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综5广东省广州市仲元中学竞赛班高三数学模拟测试试题 理 新人教A版


2012 届仲元竞赛班高三试题 理科数学
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 若复数 z 满足 (1 ? 3i) z ? 2 3i ( i 是虚数单位) ,则 z ? A. ? ( )

3 3 3 3 3 3 3 3 B. ? C. ? D. ? ? ? i i i i 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 已知数列 {an } 是等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 2? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( )
1 1 3 3 B. ? C. D. 2 2 2 2 3. 已知 a, b, c 是直线, ? 是平面,给出下列命题: ( ) ①若 a ? b , b ? c ,则 a // c ;②若 a // b , b ? c ,则 a ? c ;③若 a // ? , b ? ? , 则 a // b ;④若 a 与 b 异面,且 a // ? ,则 b 与 ? 相交;⑤若 a 与 b 异面,则至多有一 条直线与 a, b 都垂直. 其中真命题的个数是 ( )
A. ? A.1 B.2 C.3 D.4 4. 在△ABC 中, “sinA>sinB”是“cosA<cosB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设 f ( x ) ? sin ?x 是[0, 1]上的函数, 且定义 f1 ( x ) ? f ( x ) , ?, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,

n ? N * ,则满足 f n ( x) ? x, x ?[0,1]的 x 的个数是
A.2 n B.2 n
2

( D. 2 (
n



C. 2(2n ? 1)

6.实数 x 满足 log2 x ? 3 ? 2cos2 ? , 则 x ? 2 ? x ? 8 的值为 A.6 B.6 或-6 C.10



D.不确定
D1 A1 B1 C1

7 .如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 ,点 M 在棱 AB 上,且

1 点 P 是平面 ABCD 上的动点, 且动点 P 到直线 A1 D1 的距离 AM ? , 3 与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1 ,则动点 P 的轨迹是 ( )
A.圆 C.双曲线 8. 给出定义: 若m? B.抛物线 D.直线
A

D P M B

C

1 1 ? x ? m ? (m?Z ) , 则称 m 为离实数 x 最近的整数, 记作 {x} ? m , 2 2 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ?{x} 的五个命题: 1 2

①函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,值域为 [0, ] ; ②函数 y ? f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; ③函数 y ? f ( x) 在 [? ④函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

1 1 , ] 上是增函数; 2 2

k (k ? Z ) 对称; 2 ⑤函数 y ? f ( x) 的图像关于点 ( k , 0) (k ? Z ) 对称. 其中正确的命题有( )个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第Ⅱ卷
1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.将答案填在答题卷相应位置上) 9 已知 a ? 0 , b ? 0 且 h ? min{a, 的最大值=____________ 10.已知集合 A ? ? 1 , 2 , 3 , 4?,集合 B ? ?a1 , a2 , a3 , a4 ?,且 B ? A ,定义 A 与 B 的 距离为 d ( A , B) ?

b } ,其中 min A 表示数集 A 中较小的数,则 h a ? b2
2

?a
i ?1

4

i

? i ,则 d ( A , B) ? 2 的概率为

??? ? ??? ? BA BC ? ? ? ??? 11.已知在 ?ABC 中, ?A ? 120 ,记 ? ? ??? , | BA | cos A | BC | cos C ??? ? ??? ? ?? CA CB ? ? ? ? ??? ? ??? ?? ?? | CA | cos A | CB | cos B ,则向量 ? 与 ? 的夹角为 .
?

? ?

????第 1 行 ????第 2 行 ????第 3 行 ????第 4 行 ????第 5 行 ????第 6 行

12.如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1 个空心圆 点到下一行仅生长出 1 个实心圆点,1 个实心圆点到下 一行生长出 1 个实心圆点和 1 个空心圆点.则第 11 行 的实心圆点的个数是

13.若直角坐标平面内, A 、 B 两点满足条件:① 点 A 、 B 都在函数 f ( x) 图像上;②点

A 、 B 关于原点对称,则称点对( A 、 B )是函数 f ( x) 的一个“姐妹点对” (点对( A 、

?x 2 ? 2x ( x ? 0) ? B )与点( B 、 A )可看作同一个“姐妹对” ) .已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 ( x ? 0) ? x ?e
f ( x) 的“姐妹点对”有
个.

14. (几何证明选讲选做题)PA 与圆 O 切于 A 点,PCB 为圆 O 的割线,且不过圆心 O,已知 ∠BPA=30°,PA=2 3 ,PC=1,则圆 O 的半径等于____________ 15。 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点( 2 2, 则切线的极坐标方程是___________ 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 cos x, ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T 及单调增区间; (2)在 D ABC 中,内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , A 为锐角,a ? 2 3 ,

?
4

)作圆 ? ? 4 sin ? 的切线,

??

?

1 2

c ? 4 且 f ( A) 是函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值,求 ?ABC 的面积 S . 2

?

