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2016


第2章

平面向量

2. 2

向量的线性运算
向量的减法

2.2.1 向量的加法
2.2.2

第2章

平面向量

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1.了解向量加法、减法的实际背景,相反向量的概念. 学习 2.理解向量加法、减法的几何意义.(重点、难点) 目标 3.掌握向量加法、减法运算法则.(重点)

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平面向量

学 法 指 导

1.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相 接”.和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个 向量的终点.向量相加的结果是向量,如果结果是零 向量,一定要写成0,而不应写成0. 2.向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边 形法则,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第 一个向量起点指向第n个向量的终点的向量. 3.当两向量不共线时,向量加法的三角形法则与平行 四边形法则是一致的.而当两个向量共线时,三角形 法则适用,平行四边形法则就不适用了.

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平面向量

学 法 指 导

4.关于向量的减法,常有两种理解方法: 第一种方法: 是将向量的减法定义为向量加法的逆运算, 也就是说,如果 b+ x= a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a - b,这样,作 a- b 时,可先在平面内任取一点 O,再 → → → 作OA= a,OB= b,则BA= a- b.(如图 (1)) 第二种方法:是在相反向量的基础上,通过向量的加法 定义向量的减法,即已知 a,b 定义 a-b= a+ (- b),在 这种定义下,作 a- b 时,可先在平面内任取一点 O,

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平面向量

→ → → 作OB′=-b,OA= a,则由向量加法的平行四边形法则知OC → = a+ (- b),由于 a+ (- b)= a-b,即OC= a- b.(如图 (2))

学 法 指 导 5.关于“差向量”方向的确定,通常归纳为“指向被减向量”, 这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点,因此几何法 确定差向量的方向有两个关注点:(1)共起点;(2)指被减.

1.向量加法的定义 → → 已知向量 a 和 b, 在平面内任取一点 O, 作OA=a, AB= b, → → → 则向量OB叫做 a 与 b 的和, 记作 a+ b.即 a+b=OA+AB= → OB.求两个向量和的运算叫做向量的加法.

2.向量加法法则与运算律

向 量 加 法 法 则

三 → 角 已知向量 a 和 b,在平面内任取一点 O,作OA= a, 形 法 → → AB = b ,则向量 OB 叫作 a 与 b 的和,记作 a+ b,即 则
→ → → a+b=OA+AB=OB

→ → 已知两个不共线的非零向量 a、b,作OA=a,OC=

向 量 平行 加 四边 法 形法 法 则 则

b,以 OA,OC 为邻边作? OABC,则以 O 为起点的 → 对角线OB就是向量 a 与 b 的和

向量加 法的运 算律

交换律

b+a a+b=___________ a+b+c=(a+b)+c=a+ b+c (____________ )

结合律

3.向量加法的运算性质

a (1)设a为任一向量,则a+0=0+a=____________ . 0 (2)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=____________ .
-a . (3)a与b互为相反向量?a+b=0?a=-b?b=_________ 4.向量减法的定义 逆 向量的减法是向量加法的____________ 运算. a- b 若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记作____________ ,求 两个向量差的运算,叫做向量的减法.

5.向量a-b的作图方法

根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则,可得向量
a-b的作图方法. 由b+(a-b)=a,知:当向量a,b起点相同时,从b的终点 指

向a的终点的向量就是a-b,这是向量减法的几何意义.
作两个向量的差向量时,首先考虑两个向量有相同的起点,其 次是考虑从减向量的终点指向被减向量的终点.上述是向 量

减法的三角形法则.
6.向量加减法的关系 a+(-b) (1)a-b=________________ ; a-(-b) (2)a+b=________________ .

1.下列说法中: ①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 a+b 的方向必 与 a,b 之一的方向相同; → → → ②在△ ABC 中,必有AB+BC+CA=0; → → → ③若AB+BC+CA=0,则 A、B、 C 为一个三角形的三个顶点 ; ④若 a,b 均为非零向量,则 |a+ b|与|a|+ |b|一定相等. 1 其中正确的个数为 ________ .
解析:①若 a 与 b 互为相反向量,则 a+b= 0,即 a+ b 的方 向是任意的,故①错;②正确;③A、 B、C 三点可以共线, 故③错误;④只有 a 与 b 方向相同时, |a+ b|=|a|+|b|才能成 立,故④错误.

