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从一道课本例题开始的研究性学习


上海中学数学#2004 年第 5 期

从一道课本例题开始的研究性学习
200439 上海交通大学附属中学 杨逸峰 段长荣

在高中数学课本的5圆6 这一 章节中 , 有这 么一 道例题 : 已知圆 C 的方程是 x 2+ y2 = r 2, 求证: 经过圆 C 上一点 M( x 1, y 1)的切线的方程是 x 1x + y 1y = r 2. 课本上给出的证明是 : 方法一 : 当 OM 与 坐标 轴都 不垂 直时 , 设 直线 OM 的斜 率为 k1 , 切线 斜率 为 k , 根据 圆的 切 线性 y1 x1 1 质, 得 k = . 因为 k1 = , 所以 k = . 于是 k1 x1 y1 x1 经过点 M ( x 1, y 1 ) 的切线方程是 y - y 1= (xy1 x 1) . 经过整理 , 得 x x 1 + yy 1 = r 2 . 当 OM 垂直于 x 轴时 , 经过点 M ( x 1, y 1 ) 的切 线方程 是 x = x 1; 当 OM 垂 直 于 y 轴 时 , 经 过 点 M ( x 1, y 1 ) 的切线方程是 y = y 1 . 显然 分别是在 y 1 = 0 或 x 1= 0 时 , 方程 x x 1+ yy 1= r 2 的特殊 形式 . 故结论成立 . 在课堂上 , 我 们又 引导 学生 探索 , 得到 了下 面 几种做法 . 为方便起见 , 先设切线上任意一点为 P( x , y ) . 方法二 : 着重于切线的代数意义 ) ) ) 圆 C 与切 线有两个相同的交点 x1 r2 当 y 1 X 0 时 , 将直线方程化为 y = x+ , y1 y1 2 2 2 代入圆方程 x + y = r , 化简得 x 2 + 2 x 1 x + r 2 - y 2 1 = 0, 2 2 2 2 由于 v = ( 2x 1) - 4( r - y 1) = 4r 2 - 4( x 2 1+ y 1 ) = 0 恒成立, 可知圆 C 与直线有两个相同的交点, 即直线 xx 1+ yy1= r 2 是圆的切线. 当 y 1 = 0 时 , x 1 = ? r , 方 程就化为 x = ? r , 圆 心 O 到它的距离等于半径 . 故结论成立 . 方法三 : 着 重 于切 线 的 几 何 意 义 ) ) ) 圆 心 O 到切线 A P 的距离等于半径 圆 心 O 到 直 线 x x 1 + yy 1 = r 2 的 距 离 | x 1# 0+ y 1# 0- r 2| d= = r, 2 x2 1+ y1 所以 , 经过圆上一 点 M ( x 1, y 1) 的切 线的 方程 2 是 x x 1+ yy 1= r . 现行的教 材在 平面 解析 几何 前已 经安 排了 向 量内容 , 结合向量 , 我们又可有下述解法 : 方法四 : 半径垂直于切线 Z O M# MP = 0 根据圆的切线性质 , 得 OM L M P. 6

所以 OM # M P = x 1( x - x 1 ) + y 1( y - y 1) = 0 . 化简得 x x 1 + yy 1 = r 2. 方法五 : 半 径垂 直于切 线 Z OP 在直线 OM 上 的射影为 OM 向 量 OP 在 直 线 O M 上 的 射 影 为 OM , 因 此 OP# OM = | OM | 2 . 即 x 1 x + yy 1= r 2. 即结论成立 . 由于笔者执教的是理科 实验班 , 学生又 利用了 曲线系进行证明 . 方法六 : 依据两个相切的圆的 根轴就是 过切点 的切线 . 以 O M 为 直径的圆 P 方程为 x ( x - x 1 ) + y ( y - y 1) = 0, 圆 C 与圆 P 相切 于点 M , 所以二圆的根轴就是圆 C 过点 M 的切线 , 二圆方程联立, 消去二次项得切线 xx 1+ yy 1= r 2. 经过这六种方法的探究 , 同学 们对圆的 切线的 几何意义、 代数意义和如何将几何 意义代数 化都有 了较深刻的了解 , 特别是对解析几 何中向量 的应用 有了具体的实践 . 为了将学生 思维 更进 一步 的发 展 , 又 设问 : 若 M ( x 1 , y 1) 为圆 外一点 , 如何求过点 M 的圆的切线 方程 ? 这里方法一、 方法四、 方 法五、 方法六 都无法 解决问题了 , 纵观 这四 种方 法 , 都运 用了 点在 圆上 这一独特的条 件 , 而方 法二、 方 法三 只用 到切 线的 一般知识 , 所以得以继续 . 接着又 设问 道 , 若 M ( x 1 , y 1 ) 为 圆外 一点 , 方 程 x x 1 + yy 1 = r 2 表示何直线呢 ? 用具体的数 据如 r = 5 , M ( 5, 4 ) , 学 生可 以看 出 , 所得的直线与圆有交点 , 并不是切线 . 再进一步 研究表明 , 交点与点 M 的连线都与圆相切 . 于是得 出 , 过点作 圆的 两条 切 线 , 连接 切 点得 直线 x x 1 + yy 1 = r 2 ( 即所谓的切点弦方程 ) . 若 M ( x 1, y 1) 为圆内一点呢 ? 用具体的数据 如 r = 6 , M ( 3, 4 ) , 看出 , 此直线 与圆没有交点 . 初中对圆的根轴有研究 的同学发 现 , 猜 想当点 M 在圆内时 , 直线还是圆的根 轴 ? 仍是 ! 只要在 直 线上任取一点 P , 作 两圆的切线 , 切线长相等 . 沿用 方法六的解法 , 当点 M 在圆外时 , 求圆 C 与 以 O M 为 直 径 的 圆 的 根 轴, 方 程 x 2 + y 2 = r 2 与 x ( x - x 1 ) + y ( y - y 1 ) = 0 联立 , 即 解得 直线 x x 1+ yy 1 = r , 为两圆的根轴 .
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