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[原创]2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第14讲 导数在函数中的应用[配套课件]


第14讲

导数在函数中的应用

1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的 单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三 次) . 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用 导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三 次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).

1.函数的单调性 函数 y=f(x)在(a,b)内可导,则

(1)若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)内单调递增; 单调递减 (2)若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内__________ .
2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法: 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时,

①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)

是极大值;

f′(x)<0 ,右侧__________ f′(x)>0 ,那 ②如果在 x0 附近的左侧__________
么 f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤: ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根;

③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左、右值的符号.如
果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正, 极小值 ;如果左右两侧符号一样, 那么 f(x)在这个根处取得__________ 那么这个根不是极值点.

3.函数的最值 (1)函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上,函数 y=f(x)的图象是一条连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)①若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小 值,f(b)为函数的最大值; ②若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,

f(b)为函数的最小值.

(3)求 y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤:

①求函数 y=f(x)在(a,b)内的极值;
极值 与端点值比较,其中最大的 ②将函数 y=f(x)的各________

一个是最大值,最小的一个是最小值.

1.f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( C ) A.-2 B.0 C.2 D.4

2.(2013 年广州二模)已知e为自然对数的底数,函数 y=

xex 的单调递增区间是( A )
A.[-1,+∞) C.[1,+∞) B.(-∞,-1]

D.(-∞,1]

3.(2013 年河南郑州模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b), 导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图 2-14-1,则函数 f(x)在(a,b) 内的极大值点有( B )

图 2-14-1
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2 4.函数 f(x)=x3-3x2+1 在 x=________ 处取得极小值.

考点 1 函数的单调性与极值

x a 3 例1:(2014年重庆)已知函数f(x)= 4 + x -lnx- 2 ,其中a∈ 1 R,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y= x. 2
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

解:(1)函数f(x)的定义域为x>0. 1 a 1 对函数f(x)求导,得f′(x)= - 2- . 4 x x 1 由f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y= x知, 2 3 5 k=f′(1)=-4-a=-2.∴a=4.

5 2 1 4 1 x -4x-5 (2)由(1)知,f′(x)= - 2- = . 4 x x 4x2 ?x+1??x-5? 令f′(x)=0,即 =0. 4x2
解得 x=-1(舍)或 x=5. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(5,+∞)时, f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 因此,函数 f(x)在 x=5 时取得极小值,且极小值为

f(5)=-ln5.

【规律方法】?1?求函数的单调区间与函数的极值时要养成 列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.如果一 个函数在给定定义域上的单调区间不止一个,这些区间之间一 般不能用并集符号“∪”连接,只能用“,”或“和”字隔开. ?2?“f′?x?>0[或 f′?x?<0]”是“函数 f?x?在某区间上为增函 数?或减函数?”的充分不必要条件;“f′?x0?=0”是“函数 f?x? 在 x=x0 处取得极值”的必要不充分条件.

【互动探究】

1.函数 f(x)在 x=x0 处的导数存在,若命题 p:f′(x0)=0,
命题 q:x=x0 是 f(x)的极值点,则 p 是 q 的( C ) A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 x=x0 是 f(x)的极值点,则f′(x0)=0;若f′(x0)

=0,而 x=x0 不一定是 f(x)的极值点,如 f(x)=x3,当 x=0 时,

f′(0)=0,但 x=0 不是极值点.故 p 是 q 的必要不充分条件.
故选 C.

考点 2 函数的最值

1 2 例2:(2013年北京丰台一模)已知函数f(x)= x -alnx(a>0). 2
(1)若 f(x)在 x=2 处的切线与直线 3x-2y+1=0 平行,求

f(x)的单调区间;
(2)求 f(x)在区间[1,e]上的最小值.

解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
2 a x -a f′(x)=x-x = x .

由f(x)在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行,

4-a 3 则f′(2)= = ,a=1. 2 2 x2-1 1 2 此时f(x)=2x -lnx,f′(x)= x .

