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河北省衡水中学11-12学年高一下学期期中考试(数学理,内附答案)


2011—2012 学年度第二学期期中考试 — 高一年级数学试卷(理科) 高一年级数学试卷(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 一、 选择题(每小题5 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意,

案的序号填涂在答题卡上) 案的序号填涂在答题卡上) 序号填涂在答题卡上 1. cos(?

23π )=( 6
3 2



A、

B、

1 2

C、-

3 2
等于(

D、-

1 2

2.已知 cos(

3π 3 π ? ?) = , 且 | ? |< , 则 tan ? 2 2 2 3 3



A、 ? 3.已知 ?

3 3

B、

C、 3

D、— 3

π π <θ < ,且 sin θ + cos θ = a , 其中 a ∈ ( 0,1) ,则关于 tan θ 的值,在以下 2 2


四个答案中,可能正确的是 ( A、 ?3 B、3 或

1 3

C、 ?

1 3

D、 ?3 或 ? ) D、4 个 )[来

1 3

4.函数 f ( x) = ( ) ? sin x在区间[0,2π ]上的零点个数为(
x

1 2

A、1 个

B、2 个

C、3 个

kπ 5.如果 θ = (0 ≤ k ≤ 10, k ∈ Z ) ,则 tan θ ≥ sin θ 的概率为( 6
源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] A、

5 11

B、

6 11

C、

1 2

D、

2 5

6.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4, 则 P 的取值范围是 ( )[来源:www.shulihua.net]

7 15 <P≤ 8 16 7 15 C、 ≤P< 8 16
A、

B、 P > D、

15 16

3 7 <P≤ 4 8

7.将直线 x + y ? 1 = 0 绕点(1,0)沿逆时针方向旋转 15° 得到直线 l ,则直线 l 与圆

( x + 3) 2 + y 2 = 4 的位置关系是 (
A、相交 8.方程 2 sin(2x + A、 π B、相切

) C、相离 D、相交或相切 )

π
3

) = a 在 [0, π ] 上有两个不等 的实数根 x 1 , x 2 ,则 x 1 + x 2 = (
B、

π
6

C、

π


6

7π 6
π
3 )

D、与 a 的取值有关

9.为得到函数 y = sin x 的图象,只需将函数 y = cos( x + A、向左平移 C、向左平移

的图象(



π
个长度单位
6

B、向右平移 D、向右平移

π
个长度单位
6

5π 个长度单位 6

5π 个长度单 6

10.若 α , β ∈ ? ? A、 α > β

? π π? , ? 2 2? ?

,且 α sin α ? β sin β > 0 B、 α 2 > β 2

,则下面结论正确的是 ( D、 α + β > 0 ( )



C、 α < β

11.已知函数 f ( x ) =

1 1 (sin x + cos x) ? sin x ? cos x ,则 f(x)的值域是 2 2
B、 [?

A、 [?1,1]

2 ,1] 2

C、 [?1,

2 ] 2

D、 [ ?1,?

2 ] 2

12.当 x ∈ ? 0,

? ?

π?

? 时,下面四个函数中最大的是( 4?
B、 sin(sin x )



A、 sin(cos x)

C、 cos(sin x )

D、 cos(cos x )

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

第Ⅱ卷(非选择题 卷
二、 13. cos

共 90 分)

填空题(每题5 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 20分 把答案填在答题纸的横线上)

π
5

+ cos

2π 3π 4π + cos + cos + cos π = 5 5 5

14.函数 y = 2 sin x?

5π ? ?π ≤x< ? 的值域是 6 ? ?3

15. 若 f (sin x ) = sin 5x ,则 f (cos x ) = 16.已知动点 p(x,y),满足 ?

? x = 2 + cos θ π , 0 ≤ θ ≤ ,则动点 p 所表示的曲线长度为 2 ? y = 1 + sin θ

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 解答题( 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 答题纸的相应位置) 答题纸的相应位置) 17. (本题 10 分)在直角坐标系 xoy 中,角 α 的顶点为坐标原点,始边在 x 轴的正半轴上, 当角 α 的终边为射线 l : y =3 x ( x ≥0)时,

求(1)

sin α + cos α 的值; sin α ? cos α

(2)

sin α cos α sin 2 α + 2

的值.

