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广东省惠州市2012届高三4月模拟考试试题(数学文)(WORD版)祥解


广东省惠州市 2012 届高三第四次调研(一模)试题

数 学 (文科)
本试卷共 5 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号
填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式:锥体的体积公式:V ? 1 Sh (其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高) 3
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求.)
1.已知集合U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 ?U A ? ( )

A.?1,3?

B.?3,7,9? C.?3,5,9? D.?3,9?

2.设 a, b 为实数,若复数 ?1? i???a ? bi? ?1? 2i ,则( )

A. a ? 3 ,b ? 1 22

B. a ? 3,b ? 1

3.“ sin? ? 1 ”是“ cos 2? ? 1 ”的(

2

2

A.充分不必要

B.必要不充分

C. a ? 1 ,b ? 3 22
)条件

D. a ? 1,b ? 3

C.充要

D.不充分也不必要

4.给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.②和④

5.等比数列{an}中, a3 ? 6 ,前三项和 S3 ? 18 ,则公比 q 的值为(



A.1

B. ? 1

C.1 或 ? 1

D.-1 或 ? 1

2

2

2

6.函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象 2
如图示,则将 y ? f (x) 的图象向右平移 ? 个单位后,得到的 6
图象解析式为 ( )

y
1
O? 6

11? 12
x

A. y ? sin 2x

B. y ? cos 2x C. y ? sin(2x ? 2? ) D. y ? sin(2x ? ? )

3

6

7.设 F1 和 F2 为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? 0,b

? 0 )的两个焦点,若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三

角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(

A. 3 2

B. 2

C. 5 2

) D.3

8.已知函数 f (x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f (x ? 2)? f (x) ,且当

x ?[0, 2) 时, f (x) ? log2 (x ?1),则 f (?2011) ? f (2012) 的值为( )

A. ?2

B. ?1

C.1

D. 2

9.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和

8 辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货

车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费

用为( )

A.2000 元

B.2200 元

C.2400 元

D.2800 元

10.定义平面向量之间的一种运算“ ”如下:对任意的 a ? (m, n) , b ? ( p, q) ,令

a b ? mq? np,下面说法错误的序号是( ).

①若 a 与 b 共线,则 a b ? 0

②a b?b a

③对任意的 ? ? R ,有 (?a) b ? ?(a b)

④ (a b)2 ? (a ? b)2 ?| a |2| b |2

A.②

B.①②

C.②④

D.③



二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满

分 20 分.)

(一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。)

11.右图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____.

开始
s ? 0, n ? 1
s ? (s ? n) ? n
n ? n?1

n ? 3?

输出 s

结束

12.已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, m) , 且 a // b ,

则 2a ? 3b =

.

13 . 若 圆 心 在 x 轴 上 、 半 径 为 2 的 圆 O 位 于 y 轴 左 侧 , 且 与 直 线

x ? y ? 0 相切,则圆 O 的方程是

.

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分。)

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点

? ??

2

2,

? 4

? ??

作圆

?

?

4 sin ?

的切线,

则切线的极坐标方程是



C

15.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是⊙ O 的直径, P

是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 A

O

BP

C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径

AB ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 2 cos2 x ? 3 sin x . 2
(1)求函数 f (x) 的最小正周期和值域;

(2)若? 为第二象限角,且 f (? ? ? ) ? 1 ,求

cos 2?

的值.

3 3 1? cos 2? ? sin 2?

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两所学校高三年级分别有 1200 人,1000 人,为了了解两所学校全体高三年级学
生在该地区六校联考的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生 的数学成绩,并作出了频数分布统计表如下:

分组 频数

[70,80) 3

[80,90) 4

[90,100) 8

[100,110) 15

分组 甲校: 频数

[110,120) 15

[120,130)
x

[130,140) 3

[140,150] 2

乙校:

分组 频数 分组 频数

[70,80) 1
[110,120) 10

[80,90) 2
[120,130) 10

[90,100) 8
[130,140)
y

[100,110) 9
[140,150] 3

(1)计算 x , y 的值;

(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀,请分别估计两所学校数学成绩的优秀率;

(3)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为两所学校的数

学成绩
优秀 非优秀
总计

甲校

乙校

总计

有差异.

参考数据与公式:

由列联表中数据计算 K 2 ?

n(ad ? bc)2

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

临界值表

P(K ? k0)

0.10

0.05

k0

2.706

3.841

0.010 6.635

18.(本小题满分 14 分)
如图所示的长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, BB1 ? 2 , M 是线段 B1D1 的中点.
(1)求证: BM / / 平面 D1AC ; (2)求三棱锥 D1 ? AB1C 的体积.

