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福建省长泰县第一中学2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题35


福建省长泰县第一中学 2018-2019 学年高一数学下学期第一次月考

试题

一.选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分)

1.已知集合 A={x|x2–2x>0},B={x|–2<x<3},则

A.A∩B=? B.A∪B=R C.B? A D.A? B

2.下列函数是偶函数的是

()

A.

B.

C.

D.

()

3. 已知函数

,则

的值是 (

)

A.–1

B.3

C.

D.

4.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的面积为( )

A.6 B.3 2

C.6 2

D.12

5.已知平面 α 和直线 l,则 α 内至少有一条直线与 l

()

A.垂直 B.平行

C.相交 D.异面

6. 下列命题正确的是

()

A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形

D.梯形确定一个平面

7.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积和体积分别为

()

A. 、

B. 4? 、

C.8? 、

D. 16? 、

8. 如图:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,设直线 A1B 与平面 A1DCB1 所成角为 θ 1,二面角 A1

﹣DC﹣A 的大小为 θ 2,则 θ 1,θ 2 为(



A.45o,30o

B.30o,45o

C.30o,60o

D.60o,45o

9. 设 a,b,c 表示三条直线,α 、β 表示两个平面,下列命题中不正确的是( )

A.

? a⊥β

B.

? a⊥b

C.

? c∥

α

D.

? b⊥α

10. 在梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )

A. 5? 3

B. 4? 3

C. 2? 3

D.2π

11. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,△PDC,△PBC,△PAB, △PDA 为全等的等边三角形,E、F 分别为 PA、PD 的中点,在此几何体中,下列结论中错 误的为( )

A.直线 BE 与直线 CF 共面 C.平面 BCE⊥平面 PAD

B.直线 BE 与直线 AF 是异面直线 D.面 PAD 与面 PBC 的交线与 BC 平行

12. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论正确 的是( )

A.平面 ADC⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ABD⊥平面 ABC

二、

填空题(4 题,每题 5 分,共 20 分)

13. 计算:若,则实数 a 的取值范围是

14. 若圆锥的表面积是15? ,侧面展开图的圆心角是 600 ,则圆锥的底面积是_______.

15. 给出下列命题:

①在空间,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线平行;

②在空间,若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线平行;

③在空间,若两条直线都与一个平面平行,则这两条直

线平行;

④在空间,若两条直线都与一个平面垂直,则这两条直

线平行;

其中,正确命题的序号是

。(写出所有正

确命题的序号)

16. 在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点, 且 MN⊥AN,若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是______.

三、

解答题(6 题,共 70 分)

17. (10 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,连接 A′C′,A′D,A′B,

BD,BC′, C′D,得到一个三棱锥.求:

(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值;

(2)三棱锥 A′-BC′D 的体积.

18. 如图,在多面体 ABCDE 中,AE ? 面 ABC,DB∥平



ACE

,且 AC ? AB ? BC ? AE ?1, BD ? 2, F 为 CD 中点。

(1)求证: DB // AE ;

(2)求证: EF ? 平面 BCD。

19.(12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点,已知 PA ⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥面 DEF;(2)平面 BDE⊥平面 ABC.
20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1= a ,E 是 A1C1 的中点,
F 是 AB 中点,G 是 AC 中点(图中遗漏,请同学们自行标出).
(1)求证:面 GEF∥面 BB1C1C; (2)求直线 EF 与直线 CC1 所成角的正切值;

f (x) ? 3 sin 2? x ? cos2 ?x

21.设函数

2

,其中 0 ? ? ? 2 ;

(Ⅰ)若 f (x) 的最小正周期为? ,求 f (x) 的单调增区间;

(Ⅱ)若函数

f

(x)

的图象的一条对称轴为

x

?

? 3

,求 ?

的值.

22.如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2 ,等边△ADB 所在的平
面以 AB 为轴可转动.
(Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D- ABC 的体积;
( Ⅱ ) 当 △ ADB 转 动 过 程 中 , 是 否 总 有 AB ⊥ CD ? 请 证 明 你 的 结 论 .

D

A

B

C

参考答案

一.选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 12 分)

1.已知集合 A={x|x2–2x>0},B={x|–2<x<3},则

A.A∩B=? B.A∪B=R C.B? A D.A? B

2.下列函数是偶函数的是

(B )

A.

B.

C.

(B) D.

3. 已知函数

,则

的值是 ( C )

A.–1

B.3

C.

D.

4.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的面积为( D )

A.6 B.3 2

C.6 2

D.12

5.已知平面 α 和直线 l,则 α 内至少有一条直线与 l

A.垂直 B.平行

C.相交 D.异面

6. 下列命题正确的是( D )

(A)

A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面

C.四边形是平面图形

D.梯形确定一个平面

7.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积和体积分别为

(B)

A. 、

B. 4? 、

C.8? 、

D. 16? 、

8. 如图:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,设直线 A1B 与平面 A1DCB1 所成角为 θ 1,二面角 A1 ﹣DC﹣A 的大小为 θ 2,则 θ 1,θ 2 为( B )

A.45o,30o

B.30o,45o

C.30o,60o

D.60o,45o

9. 设 a,b,c 表示三条直线,α 、β 表示两个平面,下列命题中不正确的是( D )

A.

? a⊥β

α

D.

? b⊥α

B.

? a⊥b

C.

