 上单调递减,在 ? 2, m ? 1? 单调递 增。 则 f ( x ) min ? f (2) ?

e 2

当 m ? 2 时, f ( x ) 在 ?m, m ?1? 上单调递增。则 f ( x) min

e2 ? f (m) ? m

m

综上可知:当 0 ? m ? 1 时, f ( x)min 当 1 ? m ? 2 时, f ( x ) min ? f (2) ? 当 m ? 2 时, f ( x) min

e2 ? f (m ? 1) ? m ?1

m?1

e 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

e2 ? f (m) ? m

m

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极(最)值;2.转化与化归思想.

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