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13年5月北京朝阳高三二模理科数学试题及参考答案


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试(理工类)
2013.5(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)已知集合 M ? ? 0 ,1, 3? ,集合 N ? ? x x ? 3 a , a ? M ? ,则 M ? N = A. ? 0 ?
1 2

B. ? 0 , 3?

C. ?1, 3, 9 ?

D. ? 0 ,1, 3, 9 ?

(2)若 ? ( x ? m x )d x ? 0 ,则实数 m 的值为
0

A. ?

1 3

B. ?

2 3

C. ? 1

D. ? 2

(3)执行如图所示的程序框图.若输出的结果是 1 6 ,则判断框内的条件是 A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8 ? D. n ? 9 ? 开始

S=0

1

n=1
正视图

1

侧视图

1

S=S+n

n=n+2 否
俯视图

是 输出 S

(第 3 题图) 结束 (第 3 题图)

(第 5 题图)

(4)若双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 2 有公共点,则此双曲
2

线的离心率的取值范围是 A. [3, ? ? ) B. (3, ? ? ) C. (1, 3] D. (1, 3)

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A.
1 6

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

(6)某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一 天,至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有 A. 1 0 种 B. 1 2 种 C. 1 8 种 D. 3 6 种 (7) 已知函数 f ( x ) ? a ? 2 ? 1( a ? 0 ) , 定义函数 F ( x ) ? ?
x

? f ( x ), ? ? f ( x ),

x ? 0, x ? 0.

给出下列命题:

① F ( x ) ? f ( x ) ; ②函数 F ( x ) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 m n ? 0 , m ? n ? 0 , 总有 F ( m ) ? F ( n ) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是 A.② B.①② C.③ D.②③
??? ???? ? ?

(8)点 P 是棱长为 1 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的底面 A1 B1C 1 D 1 上一点,则 P A ?P C 1 的 取值范围是 A. [ ? 1, ?
1 4 ]

B. [ ?

1 2

,?

1 4

]

C. [ ? 1, 0 ]

D. [ ?

1 2

, 0]

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算
3?i 1? i ?



(10) 若直线 l 与圆 C : ?

? x ? 2 cos ? , ? y ? ? 1 ? 2 s in ?

( ? 为参数) 相交于 A ,B 两点,

且弦 A B 的中点坐标是 (1, ? 2 ) , 则直线 l 的倾斜角为



(11) 如图,P C 切圆 O 于点 C , 割线 P A B 经过圆心 O ,P C ? 4 , P B ? 8 , 则 tan ? C O P ? ,△ O B C 的面积是 . (12)某公司一年购买某种货物 6 0 0 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存 储费用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则每次需购买 吨.

?3 x ? 4 y ? 19, ? (13 将一个质点随机投放在关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域内, 则 ?y ?1 ?

该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是
n


n ?

n (14)数列 {2 ? 1} 的前 n 项 1, 3, 7 , ? , 2 ? 1 组成集合 A n ? {1, 3, 7 , ? , 2 ? 1} ( n ? N ) ,从

集合 A n 中任取 k ( k ? 1, 2 , 3,? , n ) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 T k (若只 取一个数, 规定乘积为此数本身) 记 S n ? T1 ? T 2 ? ? ? T n . , 例如当 n ? 1 时, A1 ? {1} ,
T1 ? 1 ,S 1 ? 1 ;当 n ? 2 时, A 2 ? {1, 3} ,T1 ? 1 ? 3 ,T 2 ? 1 ? 3 ,S 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 7 .

则当 n ? 3 时, S 3 ?

;试写出 S n ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 在△ A B C 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且
f ( A) ? 2 cos A 2 s in ( ? ? A 2 ) ? s in
2

A 2

? cos

2

A 2

.

(Ⅰ)求函数 f ( A ) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A ) ? 0, C ?
?? 12 ,a ? 6 ,求 b 的值.

(16) (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , EA ? 平 面 A B C D EA ? ,
A D ? P D ? 2 E A ? 2 , F , G , H 分别为 P B , E B , P C PD ,

的中点. (Ⅰ)求证: F G ? 平面 P E D ; (Ⅱ)求平面 F G H 与平面 P B C 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 P C 上是否存在一点 M ,使直线 F M 与直线
P A 所成的角为 6 0 ?若存在,求出线段 P M 的长;若
?

