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高中数学(苏教版)选修1-1 名师课件:第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数 (共37)_图文


3.1 3.1. 2 瞬时 变化 率 导数 理解教材 新知 知识点一 知识点二 知识点三 考点一 考点二 考点三 第 3 章 导 数 的 概 念 把握热点 考向 应用创新 演练 考点四 3.1 导数的概念 3.1.2 瞬时变化率——导数 曲线上一点处的切线 你登过泰山吗?登山过程中,你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇, 感受到“会当凌绝顶, 一览众山小”的豪迈, 当爬到“十八盘” 时,你感觉怎样? 问题 1:陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗? 提示:能. 问题 2:从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢? 提示:用曲线的切线的斜率表示. 割线逼近切线的方法 设曲线 C 上有一点 P,Q 是曲线 C 上的另一点,则直线 PQ 称为曲线 C 的 割线 ;当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动时,割线 PQ 在点 P 附近越来越 逼近曲线 C .当点 Q 无限逼近点 P 时,直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l,这条直线 l 称为曲 线在点 P 处的切线. 瞬时速度,瞬时加速度 1 2 问题 1:探究在 y= gt 中,怎样求在 t=3 这一时刻的速度? 2 提示: 物体在 t=3 临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在 t=3 这一时刻速度的近似值.取一小段时间[3,3+Δt],在这段时间 1 1 2 g 2 Δt 内,物体位置的改变量 Δs= g(3+Δt) - g· 3 = (6+Δt)Δt, 2 2 2 g ?6+Δt?Δt Δs 2 g 相应的平均速度 v = = = (6+Δt). Δt Δt 2 问题 2:下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度. Δt v 2 4g 1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.02 0.01 3.5g 3.25g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g 上表的平均速度中最接近 t=3 时这一时刻的速度的是哪一个? 提示:Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度,v=3.005 g. 瞬时速度与瞬时加速度 要刻画物体在某一时刻的运动速度,通常先计算物体的位移 s(t) s?t0+Δt?-s?t0? s?t0+Δt?-s?t0? Δt 的平均变化率 , 当 Δt 无限趋近于 0 时, 无 Δt 限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 t=t0 时的 瞬时速度 . v?t0+Δt?-v?t0? Δt 一般地,我们计算运动物体速度的平均变化率 , v?t0+Δt?-v?t0? 如果 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于一个常数, 那么这 Δt 个常数称为物体在 t=t0 时的 瞬时加速度 ,瞬时加速度就是 速度 对 于时间的瞬时变化率. 导数的概念 在庆祝建国 60 周年阅兵式上,最后出场的教练机梯队以 “零米零秒”的误差通过天安门上空. 问题 1:通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述? 提示:瞬时速度. 问题 2:瞬时变化率是导数吗? 提示:是. 1.导数的概念 设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义, Δy x0∈(a,b),当 Δx 无限趋近于 0 时,比值 = Δx 定义 导 数 f?x0+Δx?-f?x0? ________________ 无限趋近于一个常数 A, 则称 f(x)在点 x Δx =x0 处 可导 .并称该常数 A 为函数 f(x)在点 x=x0 处的导 数,记作 f′(x0).可用符号“→”表示“无限趋近于” (x0,f(x0)) 导数 f ′ ( x ) 的几何意义就是曲线 y = f ( x ) 在点 0 几何 意义 处的 切线的斜率 2.导函数的概念 (1)导函数的定义: 若 f(x)对于区间(a,b)内 任一点 都可导,则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化, 因而也是 自变量 x 的函数, 该函数 称为 f(x)的导函数,记作 f′(x) . 在不引起混淆时,导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数. (2)f′(x0)的意义: f(x)在点 x=x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x=x0 处 的 函数值 . 1.求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求 出切线的斜率. 2.瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率;瞬时加速度 是速度函数相对于时间的瞬时变化率. 3.“函数 f(x)在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别:“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值,是针对 x0 而言 的,与给定的函数及 x0 的位置有关,而与 Δx 无关;“导函数”简记 为“导数”,是一个函数,它是对于一个区间而言的,是一个确定的 函数,依赖于函数本身,而与 x,Δx 无关. 求曲线上一点的切线及斜率 [例 1] 义求: ? 5? 1 已知曲线 y=x+x上的一点 A?2,2?, 用切线斜率定 ? ? (1)点 A 处的切线的斜率; (2)点 A 处的切线方程. [思路点拨] f?2+Δx?-f?2? 先计算 ,再求其在 Δx 趋近于 0 Δx 时无限逼近的值. [ 精解详析 ] (1) ∵ Δy = f(2 + Δx) - f(2) = 2 + Δx + 1 - 2+Δx ? - Δx 1? ?2+ ?= 2? 2?2+Δx?+Δx, ? - Δx -1 Δy Δx ∴ = + = +1. Δx 2Δx?2+Δx? Δx 2?2+Δx? Δy 3 当 Δx 无限趋近于零时, 无限趋近于 , Δx 4 3 即点 A 处的切线的斜率是 . 4 5 3 (2)切线方程为 y- = (x-2), 2 4 即 3x-4y+4=0. [一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义,要求曲线过某 点的切线方程,只需求出切线的斜率,即在该点处, Δx 无限趋 Δy 近于 0 时, 无限趋近的常数. Δx

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