18.本题 12 分) ( 某校从参加高一年级期 中考试的学生中随机抽出 60 名学生,将其数学成绩(均 为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图.[来 源:www.shulihua.netwww.shulihua.net] 观察图形的信息,回答下列问题:(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方 图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (Ⅲ)已知甲的考试成绩为 45 分,若从成绩在[40,60)的学生中随机抽取 2 人,求抽到学生甲的 的概率.
0.0 0.03 频率/

[



0.02 0.02 0.01 0.01 0.00 O 4 5 60 7 80 9 10 分

源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

[来源:www.shulihua.net] 19. 本题 12 分) ( (1)求函数 f (x ) = lg(2 cos x ? 1) + 49 ? x
2

的定义域

2 (2)若 cos θ = ,求 4

sin(θ ? 5π ) ? cos( sin(θ ?

π
2

? θ ) ? cos(8π ? θ )
的值。

3π ) ? sin(?θ ? 4π ) 2

20.(本题 12 分)投掷一个质地均匀,每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面 ( 中,有两个面的数字是 0 ,两个面的数字是 2,两个面的数字是 4.将此玩具连续抛掷两次, 以两次朝上一面出现的数字分别作为点 P 的横坐标和纵坐标. (1)求点 P 落在区域 C : x 2 + y 2 ≤ 10 上的概率; (2)若以落在区域 C : x 2 + y 2 ≤ 10 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域 M,在区域 C 上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域 M 上的概率.

21. 本题 12 分)已知函数 f ( x) = A sin(ωx + φ) ( A > 0, ω > 0,? ( 交点为 (?

π π < φ < ) 的图象与 x 轴 2 2

π
6

,0) ,相邻最高点坐标为 (

π
12

,1) 。

(1)求函数 f (x) 的表达式; (2)求函数

g (x ) = log 1 f (x )
2

的单调增区间;

(3)求函数 f (x ) 在 [0, π ] 上的最值。 22. 本题 12 分)已知函数 f (θ ) = ? sin 2 θ ? 4 cos θ + 4 , g (θ ) = m ? cos θ ( (1) 对任意的 θ ∈ [0,

π
2

] ,若 f (θ ) ≥ g (θ ) 恒成立,求 m 取值范围;

(2) 对 θ ∈ [?π , π ] , f (θ ) = g (θ ) 有两个不等实根,求 m 的取值范围。

2011—2012 学年度第二学期期中考试 — 高一年级数学试卷(理科)参考 答案
一:选 择题 二:填空题 ADCBB 13. -1 DBCDB CC 14.(1,2] 15.

3 3 a 36

16.

π
2

三:解答题 17:解:当角 α 的终边为射线 l : y =3 x ( x ≥0)时, tan α = 3 …………3 分

化为齐次式得(1)2;…………7 分;

(2) 3 29

…………10 分

18:(Ⅰ)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分布直方图,有(0.01 + 0.015×2 + 0.025 + 0.005)×10 + x = 1,可得 x=0.3,∴频率分布直方图中纵坐标为 0.003 (频率 3 分,画图 1 分) (Ⅱ)平均分为: x =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71 ……8 分 (Ⅲ)因为成绩在[40,60)的学生有 0.25×60=15 人,从 15 人中随机抽取 2 人的情况共有 1+2+3+…+14=105 种,其中抽取到的 2 人中含甲的情况有 14 中,根据古典概型的计算公式, 抽到甲的概率为

p=

14 2 …………12 分 = 105 15

1 ? ?cos x > 2 解得 19:解: (1)由题意可知 ? ?49 ? x 2 ≥ 0 ?

π π ? ?2 k π ? < x < 2 k π + , k ∈ Z 得 3 3 ? ?? 7 ≤ x ≤ 7 ?