P

H F E D G A B C

不存在,请说明理由. (17) (本小题满分 13 分) 为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数

独比赛”.比赛成绩共有 90 分,70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五 个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级 进行了统计,得到如下数据表: A B C D E 成绩等级 成绩(分) 人数(名) 90 4 70 6 60 10 40 7 30 3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人, 其成绩等级为“ A 或 B ”的概率; (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人,记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ; (Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 2 0 分”的概率. (18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
mx x ?1
2

? 1 (m ? 0 ) g(x ? e ( x , )
2

ax

a )? R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x 2 ? [0, 2 ] , f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
???? ???? ?
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 F (1, 0 ) ,短轴的端点分别为 B1 , B 2 ,

且 F B1 ? F B 2 ? ? a . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 且斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点, M N 的垂直平分线与 x 轴 弦 相交于 点 D .设弦 M N 的中点为 P ,试求
DP MN

的取值范围.

(20) (本小题满分 13 分) 已 知 实 数 x1 , x 2 , ? , x n
S ( x1 , x 2 , ? , x n ) ?

( n?2

) 满 足 | x i |? 1( i ? 1, 2, 3, ? , n )

, 记

?
1? i ? j ? n

xi x j .

(Ⅰ)求 S ( ? 1,1, ?

2 3

) 及 S (1,1, ? 1, ? 1) 的值;

(Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x 2 , x 3 ) 的最小值; (Ⅲ)求 S ( x1 , x 2 , ? , x n ) 的最小值. 注:

?
1? i ? j ? n

x i x j 表示 x1 , x 2 , ? , x n 中任意两个数 x i , x j ( 1 ? i ? j ? n )的乘积之和.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案(理工类)
2013.5 一、选择题: 题号 答案 (1) D (2) B (3) C (4) A (5) A (6) C (7) D (8) D

二、填空题: 题 (9) 号 答 案
2?i

(10)
? 4 4 3

(11)
18 5

(12)
30

(13)
1? ? 12
63

(14)
n ( n ?1)

2

2

?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( A ) ? 2 c o s
A 2 sin A 2 ? sin
2

A 2

? cos ? 4

2

A 2

? sin A ? c o s A ?

2 sin ( A ?

).

因为 A 为三角形的内角,所以 0 ? A ? ? , 所以 ?
? 4 ? A? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ?? 4

.
3? 4 2 s in ( A ? ? 4 ) ? 0 ,所以 sin ( A ? ? 4 ? 0 ,所以 A ? ? 4 ) ?0 .

所以当 A ?

,即 A ?

时, f ( A ) 取得最大值,且最大值为 2 . ???6 分

(Ⅱ)由题意知 f ( A ) ? 又因为 ?
? 4 ? A? ?? 12 ? 4 ?

?? 4

,所以 A ?
? 3

? 4



又因为 C ?

,所以 B ?



由正弦定理

a s in A

?

b s in B

得, b ?

a s in B s in A

6 ? s in ? s in ? 4

? 3 ? 3 .

????13 分

(16) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 P B , B E 的中点, 所以 F G ? P E . 又 F G ? 平面 P E D , P E ? 平面 P E D , 所以 F G ? 平面 P E D . (Ⅱ)因为 E A ? 平面 A B C D , E A ? P D , 所以 P D ? 平面 A B C D , 所以 P D ? A D , P D ? C D . 又因为四边形 A B C D 是正方形, 所以 A D ? C D . 如图,建立空间直角坐标系, 因为 A D ? P D ? 2 E A ? 2 , 所以 D ? 0 , 0 , 0 ? , P ? 0 , 0 , 2 ? , A ? 2 , 0 , 0 ? ,
C

????4 分

z P

H F E D G A x B ????5 分 C
y

? 0 , 2 , 0 ? , B ? 2 , 2 , 0 ? , E ( 2, 0,1) .

因为 F , G , H 分别为 P B , E B , P C 的中点, 所以 F ? 1,1,1 ? , G ( 2 ,1, ) , H (0,1,1) . 所以 G F ? ( ? 1, 0 , ) , G H ? ( ? 2 , 0 , ) .
2 2 2 1 ???? 1 ???? 1

1 ? ???? ?x ? z ? 0 ? n1 ? G F ? 0 ? 1 2 1 ? ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 F G H 的一个法向量,则 ? ,即 ? , ???? ? n1 ? G H ? 0 ??2 x ? 1 z ? 0 ? 1 1 ? ? 2

再令 y 1 ? 1 ,得 n1 ? (0 ,1, 0 ) . P B ? ( 2, 2, ? 2 ) , P C ? (0, 2, ? 2 ) .
??? ? ? n2 ? P B ? 0 ? 设 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为平面 P B C 的一个法向量,则 ? , ???? ? n2 ? P C ? 0 ?

