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江苏省启东中学2018_2019学年高一数学下学期3月月考试题(创新班,含解析)


江苏省启东中学 2018-2019 学年度第二学期第一次月考

高一数学(创新班)

一、选择题(本题共 8 小题)

1.已知

,则 是 的( )

A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析:先将命题化简,p:2<x<4,q:x<-3 或 x>2,因此 p 可推出 q 而 q 不能推 p,所以 p 是 q

充分而不必要条件,答案为 C.

考点:命题间的关系

2.设抛物线

上一点 到此抛物线准线的距离为 ,到直线

的距离为 ,



的最小值为( )

A. 3

B.

C.

D. 4

【答案】A 【解析】 分析:利用抛物线的定义,将 d1+d2 的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论. 详解::∵点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, ∴过焦点 F 作直线 3x+4y+12=0 的垂线,则点到直线的距离为 d1+d2 最小值, ∵F(1,0),直线 3x+4y+12=0

故选 A. 点睛:本题主要考查了抛物线的简单性质,点到直线距离公式的应用,将 d1+d2 的最小值转化 为点到直线的距离是关键.

3.设 是椭圆

上一点, 分别是两圆



上的

点,则 A. 4,8 【答案】A

的最小值和最大值分别为( )

B. 2,6

C. 6,8

D. 8,12

【解析】

【分析】

在两个三角形中,由三角形知识列不等式





两不等式组同向相加,再利用椭圆定义

即可得解。

【详解】根据题意作出如下图像,其中 是椭圆的左,右焦点,



中可得:



中可得:

由①+②得:

…①, 当且仅当 …②,当且仅当

三点共线时,等号成立, 三点共线时,等号成立, ,

由椭圆方程

可得: ,即

由椭圆定义可得:



所以

可化为:

.

故选:A.

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及椭圆方程,还考查了三角形中两边之和大于第三边,

两边之差小于第三边结论,考查了转化能力,属于中档题。

4.某教师一天上 3 个班级的课,每班上 1 节,如果一天共 9 节课,上午 5 节,下午 4 节,并

且教师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排

法有( )

A. 474 种

B. 77 种

C. 462 种

D. 79 种

【答案】A

【解析】

试题分析:根据题意,由于某教师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上

午 5 节、下

午 4 节,并且教师不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上),所有的上课方法有 ,那么连

着上 3 节课的情况有 5 种,则利用间接法可知所求的方法有 -5 =474,故答案为 A.

考点:排列组合 点评:主要是考查了排列组合的运用,属于基础题。 5.若平面 的一个法向量为 ()

,则点 到平面 的距离为

A. 1

B. 2

C.

D.

【答案】C 【解析】

分析:求出 ,点 A 到平面 的距离:

,由此能求出结果.

详解:



, ,,

AB 为平面 的一条斜线,且

点 A 到平面 的距离:

故选 C. 点睛:点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n

为平面 α 的法向量,则 A 到平面 α 的距离

.

6.若椭圆

和双曲线

的共同焦点为 , , 是两曲线的一个交点,则

的值为 ( )

A.

B. 84

C. 3

D. 21

【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意作出图像,分别利用椭圆及双曲线定义列方程,解方程组即可求解。 【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下:

由椭圆方程

可得:



由椭圆定义可得:

…(1),

由双曲线方程

可得:

,,

由双曲线定义可得:

…(2)

联立方程(1)(2),解得:



所以

故选:D.

【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义,还考查了椭圆及双曲线的简单性质,考查计

算能力,属于中档题。

7.已知

, 且 中有三个元素,若 中的元素可构成等差数列,则这样的

集合 共有( )个

A. 460

B. 760

C. 380

D. 190

【答案】C

【解析】

【分析】

对等差数列的公差分类,即可求得各种公差时满足要求的集合 的个数,问题得解。

【详解】当等差数列的公差为 1 时,满足这样的条件的集合 的个数为:



当等差数列的公差为 2 时,满足这样的条件的集合 的个数为:

个,

当等差数列的公差为 3 时,满足这样的条件的集合 的个数为:

个,



当等差数列的公差为 19 时,满足这样的条件的集合 的个数为:

个,

构成一个等差数列,其和为:

.

故选:C 【点睛】本题主要考查了分类思想及等差数列求和,考查观察推理能力,属于中档题。

8.如图,已知双曲线

上有一点 ,它关于原点的对称点为 ,点 为双曲

线的右焦点,且满足 ()

,设

,且

,则该双曲线离心率 的取值范围为

A. C. 【答案】B 【解析】

设左焦点为 ,令







∵点 关于原点 的对称点为 ,





































,则 ,

B. D.














故选 .

