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高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件_图文


第一章 数列

第一章 §3 等比数列
第2课时 等比数列的性质

1 课前自主预习

2 课堂典例讲练

4 本节思维导图

3 易混易错点睛

5 课时作业

课前自主预习

1915 年,波兰数学家谢尔宾斯基 (W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术 品”,被人们称为谢尔宾斯基三角形, 如图所示.如果我们来看一看图中那些 白色三角形的个数,并把它们按面积大小,从小到大依次排列 起来,可以得到一列数:1,3,9,27,81,……我们知道这是一个等 比数列,那么,等比数列中,有什么特殊的性质呢?

1.等比数列的性质:
(1)通项公式的推广: an=am·__q_n_-_m___(m、n∈N+). (2)公比为 q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数 m, 所得数列是_等__比__数__列___,公比为______q_____.
(3)若{an}是等比数列,且 m+n=p+q,m、n、p、q∈N+, 则_a_m_·_a_n_=__a_p·_a_q_.

1 (4)若等比数列{an}的公比为 q,则{a1n}是以____q____为公比 的等比数列.
(5) 一 组 等 比 数 列 {an} 中 , 下 标 成 等 差 数 列 的 项 构 成 等__比__数__列__.
(6)若{an}与{bn}均为等比数列,则{anbn}为等__比__数__列__. (7)公比为 q 的等比数列,按 m 项分组,每 m 项之和(和不 为 0)组成一个新数列,仍是等比数列,其公比为___q_m____.

(8){an}是等差数列,c是正数,则数列{can}是___等__比___数 列.
(9){an} 是 等 比 数 列 , 且 an>0 , 则 {logaan}(a>0 , a≠1) 是 __等__差____数列.
2.等比数列中的设项方法与技巧 _aq_,__a_(,1_)_a若_q.三个数成等比数列,可设三个数为__a_,__a_q_,__a_q_2 或
(2)若四个数成等比数列,可设____a_,__a_q_,__a_q_2,__a_q_3__;若 四个数均为正(负)数,可设__qa_3_,__aq_,__a_q_,__a_q_3 _______.

1.在等比数列{an}中,若 a6=6,a9=9,则 a3 等于( )

A.4

3 B.2

16 C. 9

D.3

[答案] A

[解析] 解法一:∵a6=a3·q3,∴a3·q3=6. a9=a6·q3,∴q3=96=32. ∴a3=q63=6×23=4. 解法二:由等比数列的性质,得 a26=a3·a9, ∴36=9a3,∴a3=4.

2.在等比数列{an}中,a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9 等于( )

A.90

B.30

C.70

D.40

[答案] D

[解析] ∵q2=aa64+ +aa75=2,

∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

3.如果数列{an}是等比数列,那么( ) A.数列{a2n}是等比数列 B.数列{2an}是等比数列 C.数列{lgan}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 [答案] A
[解析] 数列{a2n}是等比数列,公比为 q2,故选 A.

4.等比数列{an}中,a1=1,a9=9,则a5=________. [答案] 3 [解析] 由 a25=a1·a9,∴a25=9,∴a5=±3. 而 a1、a9 均为正值,故 a5 也为正值,∴a5=3.

5.已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a12=______. [答案] 567 [解析] 解法一:可知 a4、a6、a8、a10、a12 成等比数列. 其公比为 aa64=271=3,所以 a12=a4·35-1=7×34=567. 解法二:设等比数列{an}的公比为 q,则aa64=q2=3. ∴a12=a4·q8=7×34=567. 解法三:由?????aa64==271,, 得?????aa11qq35= =72, 1, 两式相比得 q2=3. ∴a12=a1·q11=(a1·q5)·q6=a6·(q2)3=21×33=567.

课堂典例讲练

运用等比数列性质解题

在等比数列{an}中,若a2=2,a6=162,求a10. [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公
式,求得q,再求a10. [解析] 解法一:设公比为 q,由题意得

??a1q=2 ???a1q5=162

,解得???a1=23 ??q=3

,或???a1=-23 ??q=-3

.

∴a10=a1q9=23×39=13122 或 a10=a1q9=-23×(-3)9=

13122.

解法二:∵a6=a2q4, ∴q4=aa62=1622=81, ∴a10=a6q4=162×81=13122. 解法三:在等比数列中,由 a26=a2·a10 得 a10=aa226=16222=13122.

[方法总结] 比较上述三种解法,可看出解法二、解法三 利用等比数列的性质求解,使问题变得简单、明了,因此要熟 练掌握等比数列的性质,在解有关等比数列的问题时,要注意 等比数列性质的应用.

(1)若 1,a1,a2,4 成等差数列;1,b1,b2,b3,4 成等比数列,

则a1-b2 a2的值等于(

)

A.-12

1 B.2

C.±12

D.14

(2)若等比数列{an} 的各项均为正数,且 a10·a11+a9a12= 2e5,则 lna1+lna2+…+lna20=________.
[答案] (1)A (2)50

[解析] (1)∵1,a1,a2,4 成等差数列, 3(a2-a1)=4-1 ∴a2-a1=1. 又∵1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设其公比为 q,则 b22=1×4 =4,且 b2=1×q2>0, ∴b2=2, ∴a1-b2 a2=-?ab2-2 a1?=-12.