??? ?

????

即?

? 2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0

,令 z 2 ? 1 ,得 n 2 ? (0 ,1,1) .

所以 c o s n1 , n 2 =

n1 ? n 2 n1 ? n 2

=

2 2

.
? 4

所以平面 F G H 与平面 P B C 所成锐二面角的大小为

.

????9 分
?

(Ⅲ)假设在线段 P C 上存在一点 M ,使直线 F M 与直线 P A 所成角为 6 0 . 依题意可设 P M ? ? P C ,其中 0 ? ? ? 1 . 由 P C ? (0, 2, ? 2 ) ,则 P M ? (0, 2 ? , ? 2 ? ) . 又因为 F M ? F P ? P M , F P ? ( ? 1, ? 1,1) ,所以 F M ? ( ? 1, 2 ? ? 1,1 ? 2 ? ) . 因为直线 F M 与直线 P A 所成角为 6 0 , P A ? ( 2 , 0 , ? 2 ) , 所以 c o s F M , P A =
???? ??? ? ?
1 2
???? ?
?

???? ?

??? ?

????

???? ?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

,即

1 2

? 2

?2 ? 2 ? 4? 2 ? 1 ? 2 ( 2 ? ? 1)
2

,解得 ? ?

5 8

.

所以 P M ? ( 0 ,

5 4

,?

5

???? ? 5 2 ) , PM ? . 4 4 5 2 4

? 所以在线段 P C 上存在一点 M ,使直线 F M 与直线 P A 所成角为 6 0 , 此时 P M ?

.

???????????????14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为“ A 或 B ”的频 率为
4 30 1 3 ? 6 30 ? 10 30 ? 1 3



从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约 为 .????????????????????????????????3 分

(Ⅱ)由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 所以 P ( X ? 0 ) ? C 3 ( ) ? ( ) ?
0 0 3

1

2

8 27



3

3

2 2 12 4 1 1 1 P ( X ? 1) ? C 3 ( ) ? ( ) ? ? ; 3 3 27 9 2 1 6 2 2 1 2 P ( X ? 2) ? C3 ( ) ? ( ) ? ? ; 3 3 27 9

2 0 1 3 1 3 P ( X ? 3) ? C 3 ( ) ? ( ) ? . 3 3 27

随机变量 X 的分布列为
X

0
8 27
?2? 6 27

1
4 9
?3?

2
2 9
1 27

3
1 27
?1.

P

所以 E X ? 0 ?

8 27

? 1?

12 27

?????9 分

(Ⅲ)设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 2 0 分. 设从这 30 名学生中,随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m , n . 显然基本事件的总数为 C 3 0 . 不妨设 m ? n , 当 m ? 9 0 时, n ? 6 0 或 4 0 或 3 0 ,其基本事件数为 C 4 ? ( C 1 0 ? C 7 ? C 3 ) ;
1 1 1 1 2

当 m ? 7 0 时, n ? 4 0 或 3 0 ,其基本事件数为 C 6 ? ( C 7 ? C 3 ) ;
1 1 1

当 m ? 6 0 时, n ? 3 0 ,其基本事件数为 C 1 0 ? C 3 ;
1 1

所以 P ( M ) ?

C 4 ? (C 10 ? C 7 ? C 3 ) ? C 6 ? (C 7 ? C 3 ) ? C 10 ? C 3
1 1 1 1 1 1 1 1

1

C 30

2

?

34 87



所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 2 0 分的概率为
34 87



?????13 分

(18) (本小题满分 1 3 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ? ( x ) ?
m (1 ? x ) ( x ? 1)
2 2 2

?

m (1 ? x )(1 ? x ) ( x ? 1)
2 2

.????1 分

①当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ? ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x )
f ( x)

( ? ? , ? 1)

( ? 1, 1 )

(1, ? ? )

?

?

?

?

?

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? 1, 1 ) ,单调递减区间是 ( ? ? , ? 1 ) , (1, ? ? ) . ????3 分

②当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ? ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:
x
f ?( x ) f ( x)

( ? ? , ? 1)
?

( ? 1, 1 )

(1, ? ? )

?

?

?

?