2

17(本小题满分 12 分)某中学号召学生在放假期间至少参加一次社会实践活动(以下简称 活动) .现统计了该校 100 名学生参加活动的情况,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求这些学生参加活动的人均次数; (2)从这些学生中任选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率; (3)从这些学生中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机 变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

18(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 底面是直角梯形,AB//CD,AB⊥AD,△PAB 和△PAD 是两个边长为 2 的正三角形,DC=4,O 为 BD 中点,E 为 PA 中点。 (1)求证:PO⊥平面 ABCD; P (2)求证:OE//面 PDC; (3)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.

E
A
O

B
C

D

19.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R, a ? 0) 的图象过点 P(?1,2) ,且在点 P 处的
3 2

切线与直线 x ? 3 y ? 0 垂直, (1)若 c ? 0 ,试求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 0, b ? 0 ,且 (??, m), (n,??) 是 f ( x) 的单调递增区间,试求 n ? m 的范围.

3

20.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F ,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴 上,且与 y 轴相切,过原点 O 作倾斜角为

? 的直线 n ,交 l 于点 A ,交圆 M 于另一点 3
y

B ,且 AO ? BO ? 2 (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程;

l
B

???? ? ??? ? (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值;
(3)过 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点为 S,T, 求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.

O
A F

?

M

x

21.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? n 2 (n ? N? ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对任意给定的 k ? N? ,是否存在 p, r ? N? (k ? p ? r ) ,使

1 1 1 , , 成等差数 ak a p ar

列?若存在,用 k 分别表示 p 和 r (只要写出一组) ,若不存在,请说明理由; (3)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其边长为 an1 , an2 , an3

4

理 科数学(六)参考答案 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。 题目 选项 1 C 2 A 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 B

二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共30分。 9. 12. 14.

2 2
55 7

10 13. 15. 2

1 8

11.

60 o

? cos? ? 2
p )+ 2 , 6
(6 分)

三、解答题:本大题共 5 题,前 3 小题 14 分,后 2 小题 15 分,共 72 分. 16、解:解: (1)由题意可得: f ( x) = sin(2 x 则 T ? ? ,单调递增区间为: [k? ? (2) 由 (1) 可知:f ( A) = sin(2 A 由正弦函数的图像可知,当 A ? 由正弦定理得 sin C ? 1 ,即 C ? (3 分)

?

?
3

p ? ? ? )+ 2, A ? 又由于 A ? [0, ] , 则 ? ? 2? 6 2 6 6
时, f ( x ) 取得最大值 3 , ,则 b ? 2 ,故 S ?ABC ? (9 分)

, k? ? ] (k ? Z ) 6 3

?

?5
6



?
2

1 ab ? 2 3 2

(12 分)

17、解:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 20、50 和 30. (1)这些学生参加活动的人均次数为:

1? 20 ? 2 ? 50 ? 3 ? 30 ? 2.1 100

(2)从这些学生中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为
2 2 2 C20 ? C50 ? C30 37 P0 ? ? 2 C100 99

(3)从这些学生中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次 活动”为事件 A,“这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B,“这两 人中一人参加 1 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 C,易知

P ?? ? 1? ? P ? A? ? P ? B ? ?

1 1 1 1 C20 C50 C50 C30 50 ? ? 2 2 C100 C100 99

1 1 C20 C30 4 P ?? ? 2 ? ? P ? C ? ? ? 2 C100 33

5

? 的分布列 ?
P 0 1 2

37 99

50 99

4 33

? 的数学期望: E? ? 0 ?

37 50 4 74 ? 1? ? 2 ? ? 99 99 33 99

18.(Ⅰ)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , ∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴ PO ?

P

E
A
O

B
F
C

AD2 ? AB2 ? 2 2 ,

D

1 BD ? 2 , 2 2 2 2 在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO , ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)方法 1:连接 PF ,∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC . 方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,又 AB ? AD ,所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线, 以它们做 x, y 轴, 以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间 P 直角坐标系,

PB2 ? BO2 ? 2 , AO ?

由已知得: A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0)

E
A
O

F (1,1,0) , C (1,3,0) , P(0,0, 2) ,
1 1 2 E (? , ? , ), 2 2 2 ??? ? ??? ? 1 1 2 则 OE ? (? , ? , ) , PF ? (1,1, ? 2) , D 2 2 ??? 2? ??? ? PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) . ??? ? ? 1 ??? ∴ OE ? ? PF 2 ∴ OE / / PF
B
y
F
C

x

6

∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC ; ? (Ⅲ) 设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ ,

? ???? ? ? ? n?PC ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 则 ? ? ???? ,即 ? , ? n ? PD ? 0 x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? ? 1 1 1 ? ? ? y1 ? 0 解得 ? ,令 z1 ? 1,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2,0,1) , ? ? x1 ? 2 z1 ??? ? 又 CB ? (?2, ?2,0) ? 2 2 3 ? ??? 则 sin θ ? cos ? n, CB ? ? , ? 3 3?2 2
∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

3 . 3

19. 解(1) f ( x)的图象过P(?1 , 2),有- a ? b ? c ? 2 又因为 f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx 且 f ( x) 在点 P 处的切线与 x ? 3 y ? 0 垂直 所以有 3a ? 2b ? ?3 又 c ? 0 , 故 a ? 1, b ? 3

? f ' ( x) ? 3x 2 ? 6x
令 f ' ( x) ? 0, x1 ? 0, x2 ? ?2

当x ? 0或x ? ?2时,f ' ( x) ? 0; ? 2 ? x ? 0时,f ' ( x) ? 0
所以 (??,?2), (0,??) 是函数的单调增区间; (?2,0) 是函数的单调减区间。
' 2 (2)令 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? 0 , x1 ? 0, x 2 ? ?