2.已知向量a表示“向东走3千米”,b表示“向南走3千米”,
向东南走 3 2 千米 则a+b表示_____________________________.
解析:由已知可利用向量加法的平行四边形法则,则 a+b 表示的方向是东南方向,大小是 3 2 千米.

3.根据下图填空.

→ DA (1)a+d=________; → CB ; (2)c+ b= ________ → DB (3)e+ c+ b= ________ ;

→ CA (4)c+ f+ b= ________ .

4.化简下列各式: → → → ①AB- AC+BC; → → → → ②AB+ CA+BD -CD ; → → → ③OA- OD-DA; → → → → ④NQ- PQ+MN-MP.

4 结果为零向量的个数是________ . 解析:经化简知①②③④均为零向量.

用已知向量作出其它向量 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.

(链接教材P65T2及P66例1)

→ → [解 ] 法一: 如图①在平面内任取一点 O, 作OA= a, AB= → → → b,则OB= a+ b,再作OC= c,则CB= a+b-c. → → 法二:如图②,在平面内任取一点 O,作OA= a,AB= b, → → → 则OB= a+ b,再作CB= c,连结 OC,则OC= a+ b- c.

方法归纳 (1)利用向量加减法的运算律及三角形法则、平行四边形法 则,正确地作出要求的向量是解决该类题的关键,要特别注 意作图时向量的起点及终点位置. (2)求作几个已知向量的和与差, 一般先将这几个向量的起点 平移到同一点 O,然后两两组合,作出它们的和或差,依次 累计就可得出所求作的向量.其中作图的先后次序可任意确 定,作图过程不是惟一的.

1.如图,已知向量 a,b, c 不共线,求作向量:

(1)a-b+ c; (2)a-b- c.

解:如图所示:

向量的加减法运算与化简
化简下列各式: → → (1)BC+AB; → → → (2)DB+CD + BC; → → → → (3)-OA+ OB-OC-CO ; → → → → (4)(AB+CD )+ (BC-AD ). (链接教材 P65T4, P72T4)

→ → → → → [解 ] (1)BC+AB= AB+BC=AC. → → → → → → → → (2)DB+CD + BC= (DB+BC)+CD =DC+CD = 0 或 → → → → → → → → → → DB+CD + BC= (DB+ CD )+BC= (CD + DB)+BC =CB → +BC= 0. → → → → → → → → → (3)-OA+ OB-OC-CO =OB- OA-OC+OC=AB. → → → → (4)(AB+CD )+ (BC-AD ) → → → → = (AB+BC)+ (CD +DA) → → =AC+ CA=0.

方法归纳

(1)化简与向量和的运算有关的式子,应注意利用向量和的 三
角形法则和向量加法的运算律. (2)“首尾相接”的n个向量的和为0,而不是0. (3)减去一个向量等于加上它的相反向量.

2.如图, O 为正六边形 ABCDEF 的中心, 化简下列各式: → → (1)OA+OC; → → (2)BC+FE; → → (3)OA+FE.

解:(1)由图知, OABC 为平行四边形, → → → ∴OA+OC=OB. → → → → (2)由图知BC=FE=OD= AO , → → → → → ∴BC+FE=AO +OD=AD . → → (3)∵OD= FE, → → → → ∴OA+FE=OA+OD. → → → → → → 又OA=DO,∴OA+FE= DO+OD=0.

向量加减法的实际应用
一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d= 100 m,船的航行速度为v1=4 m/s,水流速度 为v2=2 m/s, 试 问当船头与水流方向的夹角θ为多大时,小船行驶到对岸所用

的时间最少?此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角 的
正切值是多大? (链接教材P64例2)

→ [解 ] 设小船行驶到对岸所用的时间为 t s.如图①,设AB → 表示水流的速度,AD 表示船的航行速度,以 AD、 AB 为 → 邻边作? ABCD,则AC就是船实际航行的速度.