?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ? ? , ? 1 ) , (1, ? ? ) ,单调递减区间是 ( ? 1, 1 ) . ?????5 分 (Ⅱ)依题意, “当 m ? 0 时,对于任意 x1 , x 2 ? [0, 2 ] , f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 恒成立”等价于 “当
m ? 0 时,对于任意 x ? [0, 2 ] , f ( x ) m in ? g ( x ) m ax 成立”.

当 m ? 0 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 在 [0 ,1] 上单调递增,在 [1, 2 ] 上单调递减, 因为 f (0 ) ? 1 , f ( 2 ) ?
2m 5 ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的最小值为 f (0 ) ? 1 .

所以应满足 g ( x ) m ax ? 1 . ???????????????????????6 分

因为 g ( x ) ? x e ,所以 g ? ( x ) ? ( a x + 2 x )e .
2 ax
2 ax 2

?????7 分

①当 a ? 0 时,函数 g ( x ) ? x , ? x ? [0, 2 ] , g ( x ) m ax ? g ( 2 ) ? 4 , 显然不满足 g ( x ) m ax ? 1 ,故 a ? 0 不成立. ②当 a ? 0 时,令 g ? ( x ) ? 0 得, x1 ? 0 , x 2 ? ? (ⅰ)当 ?
2 a ? 2 ,即 ? 1 ? a ? 0 时, 2 a

?????8 分 .

在 [0, 2 ] 上 g ? ( x ) ? 0 ,所以函数 g ( x ) 在 [0, 2 ] 上单调递增, 所以函数 g ( x ) m ax ? g ( 2 ) ? 4 e 由 4e
2a

2a

. ?????10 分

? 1 得, a ? ? ln 2 ,所以 ? 1 ? a ? ? ln 2 .

(ⅱ)当 0 ? ?

2 a

? 2 ,即 a ? ? 1 时,

在 [0 , ?

2 a

) 上 g ? ( x ) ? 0 ,在 ( ? 2 a

2 a

, 2 ] 上 g ?( x ) ? 0 , 2 a , 2 ] 上单调递减,

所以函数 g ( x ) 在 [0 , ? 所以 g ( x ) m a x ? g ( ? 由 (ⅲ)当 ?
4 a e 2 a
2 2

) 上单调递增,在 ( ? 4 a e
2 2

2 a

)? 2 e

. ?????11 分

? 1 得,a ? ?

,所以 a ? ? 1 .

? 0 ,即 a ? 0 时,显然在 [0, 2 ] 上 g ? ( x ) ? 0 ,
2a

函数 g ( x ) 在 [0, 2 ] 上单调递增,且 g ( x ) m ax ? g ( 2 ) ? 4 e 显然 g ( x ) m ax ? 4 e
2a

. ?????12 分 ?????13 分

? 1 不成立,故 a ? 0 不成立.

综上所述, a 的取值范围是 ( ? ? , ? ln 2 ] . (19) (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)依题意不妨设 B 1 (0 , ? b ) , B 2 (0 , b ) ,则 F B1 ? ( ? 1, ? b ) , F B 2 ? ( ? 1, b ) . 由 F B1 ? F B 2 ? ? a ,得 1 ? b ? ? a .又因为 a ? b ? 1 ,
2 2 2

????

???? ?

???? ???? ?

解得 a ? 2 , b ?

3 .

所以椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

?????4 分

4

3

(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 2 2 由? x2 y2 得 (3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k ? 1 2 ? 0 . ? ?1 ? 3 ? 4

设 M ( x1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?
2 2

8k

2 2

3 ? 4k

, x1 x 2 ?

4k ? 12
2

3 ? 4k

2

.

????6 分

所以弦 M N 的中点为 P (

4k

3 ? 4k

,

?3k 3 ? 4k
2
2

).

?????7 分

所以 M N ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

?

( k ? 1)[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
2 2

?

( k ? 1)[
2

64k

4 2 2

(3 ? 4 k )

?

4(4k ? 12)
2

3 ? 4k

2

]

?

1 2 ( k ? 1)
2

4k ? 3
2

.

?????9 分

直线 P D 的方程为 y ?

3k 4k ? 3
2

? ?

1 k

(x ?

4k
2

2

4k ? 3

),

由 y ? 0 ,得 x ?

k
2

2

4k ? 3
2 2

,则 D (

k
2

2

4k ? 3

, 0) ,

所以 D P ?

3 k ( k ? 1) 4k ? 3
2

.