(2)因为等比数列{an}中,a10·a11=a9·a12, 所以由a10a11+a9a12=2e5,可解得a10·a11=e5. 所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1·a2·…·a20) =ln(a10·a11)10=10ln(a10·a11)=10·lne5=50.

对称法设未知项
已知四个数前三个成等差,后三个成等比,中 间两数之积为16,首尾两个数之积为-128,求这四个数.
[分析] 求四个数,给出四个条件,若列四个方程组成方 程组虽可解,但较麻烦,因此可依据条件减少未知数的个 数.设未知数时,可以根据前三个数成等差来设,也可以依据 后三个数成等比来设,还可以依据中间(或首尾)两数之积来 设,关键是要把握住未知量要尽量少,下一步运算要简捷.

[解析] 设四个数为2qa-a、aq、a、aq,

则由题意得??????aq22q=a-16a?·aq=-128



解得?????aq= =84 或?????aq= =- 4 8 . 因此所求的四个数为-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.

[方法总结] (1)根据四个数中前 3 个成等差、后三个成等 比列方程时,可以据后三个成等比用 a、q 表示四个数,也可以 据前三个成等差,用 a、d 表示四个数,由于中间两数之积为 16,将中间两个数设为aq,aq 这样既可使未知量减少,同时解 方程也较为方便.
(2)注意到中间两数的特殊地位,可设第三个数为 x,则第 二个数为1x6,则第一个数为3x2-x,最后一个数为1x63 ,再利用首 尾两数之和为-128 可列出关于 x 的方程1x63 ·???3x2-x???=-128,解 之得 x=±8,则更简捷.

有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数 列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数 的和是12,则这四个数为多少.
[解析] 解法一:设四个数依次为 a-d,a,a+d,?a+ad?2,
由条件得???a-d+?a+a d?2=16, ??a+?a+d?=12,
解得?????ad= =44 或?????ad= =9-. 6.

所以,当 a=4,d=4 时, 所求四个数为 0,4,8,16. 当 a=9,d=-6 时, 所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为2qa-a,aq,a,aq(a≠0),

由条件得?????2aqqa+-aa=+1a2q,=16,

解得?????qa= =28,

或???q=13, ??a=3.

当 q=2,a=8 时,所求四个数为 0,4,8,16.

当 q=13,a=3 时,所求四个数为 15,9,3,1.

解法三:设四个数依次为 x,y,12-y,16-x, 由条件有??????21y2=-xy+?2?=12y-·?1y6?-,x?, 解得?????yx==40, 或?????yx==91.5, 故所求四个数为 0,4,8,16,或 15,9,3,1.

有关等比数列的开放探究题
已知数列{an}是各项为正数的等比数列,数列 {bn}定义为 bn=1n[lga1+lga2+…+lgan-1+lg(kan)],是否存在实 数 k,使得数列{bn}为等差数列?并证明你的结论.
[分析] 先利用数列{an}是等比数列,求出数列{bn}的通项 公式,再求 bn+1-bn,看使它成为常数的条件是什么?

[解析] 设数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1, bn=1n[lga1+lg(a1q)+lg(a1q2)+…+lg(ka1qn-1)], 解得 bn=1n[nlga1+12n(n-1)lgq+lgk] =lga1+12(n-1)lgq+1nlgk,

∴bn+1-bn=[lga1+12nlgq+n+1 1lgk]-[lga1+12(n-1)lgq+ 1 nlgk]
=12lgq-n?n1+1?lgk. 要使数列{bn}为等差数列,只需 k=1, 故存在实数 k=1,使得数列{bn}成为等差数列.

[方法总结] 除了用假设法,也可以从寻求使它成立的条 件入手,找到解决问题的突破口.下面的性质要熟悉:①若
{an}是等差数列,c是正数,则数列{can}是等比数列;②若{an} 是等比数列,且an>0,则{logaan}(a>0,a≠1)是等差数列,这 两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化.

在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1 =1,且a1=b1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q; (2)是否存在常数a,b使得对一切正整数n,都有an=logabn +b成立?若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.

[解析] (1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,得

?? 1+d=q ???1+7d=q2

,解得?????qd= =65

或?????qd= =10

(舍去).

(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b 成立, 即有 1+5(n-1)=loga6n-1+b.

整理,得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.

∵an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立.

∴?????54- +lbo-gal6o=ga06=0 ,∴a=5 6,b=1.

易混易错点睛

四个实数成等比数列,且前三项之积为 1,后三 项之和为 134,求这个等比数列的公比.
[误解] 设这四个数为 aq-3,aq-1,aq,aq3,由题意得 ??a3q-3=1,① ???aq-1+aq+aq3=134.② 由①得 a=q,把 a=q 代入②并整理, 得 4q4+4q2-3=0,解得 q2=12或 q2=-32(舍去),故所求的公 比为12.

[辨析] 上述解法中,四个数成等比数列,设其公比为 q2,则公比为正数,但题设并无此条件,因此导致结果有误.

[正解] 设四个数依次为 a,aq,aq2,aq3,由题意得

???aq?3=1,① ???aq+aq2+aq3=134.②

由①得 a=q-1,把 a=q-1 代入②

并整理,得 4q2+4q-3=0,解得 q=12或 q=-32,故所求公比

为12或-32.

本节思维导图

等比数列的性质???等 等比 比数 数列 列的 中性 的质 设项方法与技巧 ??等差数列与等比数列的综合应用


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