2b 3a

因为 a>0,b>0 所以 (?? ,? 故m ? ?

2b ), (0,?? ) 是 f(x)的单调增区间 3a

2b ,n ? 0 3a 3b ?n ? m ? 2a
因为 3a ? 2b ? ?3 ,所以 2b ? 3a ? 3 ? 0, 即 a ? ?1

7

1 ?0 a 3b 3a ? 3 1 ? ? 1? ? 1 所以 n ? m ? 2a 3a a
又因为 a ? 0 ,故 即 n ? m ? (1,??)

20. 解: (1)易得 B(1, 3) , A(?1,? 3) ,设圆 M 的方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? a 2 , 将点 B(1, 3) 代入得 a ? 2 ,所以圆 M 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 点 A(?1,? 3) 在准线 l 上,从而

p ? 1 ,抛物线的方程为 y 2 ? 4 x 2

(2)由(1)得 M (2,0), F (1,0) ,设点 P( x, y) ,则 y 2 ? 4 x 得 PM ? (2 ? x,? y) , PF ? (1 ? x,? y) , 所以 PM ? PF ? (2 ? x)(1 ? x) ? y 2 ? 2 ? 3x ? x 2 ? 4x ? 2 ? x ? x 2 因为 x ? 0 ,所以 PM ? PF ? 2 ,即 PM ? PF 的最小值为 2 . (3)设点 Q(?1, m) ,过点 Q 的切线长为 m 2 ? 5 ,则以 Q 为圆心,切线长为半径的圆的 方程为 ( x ? 1) ? ( y ? m) ? m ? 5 ,
2 2 2

即 x ? y ? 2x ? 2my ? 4 ? 0
2 2 2 2


2 2

又圆 M 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,即 x ? y ? 4 x ? 0 由①②两式相减即得直线 ST 的方程: 3x ? m y ? 2 ? 0 显然上面直线恒过定点 ( ,0)



2 3

21、解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ;当 n≥2,n ? N* 时, a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? (n ? 1)2 , 所以 an ? n2 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 ;综上所述, an ? 2n ? 1 (n ? N* ) .??????3 分
8

1 2 1 3? 2p ? ? (2)当 k ? 1 时,若存在 p,r 使 1 , 1 ,1 成等差数列,则 ? , ak a p ar ar a p ak 2 p ? 1

因为 p≥2 ,所以 ar ? 0 ,与数列 {an } 为正数相矛盾,因此,当 k ? 1 时不存在;?5 分 当 k≥2 时,设 ak ? x, a p ? y, ar ? z ,则
1 1 2 xy ? ? ,所以 z ? ,????7 分 x z y 2x ? y

令 y ? 2 x ? 1 ,得 z ? xy ? x(2 x ? 1) ,此时 ak ? x ? 2k ? 1 , a p ? y ? 2x ? 1 ? 2(2k ? 1) ? 1 , 所以 p ? 2k ? 1 , ar ? z ? (2k ? 1)(4k ? 3) ? 2(4k 2 ? 5k ? 2) ? 1 ,所以 r ? 4k 2 ? 5k ? 2 ; 综上所述,当 k ? 1 时,不存在 p,r; 当 k≥2 时,存在 p ? 2k ? 1, r ? 4k 2 ? 5k ? 2 满足题设. ???9 分

(3)作如下构造: an1 ? (2k ? 3)2, an2 ? (2k ? 3)(2k ? 5), an3 ? (2k ? 5)2 ,其中 k ? N* , 它们依次为数列 {an } 中的第 2k 2 ? 6k ? 5 项,第 2k 2 ? 8k ? 8 项,第 2k 2 ? 10k ? 13 项,11 分 显然它们成等比数列,且 an1 ? an2 ? an3 , an1 ? an2 ? an3 ,所以它们能组成三角形. 由 k ? N* 的任意性,这样的三角形有无穷多个. 下面用反证法证明其中任意两个三角形 A1B1C1 和 A2 B2C2 不相似: 若三角形 A1B1C1 和 A2 B2C2 相似,且 k1 ? k2 ,则 整理得
(2k1 ? 3)(2k1 ? 5) (2k2 ? 3)(2k2 ? 5) ? , (2k1 ? 3) 2 (2k2 ? 3) 2

2k1 ? 5 2k2 ? 5 ? ,所以 k1 ? k2 ,这与条件 k1 ? k2 相矛盾, 2k1 ? 3 2k2 ? 3

因此,任意两个三角形不相似,故命题成立.

????????14 分

9


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