????11 分

3 k ( k ? 1)
2 2

所以

DP MN

?

4k ? 3 2 1 2 ( k ? 1)
2

?

1 4

k
2

2

k ?1

?

1 4

1?

1 k ?1
2

.

?????12 分

4k ? 3
2

又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

1 k ?1
2

?1.

所以 0 ?

1 4

1?

1 k ?1
2

?

1 4

.

所以

DP MN

的取值范围是 ( 0 , ) .
4

1

???????????????14 分

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 S ( ? 1,1, ?
2 3 ) ? ?1 ? 2 3 ? 2 3 ? ?1 .

S (1,1, ? 1, ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 .

?????3 分

(Ⅱ)设 S ? S ( x1 , x 2 , x 3 ) . 当 n ? 3 时, S ? S ( x1 , x 2 , x 3 ) ?

?
1? i ? j ? 3

x i x j ? x1 x 2 ? x1 x 3 ? x 2 x 3 .

若固定 x 2 , x 3 ,仅让 x1 变动,此时 S ? x1 x 2 ? x1 x 3 ? x 2 x 3 ? ( x 2 ? x 3 ) x1 ? x 2 x 3 , 因此 S ? m in { S (1, x 2 , x 3 ), S ( ? 1, x 2 , x 3 )} .

同理 S (1, x 2 , x 3 ) ? m in { S (1,1, x 3 ), S (1, ? 1, x 3 )} .
S ( ? 1, x 2 , x 3 ) ? m in { S ( ? 1,1, x 3 ), S ( ? 1, ? 1, x 3 )} .

以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值 ? 1 的 x1 , x 2 , x 3 所达到, 于是 S ? m in { S ( x1 , x 2 , x 3 )} .
xk ? ? 1 k ? 1, 2 ,3

当 x k ? ? 1 ( k ? 1, 2 , 3 )时, S ?
?

1 2 1 2

[( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? ( x1 ? x 2 ? x 3 )]
2 2 2 2

( x1 ? x 2 ? x 3 ) ?
2

3 2



因为 | x1 ? x 2 ? x 3 |? 1 , 所以 S ? 因此 S m in ? ? 1 . (Ⅲ)设 S ? S ( x1 , x 2 , ? , x n ) ?

1 2

?

3 2

? ?1 , x S 且当 x1 ? x 2 ? 1 , 3 ? ? 1 时, ? ? 1 .

?????8 分

?
1? i ? j ? n

xi x j

? x1 x 2 ? x 1 x 3 ? ? ? x 1 x n ? x 2 x 3 ? ? ? x 2 x n ? ? ? x n ? 1 x n .

固定 x 2 , x 3 , ? , x n ,仅让 x1 变动,此时
S ? ( x 2 ? x 3 ? ? ? x n ) ? x1 ? ( x 2 x 3 ? ? ? x 2 x n ? ? ? x n ? 1 x n ) ,

因此 S ? m in { S (1, x 2 , x 3 , ? , x n ), S ( ? 1, x 2 , x 3 , ? , x n )} . 同理 S (1, x 2 , x 3 , ? , x n ) ? m in { S (1,1, x 3 , ? , x n ), S (1, ? 1, x 3 , ? , x n )} .
S ( ? 1, x 2 , x 3 , ? , x n ) ? m in { S ( ? 1,1, x 3 , ? , x n ), S ( ? 1, ? 1, x 3 , ? , x n )} .

以此类推, 我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值 ? 1 的 x1 , x 2 , ? , x n 所达 到,于是 S ? m in { S ( x1 , x 2 , ? , x n )} .
xk ? ? 1 k ? 1, 2 ,? , n

当 x k ? ? 1 ( k ? 1, 2, ? , n )时, S ?
?

1 2 1 2

[( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )]
2 2 2 2

( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ?
2

n 2



①当 n 为偶数时, S ? ?

n 2



x 若取 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 , n
2 2

?1

? xn
2

?2

? ? ? xn ? ? 1 , S ? ? 则
1 2

n 2

, 所以 S m in ? ?

n 2



②当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x 2 ? ? ? x n |? 1 ,所以 S ? ? 若取 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 ? 1 , x n ? 1
2 2

( n ? 1) , 1 2

?1

? x n ?1
2

?2

? ? ? x n ? ? 1 ,则 S ? ?

( n ? 1) ,

所以 S m in ? ?

1 2

( n ? 1) .

??????????13 分


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