点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范

围),常见有两种方法:①求出 a,c,代入公式 ;②只需要根据一个条件得到关于 a,b,

c 的齐次式,结合 b2=c2-a2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2

转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).

二、填空题(本题共 8 小题)

9.命题“



”的否定是_______.

【答案】

【解析】

试题分析:特称命题的否定为全称命题,并将结论加以否定,因此命题的否定为:“



均有



考点:全称命题与特称命题

10.已知椭圆

上的点 到右焦点的距离为 2,则点 到左准线的距离为____.

【答案】4 【解析】

因为椭圆

上的点 到右焦点的距离为 2,所以 到左焦点的距离为

,即 的

横坐标为 0,即点 到左准线

的距离为 4.

点睛:本题考查椭圆的定义的应用.在处理与圆锥曲线的两焦点问题时,往往利用圆锥曲线的

定义合理进行转化,如遇到椭圆或双曲线上的点到准线问题,要考虑两者的第二定义进行合

理转化.

11.设条件 :实数 满足

;条件 :实数 满足

且是的

必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是____

【答案】

【解析】

由命题 实数 满足





或,

由命题 实数 满足





∵,





∵ 是 的必要不充分条件,









12.已知



,其中 ; ,且 与 夹角为钝角,则 取值范围是_____.

【答案】



【解析】 【分析】 求出 【详解】因为 所以

,由 与 夹角为钝角可得:





且 与 不反向共线,问题得解。

因为 与 夹角为钝角,所以

且 与 不反向共线,

又因为 与 共线时,有

,即:

所以

,解得:

.

【点睛】本题主要考查了向量夹角的数量积表示及空间向量数量积的坐标运算,还考查空间 向量共线知识及计算能力,属于中档题。

13.曲线

的焦点是双曲线 的焦点,点

在 上,则 的方程是

________.

【答案】

【解析】 【分析】

整理

可得:

,即可求得双曲线 的焦点坐标,设双曲线 的方

程为:

,将点

代入双曲线 的方程,结合

,问题得解。

【详解】:整理 该方程表示椭圆,其焦点坐标为 由题可设双曲线 的方程为:

可得: ,

, ,且

即可求出

因为点

在 上,将它代入上式可得:



,解得:



所以双曲线 的方程为:

.

【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质及方程思想,考查化简能力,属于中档题。

14.已知



,则向量 与 的夹角是________.

【答案】

【解析】

【分析】

分别求出向量 与 的坐标,利用向量坐标间的关系可得

量 与 垂直,问题得解。

【详解】因为



所以



所以

,即可判断向 ,

所以向量 与 垂直,所以向量 与 的夹角为 .

【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示,考查计算能力,属于 基础题。

15.如图,椭圆

,圆

,椭圆的左右焦点分别为 ,过椭

圆上一点 和原点 作直线 交圆 于 两点,若

,则

的值为_______

【答案】 【解析】 试题分析:由已知

,所以

, .故答案为 .

考点:1、余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算;2、圆的性质及椭圆的定义, 性质; 【方法点晴】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性 质及椭圆的定义,性质,属于难题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使 不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的 基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系;同时,由于综合性较强, 不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘.本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转 化后再利用椭圆定义及余弦定理解答.

16.斜率为 直线 经过椭圆

的左顶点 ,且与椭圆交于另一个点 ,若在 轴

上存在点 使得

是以点 为直角顶点的等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为_______.

【答案】

【解析】

设经过椭圆

的左顶点

且斜率为 的直线方程为

,联立

,得

,解得

,则



的中点为

, 的中垂线方程为

,令

,得

,则



,则





,化简,得

,则

,即该椭圆的离

心率为

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知命题 :“椭圆

的焦点在 轴上”;命题 :“关于 的不等式

在 上恒成立”.

(1)若命题 为真命题,求实数 的取值范围;

(2) 若命题“ 或 ”为真命题、“ 且 ”为假命题,求实数 的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【解析】

试题分析:(1)利用椭圆的标准方程化简命题 ,即可求解;(2)先根据真值表得到两简单命

题的真假,再利用相关数集进行求解.

试题解析:(1) 真:椭圆

的焦点在 轴上 ∴

(2)∵“ 或 ”为真命题、“ 且 ”为假命题 ∴ 真 假或 假 真

真:∵关于 的不等式

在 R 上恒成立



,解得:





解得:



∴实数 a 的取值范围是





18.椭圆

的中心是 ,左,右顶点分别是 ,点 到右焦点的距离为 3,

离心率为 , 是椭圆上与 , 不重合的任意一点.