令 f′(x)=0,得 x=1.

f(x)与 f′(x)的情况如下表: x f′(x)
(0,1) — 1

(1,+∞)

0 + 1 f(x) ↘ ↗ 2 所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).

2 a x -a (2)由f′(x)=x- = .由a>0及定义域为(0,+∞),令 x x

f′(x)=0,得x= a. ①若 a ≤1,即0<a≤1,在(1,e)上,f′(x)>0,f(x)在[1, 1 e]上单调递增,f(x)min=f(1)=2; ②若1< a <e,即1<a<e2,在(1, a )上,f′(x)<0,f(x)单 调递减;在( a ,e)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,因此在[1,e] 1 上,f(x)min=f( a)=2a(1-lna);

③若 a ≥e,即a≥e2,在(1,e)上,f′(x)<0,f(x)在[1,e] 1 2 上单调递减, f(x)min=f(e)=2e -a. 1 综上所述,当0<a≤1时,f(x)min= 2 ;当1<a<e2时,f(x)min 1 1 2 2 =2a(1-lna);当a≥e 时,f(x)min=2e -a.

【规律方法】求函数的最值时,不可想当然地认为极值点 就是最值点,要对函数 y=f?x?的各极值与端点值进行比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

【互动探究】

2.(2014年江西)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) x,其中a<0. (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.
解:(1)由题意,得函数的定义域为[0,+∞). 4x2+4ax+a2 而 f′(x)=(8x+4a) x+ 2 x 20x2+12ax+a2 ?10x+a??2x+a? = = . 2 x 2 x 2?5x-2??x-2? 当a=-4时,f′(x)= . x

2 由f′(x)=0,得x=5或x=2.列表如下:

x f′(x)

? 2? ?0, ? 5? ?

2 5 0

?2 ? ? ,2? ?5 ?

2 0

(2,+∞) +





? 2? 所以函数f(x)的单调递增区间为?0,5?和(2,+∞). ? ?

?10x+a??2x+a? (2)由(1)知,f′(x)= , 2 x a a 所以导函数的零点为x=-10和x=-2.

? ? a? ? a 函数f(x)的单调递增区间为 ?0,-10? 和 ?-2,+∞? ;单调 ? ? ? ? ? a a? 递减区间为?-10,-2?. ? ?

a 当0<-2≤1,即-2≤a<0时, f(x)在[1,4]上的最小值为f(1). 由f(1)=4+4a+a2=8,得a=-2± 2 a 当1<-2≤4,即-8≤a<-2时, 2,均不合题意;

? a? f(x)在[1,4]上的最小值为f?-2?=0,不合题意; ? ?

a 当-2>4,即a<-8时, f(x)min=min{f(1),f(4)}, 由于f(1)≠8,所以f(4)=2(64+16a+a2)=8. 解得a=-10或a=-6(舍). 当a=-10时,f(x)在(1,4)上单调递减,f(x)在[1,4]上的最小 值为f(4)=8.满足题意. 综上所述,a=-10.

考点 3 利用导数解决函数中的恒成立问题

1 3 2 例3:已知函数f(x)=-3x +x +ax+b(a,b∈R).
(1)若 a=3,试确定函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在其图象上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率都小于

2a2,求实数 a 的取值范围.
1 3 2 解:(1)当a=3时,f(x)=-3x +x +3x+b, 所以f′(x)=-x2+2x+3. 由f′(x)>0,解得-1<x<3.

由 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-1,3),单调递减区间为 (-∞,-1)和(3,+∞). (2)因为 f′(x)=-x2+2x+a, 由题意,得 f′(x)=-x2+2x+a<2a2 对任意 x∈R 恒成立, 即-x2+2x<2a2-a 对任意 x∈R 恒成立, 设 g(x)=-x2+2x,所以 g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1. 所以当 x=1 时,g(x)有最大值为 1. 因为对任意 x∈R,-x2+2x<2a2-a 恒成立,

1 所以2a -a>1.解得a>1或a<- . 2
2

? ? ? 1 ? ? 所以实数a的取值范围为 a a>1或a<-2 ? ? ?