→ 设∠ BAC= α,∠ BAD= θ,则AC相对于垂直对岸的速度大 → 小为 |v|= |AD |sin θ,小船行驶到对岸所用的时间为 25 100 d d , θ∈ (0, π). = = t= = |v| |v1|sin θ 4sin θ sin θ 时,小船行驶到对岸所用的时间 故当 sin θ= 1,即 θ= 90° 最少,为 25 s. → → 如图②,在 Rt△ ABC 中, |AB|= 2, |BC|= |AD |= 4, tan α= 2. 小船行驶到对岸所 时, 所以当船头与水流方向的夹角为 90° 用的时间最少,为 25 s,此时小船的实际航行速度与水流 方向的夹角的正切值是 2.

方法归纳 小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度,也 就是船的航行速度沿垂直于河岸的分速度.本题主要考查 向 量在实际生活中的应用,解答本题的关键在于把实际问题 抽 象为向量的加法运算,在此基础上依据题设正确作出图形,并 结合三角形的有关知识求解相应问题.

3.一自行车以 6 m/s 的速度向北行驶.这时骑车人感觉风自 π 正西方向吹来,但站在地面上测得风自南偏西 方向吹来, 3 试求: (1)风相对于车的速度; (2)风相对于地面的速度.
解:如图,设 v 风车、v 车地、v 风地分别是风对车、车对地、风 对地的相对速度,则 v 风车+v 车地=v 风地. 其中|v 车地 |=6 m/s, π 方向正北,v 风车 ,v 风地的夹角为 . 6

|v车地 | (1)风相对于车的速度大小为|v 风车 |= = 6 3(m/s). tan 30° |v车地 | (2)风相对于地面的速度大小为|v 风地 |= = 12(m/s). sin 30°

规范解答

利用向量加法证明平面几何问题

(本题满分14分)用向量的方法证明“对角线互相平分 的四边形是平行四边形”.
[解] 已知:如图所示,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,且 AO=OC,DO= OB. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 2 分

证明:∵ AO= OC, DO= OB,且 A, O, C 三点共线, B, O, D 三点共线, → → → → ∴AO = OC,BO =OD, 6 分 → → → → → → ∴AD = AO +OD=OC+BO = BC. 10 分

又∵ A, B, C, D 不在同一条直线上, ∴ AD 与 BC 平行且相等,12 分 ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 14 分

[ 规范与警示 ] 将文字语言表述的命题转化为数学语 言、符号、图形表示的命题,是用向量法证明几何命题的 关键. → → 利用向量的加减运算得出 AD = BC 是向量法证明该问题 的灵魂. → → 对 A、B、C、D 不共线的说明连同 中得出结论AD = BC 严谨的得出 AD 綊 BC 是该题证明的目标. 得出要证明的结论,保证步骤规范、完整.

名师解题

向量的加、减运算及模的综合应用

已知向量 a,b,满足 |a|=1,|b|=2,|a-b|=2,求 |a +b|的值.

[解 ] 如图,在平面内任取一点 A, → → 作AD =a,AB= b, → → 则AC=a+b,BD = a-b. → → → 由题意,知 |AB|=|BD |=2, |AD |= 1.

过点 B 作 BE⊥ AD 于点 E,过点 C 作 CF⊥ AB 交线段 AB 的延长线于点 F. 1 1 ∵ AB= BD= 2,∴ AE= ED= AD= . 2 2 ∵∠ CBF=∠ EAB, AE 1 又∵在△ ABE 中, cos ∠ EAB= = , AB 4 1 ∴ cos ∠ CBF= . 4 1 1 15 ∴ BF= BCcos ∠ CBF= 1× = .∴ CF= . 4 4 4

1 9 ∴ AF= AB+ BF=2+ = . 4 4 在 Rt△ AFC 中, AC= AF +CF = ∴ |a+b|= 6.
[名师点评] (1)由已知和未知结合向量加、 减法的几何意义,
2 2

81 15 + = 6, 16 16

可知 a-b,a+b 可以作为平行四边形的对角线. (2)由 |b|= |a- b|=2, 挖掘所作图形的特征, 构造直角三角形, 通过解直角三角形求解.


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