(1)求椭圆方程; (2)设

是 轴上定点,若当 点在椭圆上运动时 最大值是 ,求 的值.

【答案】(1)

(2)

【解析】 【分析】

(1) 利用点 到右焦点的距离为 3,离心率为 ,列方程组即可求得

,问题得解。

(2) 设 讨论得到

,表示出 ,由

,对 与 的大小分类 列方程即可求得 的值,问题得解。

【详解】(1) 由题意得

, 解得

,所以



所以所求方程为



(2)设



则:



①当

时,

,令

,解得

②当

时,

,令

,解得



因为

,所以

(舍去)

所以 的值是

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及函数思想,还考查了两点距离公式,考查计算能 力及分类思想,属于中档题。

19.如图,在三棱锥

中,



.点 分别是

的中点, 底

面.

(1)求证:

平面 .

(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)由 分别是 的中点可得:

,问题得证。

(2)过点 作 的平行线交 于点 ,连接 ,过点 作 的垂线交 于点 ,连接 ,由

此证得 平面 ,即可说明直线 与平面 所成角就是 ,解三角形即可得解。

【详解】(1)因为点 分别是 的中点,

所以

,又 平面 , 平面 ,

所以 平面 .

(2)过点 作 的平行线交 于点 ,连接 ,

过点 作 的垂线交 于点 ,连接 ,如下图:

因为

,所以

因为 底面 , 底面 ,所以



, 平面 , 平面

所以 平面 ,又 平面 ,

所以平面

平面 ,





平面 ,平面

平面

所以 平面 ,

所以直线 与平面 所成角就是 .

不妨设

,则



所以







中,

, ,



,解得:

, ,
, ,

所以

【点睛】本题主要考查了线面平行的证明,还考查了线面角知识,考查空间思维能力及作图 能力,考查计算能力,属于中档题。

20.已知椭圆

的右焦点为

,且点

在椭圆 上, 为坐标原

点 (1)求椭圆 的标准方程

(2)过椭圆

上异于其顶点的任一点 ,作圆

的切线,切点分别为

( 不在坐标轴上),若直线 的横纵截距分别为 ,求证:

【答案】(1) 【解析】 【分析】

(2)见解析

为定值

(1)由点

在椭圆上列方程

,结合

即可求得



问题得解。 (2)设

根据圆的切线可得

,由此表示直线 方程,



代入直线 方程可得

,同理可得

,由

此可得到 两点在直线

上,即可求得直线 的方程

,由此表示



,结合

即可证得结论,问题得解。

【详解】解:(1)将点

代入椭圆 的方程可得:





,解得:



所以椭圆 的标准方程为

(2)由(1)可得:



∴可知 是过 作圆切线所产生的切点弦



,由 是切点可得:



∴直线方程

,代入







,同理可知对于 ,有

因为 在圆







∴ 为直线

上的点

因为两点确定唯一一条直线

∴直线方程

,即

由截距式可知

∴ ∵ 在椭圆 上 ∴





为定值

【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,考查了圆的切线性质及方程思想,考查了直线方

程的截距式及计算能力,属于难题。

21.如图,在三棱柱

中, 是正方形

的中心,

, 平面





(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值;

(Ⅱ)求二面角

的正弦值;

(Ⅲ)设 为棱 的中点,点 在平面

内,且

平面

,求线段 的长.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) 【过程详解请参见图片版】 【解析】 参考标准答案.本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基 础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

22.已知椭圆 。

的左右焦点坐标为

,且椭圆 经过点

(1)求椭圆 的标准方程; (2)设点 是椭圆 上位于第一象限内的动点, 分别为椭圆 的左顶点和下顶点,直线 与 轴交于点 ,直线 与 轴交于点 ,求四边形 的面积。

【答案】(1)

;(2)



【解析】 【分析】 (1)利用椭圆定义可得 a 值,结合 c 值即可得出;

(2)设

,由 三点共线可得

, 同理得

,进而

椭圆上可得结果. 【详解】(1)因为椭圆焦点坐标为

,且过点



所以

,所以 ,

从而



故椭圆的方程为



(2)设点







因为

,且 三点共线,所以

,解得



所以



同理得



因此



,结合点在



因为点

在椭圆上,所以

,即



代入上式得:



【点睛】求定值问题常见的方法 ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.


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