19.(本小题满分 14 分)

已知函数

f

(x)

?

x 3x ?1

,数列?an? 满足

a1

? 1, an?1

?

f (an )(n ? N * ) .

(1)证明数列

? ? ?

1 an

? ? ?

是等差数列,并求数列?an?

的通项公式;

(2)记 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ? anan?1 ,求 Sn .

20.(本小题满分 14 分)
一动圆与圆 O1 : (x ?1)2 ? y2 ? 1外切,与圆 O2 : (x ?1)2 ? y2 ? 9 内切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程; (2)设过圆心 O1 的直线 l : x ? my ?1与轨迹 L 相交于 A 、 B 两点,请问 ?ABO2 ( O2 为
圆 O2 的圆心)的内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直 线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)
已知函数 f ? x? ? x ln x. (1)求函数 f ? x? 的极值点; (2)若直线 l 过点 (0, ?1) 且与曲线 y ? f ? x? 相切,求直线 l 的方程;
(3) 设 函 数 g( x)? f ( x)? a( x? 1其) ,中 a ? R, 求 函 数 g(x) 在 [1,e] 上 的 最 小 值.( e ? 2.71828 )

数学(文科)参考答案与评分标准

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

A

D

C

D

B

C

B

A

1.【解析】在集合U 中,去掉1, 5, 7 ,剩下的元素构成 CU A ,故选 D.

2.【解析】 a ? bi ? 1? 2i ? 3 ? 1 i ,因此 a ? 3 ,b ? 1 .故选 A.

1?i 2 2

22

3.【解析】由 cos 2a ? 1 可得 sin2 a ? ? 1 ,故 sin a ? 1 是 sin2 a ? 1 成立的充分不必要条

2

2

2

4

件,故选 A.

4.【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D

5.【解析】∵

S3

? 18 ,∴ a1

?

a2

?

a3 q2

(1 ?

q)

? 12

?

2q2

?q

?1 ?

0

?

q

? 1或 q

?

?

1 2



故选 C.

6. 【 解 析 】 由 图 像 知 A=1, 3 T ? 11? ? ? ? 3? , T ? ? ? ? ? 2 , 由 4 12 6 4

sin(2? ? ??) ? 1 ,| ? |? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (x) ? sin(2x ? ? ) ,则图像向右

6

23

2

6

6

平移 ? 个单位后得到的图像解析式为 y ? sin[2(x ? ? ) ? ? ] ? sin(2x ? ? ) ,故选 D.

6

66

6

7.【解析】 由 tan ? ? c ? 3 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? c ? 2 ,故选 B.

6 2b 3

a

8.【解析】由 f (?2011) ? f (2012) ? f (1) ? f (0) ? log2 2 ? log2 1 ? 1,故选 C.

?0 ? x ? 4

9.【解析】设甲型货车使用 x 辆,已型货车 y 辆.则 ??0 ? y ? 8

,求 Z=400x+300y 最

??20x ?10 y ? 100

小值,可求出最优解为(4,2),故 ?min ? 2200 ,故选 B.

10.【解析】若 a 与 b 共线,则有 a b = mq - np = 0 ,故 A 正确;因为 b a = pn - qm ,

而 a b = mq - np ,所以有 a b ? b a ,故选项②错误,故选 A。
二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上)
11.27; 12. (?4, ?8) ; 13. (x ? 2)2 ? y2 ? 2 ; 14. ? cos? ? 2 ; 15.4

11.【解析】答案:27.由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环 s=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻 3>3 仍然是否,所以还要循环一次 s =(6+3)*3=27,n=4, 此刻输出 s=27.

12.【解析】由 a // b 可知 m=-4,,则 2a ? 3b = (?4, ?8) .

13. 【 解 析 】 设 圆 心 为 (a, 0)(a ? 0) , 则 r ? | a ? 2? 0 | ? 2 , 解 得 a ? ?2 . 即 12 ?12

(x ? 2)2 ? y2 ? 2 .

14.【解析】对应直角坐标系中的点和方程分别为 (2,2), x2 ? ?y ? 2?2 ? 4 ,切线方程为 x ? 2 ,

故对应的极坐标方程为 ? cos? ? 2 .