? c∥

10. 在梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线

旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A )

A. 5? 3

B. 4? 3

C. 2? 3

D.2π

11. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,△PDC,△PBC,△PAB, △PDA 为全等的等边三角形,E、F 分别为 PA、PD 的中点,在此几何体中,下列结论中错 误的为( C )

A.直线 BE 与直线 CF 共面 B.直线 BE 与直线 AF 是异面直线 C.平面 BCE⊥平面 PAD D.面 PAD 与面 PBC 的交线与 BC 平行
12. 如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下列结论正确 的是( A )

A.平面 ADC⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC 四、

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ABD⊥平面 ABC 填空题(4 题,每题 5 分,共 20 分)

13. 计算:若,则实数 a 的取值范围是 ( ,+∞)

14. 若圆锥的表面积是15? ,侧面展开图的圆心角是 600 ,则圆锥的底面积是_______.

【答案】 15. 给出下列命题:

①在空间,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线平行;

②在空间,若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线平行;

③在空间,若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线平行;

④在空间,若两条直线都与一个平面垂直,则这两条直线平行;

其中,正确命题的序号是

。(写出所有正确命题的序号)

【答案】①④

16. 在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点, 且 MN⊥AM,若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S—ABC 外接球的 表面积是_____36π ___.

五、

解答题(6 题,共 70 分)

17. (10 分)如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,连接 A′C′,A′D,A′B,

BD,BC′, C′D,得到一个三棱锥.求:

(1)三棱锥 A′-BC′D 的表面积与正方体表面积的比值;

(2)三棱锥 A′-BC′D 的体积.

解:(1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体, ∴A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D= 2a, ∴三棱锥 A′-BC′D 的表面积为

4×12× 2a× 23× 2a=2 3a2.

而正方体的表面积为 6a2,

故三棱锥

A′-BC′D

2 3a2 的表面积与正方体表面积的比值为 6a2 =

33.

(2)三棱锥 A′-ABD,C′-BCD,D-A′D′C′,B-A′B′C′是完全一样的.

故 V =V -4V 三棱锥 A′-BC′D

正方体

三棱锥 A′-ABD

=a3-4×13×12a2×a=a33.

18. 如图,在多面体 ABCDE 中, AE ? 面 ABC,DB∥平面 ACE ,且 AC ? AB ? BC ? AE ?1, BD ? 2, F 为 CD 中点。

(1)求证: DB // AE ; (2)求证: EF ? 平面 BCD。
19.(12 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点,已知 PA ⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥面 DEF;(2)平面 BDE⊥平面 ABC.
19. [证明] (1)在△PAC 中,D、E 分别为 PC、AC 中点, 则 PA∥DE,PA?面 DEF,DE? 面 DEF, 因此 PA∥面 DEF.

(2)△DEF 中,DE=12PA=3,EF=12BC=4,DF=5, ∴DF2=DE2+EF2,∴DE⊥EF, 又 PA⊥AC,∴DE⊥AC. ∴DE⊥面 ABC,∴面 BDE⊥面 ABC
20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1= a ,E 是 A1C1 的中点,
F 是 AB 中点,G 是 AC 中点(图中遗漏,请同学们自行标出).
(1)求证:面 GEF∥面 BB1C1C; (2)求直线 EF 与直线 CC1 所成角的正切值;

【答案】

f (x) ? 3 sin 2? x ? cos2 ?x

21.设函数

2

,其中 0 ? ? ? 2 ;

(Ⅰ)若 f (x) 的最小正周期为? ,求 f (x) 的单调增区间;

(Ⅱ)若函数

f

(x)

的图象的一条对称轴为

x

?

? 3

,求 ?

的值.

【答案】(1)

????

? 3

?

k?

,

? 6

?

k?

???, k

?

Z

;(2)

1 2

【解析】

f (x) ? 3 sin 2?x ? 1 ? cos 2?x

(1)

2

2

? sin?? 2?x ? ? ?? ? 1 .

?

6? 2

?T ? ? ,? ? 0,? 2? ? ? ,?? ? 1. 2?

? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,

令2

62

? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? z,

得, 3

6

所以,

f

(x)

的单调增区间为:

????

? 3

?

k?

,

? 6

?

k?

???, k

?

Z.

(2)?

f

(x)

?

sin?? 2?x ?

?

? 6

?? ? ?

1 2

? 的一条对称轴方程为 3

.

? 2? ? ? ? ? ? ? ? k? , k ? z. 36 2
?? ? 3 k ? 1 . 22

? 1 ? k ? 1. 又 0 ? ? ? 2 ,? 3

?k ? 0,?? ? 1 . 2

22.如图,A、B、C、D 是空间四点,在△ABC 中,AB=2,AC=BC= 2 ,等边△ADB 所在的平
面以 AB 为轴可转动.
(Ⅰ)当平面 ADB⊥平面 ABC 时,求三棱锥 D- ABC 的体积;
( Ⅱ ) 当 △ ADB 转 动 过 程 中 , 是 否 总 有 AB ⊥ CD ? 请 证 明 你 的 结 论 .

D

A

B

C

【答案】解:(Ⅰ)设 AB 的中点为 O,连接 OD,OC,

由于△ADB 是等边为 2 的三角形, \ OD ^ AB 且 OD = 3 ,………………2 分 平面ADB ^ 平面ABC \ OD ^ 平面ABC ………………………………4 分

1 \ V三棱锥D- ABC = 3 SDABC ? OD

1创1 2? 32

2 1? 3

3 .…………6 分 3

(Ⅱ)当△ADB 以 AB 为轴转动过程中,总有 OD ^ AB,OC ^ AB ,……………8 分 即有 AB ^ 平面COD ,故有 AB ^ CD ;………………………………10 分 当平面 ABD 与平面 ABC 重合时,由平面几何知 AB ^ CD ;……………………11 分
于是,当△ADB 转动过程中,总有 AB⊥CD。………………………………12 分


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