5π π π 5π < x ≤ 7 [来源:www.shulihua.net] 或? <x < 或 3 3 3 3 5π π π 5π < x ≤ 7 }.…………6 分[来 或? <x < 或 故函 数的定义域为{x| ? 7 ≤ x < ? 3 3 3 3 源:www.shulihua.net] ?7≤x <? sin(θ ? 5π ) ? cos(
(2)因为

π
2

? θ ) ? cos(8π ? θ )
[来源:www.shulihua.net]

sin(θ ?

3π ) ? sin(?θ ? 4π ) 2

=

(? sin θ ) ? sin θ ? cos θ 14 = sin θ = ± …………12 分 cos θ ? (? sin θ ) 4

20:解: (1)点 P 坐标有: (0,0)(0,2)(0,4)(2,0)(2,2)(2,4)(4,0)(4, , , , , , , , 2) 4, , 9 种, , 4)共 ( 其中落在区域 C : x 2 + y 2 ≤ 10上的点P的坐标有 : (0,0), (0,2), ( 2,0), (2,2),

4 + y 2 ≤ 10 上的概率为 …………6 分 9 (2)区域 M 为一边长为 2 的正方形,其面积为 4,区域 C 的面积为 10 π ,则豆子落在区域 M
共 4 种.故点 P 落在区域 C : x
2

2 。 …………12 分 5π 21:解: (1)从图知,函数的最大值为 1,
上的概率为 则 A =1 又x =? 函数 f (x) 的周期为 T = 4 × (

π π 2π + ) = π ,而 T = ,则 ω = 2 , 12 6 ω

π π π π 时, y = 0,∴ sin(2 × (? ) + φ) = 0 , 而 ? < φ < , 6 6 2 2

则φ =

π π ,∴函数 f (x) 的表达式为 f ( x) = sin(2 x + ) …………4 分; 3 3
2

( 2 ) 由 复 合 函 数 的 单 调 性 及 定 义 域 可 求 g (x ) = log 1 f (x ) 的 单 调 增 区 间 : 由

2k π +

π
2

< 2x +

π
3

< 2k π + π 得 kπ +

π
12

< x < kπ +

π
3

, k ∈ Z ,所以 g (x ) = log 1 f (x ) 的单
2

调增区间为 ( kπ +

π
12

, kπ +

π
3

) , k ∈ Z .…………8 分(注意:右端点一定是开区间) (注意:右端点一定是开区间)
π
12
时, f (x ) 最大 = 1 ;[来源:学。科。网]

(3)画出 f (x ) 在 [0, π ] 上的图像可知 x =

x =

7π 时, f ( x ) 最小 = -1 ,…………12 分。 12
2

2 22.解: f (θ ) = ?(1 ? cos θ ) ? 4 cos θ + 4 = cos θ ? 4 cos θ + 3

(1) cos θ ? 4 cos θ + 3 ≥ m cos θ ,Q θ ∈ [0,
2

π
2

] ∴ 0 ≤ cos θ ≤ 1 ,ⅰ:当 cos θ =0 时,对 3 3 ? 4 , cos θ = t , (t ) = t + ? 4 , 令 h cos θ t

任意 m 恒成立 ; 当 0 < cos θ ≤ 1 时, ≤ cos θ + ⅱ: m

t ∈ (0,1] 单调递减,当 t=1 时, h(t ) min = h(1) = 0 ,所以 m ≤ h(t ) min = 0 ;综上 m ≤ 0 。……6
分 ( 2 ) cos θ ? 4 cos θ + 3 = m cos θ , 令 cos θ = t ∈ [?1,1] , 则 命 题 转 化 为 :
2

t 2 ? (4 + m)t + 3 = 0 在 t ∈ [?1,1) 上有唯一的实根。ⅰ: ? = 0 , m = ?4 ± 2 3 ,经检验当 m = ?4 + 2 3 时, t = 3 ,当 m = ?4 ? 2 3 时, t = ? 3 ,均不符合题意舍去;ⅱ: f (?1) ? f (1) < 0 , 解 得 : m>0 或 m<-8 ; ⅲ : f(-1)=0, 解 得 m=-8, 此 时 有 t 2 + 4t + 3 = (t + 3)(t + 1) =0,符合题意;综上所述: m > 0或m ≤ ?8 。……12 分


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