15.【解析】连接 OC,BC,易知 PB=OC=OB=r,由切割线定理知 r=2,故 AB=4. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本题满分 12 分)

解: (1)∵ f (x) ? 1? cos x ? 3 sin x ……1 分

? 1? 2 cos(x ? ? ) ,………2 分 3
∴函数 f (x) 的周期为 2? ,值域为[?1,3] .……4 分

(2)∵ f (? ? ? ) ? 1 ,∴1? 2 cos? = 1 ,即 cos? ? ? 1 ……5 分

33

3

3



cos 2?

1? cos 2? ? sin 2?

?

cos2 ? ? sin2 ? 2 cos2 ? ? 2sin? cos?

……8 分

? (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) ? cos? ? sin? ,………10 分

2 cos? (cos? ? sin? )

2 cos?

又∵? 为第二象限角, 所以 sin ? ? 2 2 .…11 分 3

∴原式 ? cos? ? sin? ? 1? 2 2

2 cos?

2

………12 分

17.(本题满分 12 分)
解:(1)甲校抽取 110× 1200 ? 60 人,………1 分 2200

甲校 乙校 总计

乙校抽取 110× 1000 =50 人,………2 分

优秀

15

2200

非优秀 45

故 x=10, y=7,

………4

总计

60



(2)估计甲校优秀率为 15 ? 25% , ………5 分 60
乙校优秀率为 20 =40%. ………6 分 50

(3) 表格填写如右图,

………8 分

20

35

30

75

50

110

k2= 110(15? 30 ? 20? 45)2 ≈2.83>2.706 ………10 分 60? 50? 35? 75

又因为 1-0.10=0.9,故有 90%的把握认为两个学校的数学成绩有差异。……12 分

18.(本小题满分 14 分) 解:(1)连结 D1O ,如图,

∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1D1 的中点, BD1D1B 是矩形,

∴四边形 D1OBM 是平行四边形,

∴ D1O / /BM .

--------2 分

∵ D1O ? 平面 D1AC , BM ? 平面 D1AC ,

∴ BM / / 平面 D1AC .-------------------6 分

(2)解法 1 连结 OB1,∵正方形 ABCD的边长为 2,

BB1 ? 2 ,∴ B1D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,则 OB12 ? D1O2 ? B1D12 ,

∴ OB1 ? D1O .

--------------------------------------------------------8 分

又∵在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AC ? BD , AC ? D1D ,且 BD D1D ? D ,

∴ AC ?平面 BDD1B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1B1 ,

∴ AC ? D1O ,又 AC OB1 ? O ,

∴ D1O ? 平面 AB1C ,即 D1O 为三棱锥 D1 ? AB1C 的高. ----------10 分

∵ S?AB1C

?

1? 2

AC ?OB1

?

1?2 2

2?2 ? 2

2 , D1O ? 2

∴VD1? AB1C

?

1 3 ? S?AB1C

? D1O

?

1?2 3

2?2? 4 3

2 . --------------------------------14 分

解法 2: 三棱锥 D1 ? AB1C 是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 割去三棱锥 D1 ? DAC 、 三棱锥 B1 ? BAC 、三棱锥 A ? A1B1D1 、三棱锥 C ? C1B1D1 后所得,而三棱锥 D1 ? DAC 、 B1 ? BAC 、 A ? A1B1D1 、 C ? C1B1D1 是等底等高,故其体积相等.

?VD1? AB1C ? VABCD? A1B1C1D1 ? 4VB1?BAC ? 2 ? 2 ? 2

2 ?4?1? 1?2?2?2 32

2?4 2. 3

19.(本小题满分 14 分)

解:(1)由已知得 an?1

?

an 即 1 3an ?1 an?1

1 ?
an

?3

----------2 分

∴数列

? ? ?

1 an

? ? ?

是首项为

1,公差

3

的等差数列.

----------4



所以 1 an

? 1? 3(n ?1) ? 3n ? 2 ,即 an

?

1 3n ? 2

(n ? N *) ---------------6 分

(2)

∵ anan?1

?

1 (3n ? 2)(3n ?1)

?

1 ( 1 ? 1 ) ----------8 3 3n ? 2 3n ?1



Sn ? a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? 分

11

? an ? an?1

=

? 1? 4

4?7

?

?

1

(3n ? 2) ? (3n ?1)

----------10

=

1 3

???(1 ?

1) 4

?

(1 4

?

1)? 7

4分

20. (本小题满分 14 分)

?

(1 3n ?

2

?

3n1?1)???

?

1 3

(1 ?

1) 3n ?1

?

n 3n ?1

---------------1

解:(1)设动圆圆心为 M (x,y) ,半径为 R .