? ? ?. ? ?

【规律方法】若 f?x?在其图象上任一点处的切线斜率都小于 2a2,即 f′?x?=-x2+2x+a<2a2 对任意 x∈R 恒成立,分离变 量得-x2+2x<2a2-a 对任意 x∈R 恒成立,求-x2+2x 的最大

值即可.

【互动探究】

3.函数 f(x)=a2lnx-x2+ax,a≠0.
(1)求 f(x)的单调递增区间;

(2)若 f(1)≥e-1,求使 f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立的实数 a
的值(注:e 为自然对数的底数).

解:(1)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0, ?x-a??2x+a? a2 所以f′(x)= x -2x+a=- . x 当a>0时,由f′(x)>0,得0<x<a. 即当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,a);

a 当a<0时,由f′(x)>0,得0<x<-2.
? a? 即当a<0时,f(x)的单调递增区间为?0,-2?. ? ?

(2)由 f(1)=a-1≥e-1,即 a≥e. 由(1)知,f(x)在[1,e]内单调递增, 要使 f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立,

只要 f(e)≤e2,则 a2lne-e2+ae≤e2,
即 a2+ae-2e2≤0,(a+2e)(a-e)≤0,解得 a≤e,

所以 a=e.

●思想与方法●

⊙运用分类讨论思想讨论函数的单调性
例题:(2013 年广东东莞一模) 已知函数 f(x) =x2 +ax +

blnx(x>0,实数 a,b 为常数).
(1)若 a=1,b=-1,求函数 f(x)的极值; (2)若 a+b=-2,讨论函数 f(x)的单调性.

解: (1)当 a=1, b=-1 时, 函数 f(x)=x2+x-lnx, 则 f′(x) 1 =2x+1- . x 1 令 f′(x)=0,得 x=-1(舍去),x= . 2 1 当 0<x< 时,f′(x)<0,函数单调递减; 2 1 当 x>2时,f′(x)>0,函数单调递增. 1 3 ∴f(x)在 x= 处取得极小值 +ln2. 2 4

(2)由于 a+b=-2,则 a=-2-b. 从而 f(x)=x2-(2+b)x+blnx. b ?2x-b??x-1? 则 f′(x)=2x-(2+b)+ = . x x b 令 f′(x)=0,得 x1= ,x2=1. 2 b 当2≤0,即 b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,1),单 调递增区间为(1,+∞);

b 当 0<2<1,即 0<b<2 时,列表如下: x f′(x) f(x) ∴函数
? b? ?0, ? 2? ?

b 2 0 极大值

?b ? ? ,1? ?2 ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ↗

+ ↗

- ↘

? b? f(x)的单调递增区间为?0,2?,(1,+∞),单调递减 ? ?

?b ? 区间为? ,1?; ?2 ?

b 当2=1, 即 b=2 时, 函数 f(x)的单调递增区间为(0, +∞);

b 当2>1,即 b>2 时,列表如下: x f′(x) f(x) ∴函数
? b? 间为?1,2?. ? ?

(0,1) + ↗

1 0 极大值

? b? ?1, ? 2? ?

b 2 0 极小值

?b ? ? ,+∞? ?2 ?

- ↘

+ ↗

?b ? ? ,+∞?, f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区 ?2 ?

综上所述,当 b≤0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(0,1), 单调递增区间为(1,+∞); 当 0<b<2 时, 函数
? b? f(x)的单调递增区间为?0,2?, (1, +∞), ? ?

?b ? 单调递减区间为? ,1?; ?2 ?

当 b=2 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 b>2 时,函数
?b ? f(x)的单调递增区间为(0,1),? ,+∞?, ?2 ?

? b? 单调递减区间为?1, ?. 2? ?

b 【规律方法】令f′(x)=0,得x1= 2 ,x2=1.由于定义域为 b b b (0,+∞),故要分 2 ≤0(讨论是否在定义域内),0< 2 <1, 2 = b 1,2>1(比较两根的大小)四种情况讨论.


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