由题意,得 MO1 ? R ?1, MO2 ? 3? R , ∴ MO1 ? MO2 ? 4 . 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a ? 2,c ? 1, ∴b2 ? a2 ? c2 ? 4 ?1 ? 3 . ∴动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 x2 ? y2 ? 1. ……6 分
43 (2) 如图,设 ?ABO2 内切圆 N 的半径为 r ,与直线 l 的切点为 C,

…………3 分

则三角形 ?ABO2 的面积 S△ABO2

?

1( 2

AB

?

AO2

?

BO2

)r

=

1 2

??(

AO1

?

AO2

) ? ( BO1

?

BO2

)?? r

?

2ar

? 4r

当 S△ABO2 最大时, r 也最大, ?ABO2 内切圆的面积也最大, …………7 分



A(x1, y1)



B(x2 , y2 )

(

y1 ? 0, y2 ? 0

1

1

S△ABO2 ? 2 O1O2 ? y1 ? 2 O1O2 ? y2 ? y1 ? y2 ,

……8 分

?x ? my ?1



? ?

x2

?? 4

?

y2 3

,得 (3m2 ?1

? 4) y2

? 6my ? 9

?

0,

),



解得

y1

?

?3m ? 6 3m2

m2 ?4

?1

,

y2

?

?3m ? 6 3m2

m2 ?4

?1

,

…………10 分

S ∴ △ ABO2

?

12 m2 3m2 ?

?1 4

,令

t

?

m2 ?1 ,则 t ? 1,且 m2 ? t2 ?1,

S 有 △ABO2

?

12t 3(t2 ?1) ? 4

?

12t ? 3t2 ?1

12 3t ? 1

,令

f

(t) ? 3t

? 1 ,则 t

f

?(t

)

?

3

?

1 t2

,

t

当t

? 1时,

f

?(t)

?0,

f

(t) 在[1, ??) 上单调递增,有

f

(t) ?

f

(1)

? 4 , S△ABO2

? 12 4

? 3,

即当 t

?1, m

?

0时, 4r

有最大值 3 ,得 rmax

?

3 4

,这时所求内切圆的面积为 9 16

?,

∴存在直线

l

:

x

?

1,

?ABO2

的内切圆

M

的面积最大值为

9 16

?

.

…………14 分

21. (本小题满分 14 分)

解:(1) f ??x? ? ln x ?1, x >0 …………1 分

而 f ??x? >0 ? lnx+1>0 ? x > 1 , f ??x? <0 ? ln x ?1<0 ? 0< x < 1 , 所以 f ?x? 在

e

e

?? 0, 1 ?? 上单调递减,在 ?? 1 ,?? ?? 上单调递增.………………3 分

? e?

?e ?

所以 x ? 1 是函数 f ?x? 的极小值点,极大值点不存在.…………………4 分
e
(2)设切点坐标为 ?x0 , y0 ?,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ?1,

所以切线 l 的方程为 y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ?1??x ? x0 ?.

…………6 分

又切线 l 过点 ?0,?1?,所以有 ?1? x0 ln x0 ? ?ln x0 ?1??0 ? x0 ?.

解得 x0 ? 1, y0 ? 0. 所以直线 l 的方程为 y ? x ?1.………8 分
(3)g?x? ? x ln x ? a?x ?1?,则 g??x? ? ln x ?1? a. g??x?<0 ? ln x ?1? a <0 ? 0< x
? ? ? ? < ea?1, g??x? >0 ? x > ea?1, 所以 g?x? 在 0, ea?1 上单调递减,在 ea?1,?? 上单调递
增.………………9 分
当 ea?1 ? 1, 即 a ?1 时 , g?x? 在 ?1, e? 上 单 调 递 增 , 所 以 g?x? 在 ?1, e? 上 的 最 小 值 为

g?1? ? 0.……10 分

? ? ? ? ? ? 当 1< ea?1 <e,即 1<a<2 时, g x 在 1, ea?1 上单调递减,在 ea?1, e 上单调递增.

? ? g?x? 在 ?1, e?上的最小值为 g ea?1 ? a ? ea?1.

………12 分

当 e ? ea?1, 即 a ? 2 时, g?x? 在 ?1, e?上单调递减,

所以 g?x? 在 ?1, e?上的最小值为 g?e? ? e ? a ? ae.……13 分

综上,当 a ?1时, g?x? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g?x? 的最小值为 a ? ea?1 ;

当 a ? 2 时, g?x? 的最小值为 a ?e ?ae. ………14 分


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