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精选推荐2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4


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3.2

简单的三角恒等变换

[A 级 基础巩固] 一、选择题 1.函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( A. π 2 2π B. 3 C.π D.2π )

解析:因为 y= 3sin 2x+cos 2x =2? 1 ? 3 ? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ?

π? ? =2sin?2x+ ?, 6? ? 2π 2π 所以最小正周期为 T= = =π . ω 2 答案:C 1 2 2.若函数 f(x)=-sin x+ (x∈R),则 f(x)是( 2 π A.最小正周期为 的奇函数 2 B.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 1-cos 2x 1 1 解析:f(x)=- + = cos 2x. 2 2 2 答案:D 3 ? π? ? π? 3.已知 cos?x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 6? 3? 3 ? ? 2 3 A.- 3 2 3 B.± 3 C.-1 D.±1 ) )

1 3 3 3 ? π? 解析 : cos x + cos ?x- ? = cos x + cos x + sin x = cos x + sin x = 3 3? 2 2 2 2 ? 1 ? 3 ? ? π? ? cos x+ sin x?= 3cos?x- 6 ?=-1. ? ? 2 2 ? ? 答案:C 4.若 sin(α + β )cos β -cos(α + β )sin β =0,则 sin(α +2 β )+sin(α 小初高学习

小初高学习 -2 β )等于( )

A.1 B.-1 C.0 D.±1 解析:因为 sin(α + β )cos sin α =0, 所以 sin(α +2 β )+sin (α -2 β )=2sin α cos 2 β =0. 答案:C π 5.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x< ,则 f(x)的最大值是( 2 A.1 B.2 C. 3+1 D. 3+2 解析:f(x)=(1+ 3tan x)cos x= ) β -cos(α + β )sin β =sin(α + β - β )=

?1+ 3 sin x?cos x= 3sin x+cos x= ? ? cos x? ? ? π? 2sin?x+ ?. 6? ?
π π π 2 因为 0≤x< ,所以 ≤x+ < π , 2 6 6 3 π π 所以当 x+ = 时,f(x)取到最大值 2. 6 2 答案:B 二、填空题 3 6.已知 α 为第二象限角,sin α = ,则 tan 2α =________. 5 3 4 2 解析:由 sin α = ,且 α 为第二象限角得,cos α =- 1-sin α =- , 5 5 sin α 3 2tan α 24 所以 tan α = =- ,tan 2α = =- . 2 cos α 4 1-tan α 7 24 答案:- 7 7.若 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π ),则 φ =________. 解析: 因为 3sin x- 3cos x=2 3? π π ,π ),所以 φ =- . 6 π 答案:- 6 8. 3 - =________. π π sin cos 18 18 1 1 ? 3 ? ? π ? 因为 φ ∈(- sin x- cos x?=2 3sin?x- 6 ?, ? ? 2 ?2 ?

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小初高学习 π π cos - 3sin 18 18 解析:原式= = π π sin cos 18 18 π 3 π? π ?1 2? cos - sin ? 4sin 18 2 18? 9 ?2 = =4. 1 π π sin sin 2 9 9 答案:4 三、解答题 7 θ θ 9.已知 cos θ =- ,θ ∈(π ,2π ),求 sin +cos 的值. 25 2 2 解:因为 θ ∈(π ,2π ), θ ?π ? 所以 ∈? ,π ?, 2 ?2 ? 所以 sin cos θ = 2 1-cos θ 4 = , 2 5 1+cos θ 3 =- , 2 5

θ =- 2

所以 sin

θ θ 1 +cos = . 2 2 5

1 ?π ? 10.已知 2sin? +α ?=sin θ +cos θ ,2sin2β =sin 2θ ,求证:sin 2α + cos 4 2 ? ? 2β =0.

?π ? 证明:由 2sin? +α ?=sin θ +cos θ , 4 ? ?
得 2cos α + 2sin α =sin θ +cos θ , 两边平方得,2(1+sin 2α )=1+sin 2θ ,① 又 sin2β =sin 2θ ,② 由①②两式消去 sin 2θ ,得 2(1+sin 2α )=1+2sin2β , 1 即 2sin 2α +cos 2β =0,所以 sin 2α + cos 2β =0. 2 B 级 能力提升 1.(2016·山东卷)函数 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)的最小正周期是 ( ) A. π 2 B.π

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小初高学习 3π 2 D.2π

C.

解析:法一:因为 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x) =4? 1 1 ? 3 ?? 3 ? sin x+ cos x?? cos x- sin x? 2 2 2 2 ? ?? ?

π? ? π? ? π? ? =4sin?x+ ?cos?x+ ?=2sin?2x+ ?, 6? 6? 3? ? ? ? 2π 所以 T= =π . 2 法二:因为 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x) =3sin xcos x+ 3cos2x- 3sin2x-sin xcos x π? ? =sin 2x+ 3cos 2x=2sin?2x+ ?, 3? ? 2π 所以 T= =π . 2 答案:B 1 2B+C 2.在△ABC 中,若 cos A= ,则 sin +cos 2A 等于________. 3 2 解析:在△ABC 中, 所以 sin cos
2 2

B+C π
2

= - , 2 2
2

A

B+C
2

+cos 2A=sin ?

?π -A?+cos 2A= ? ? 2 2?

A

1+cos A 1 2 +cos 2A= +2cos A-1=- . 2 2 9

1 答案:- 9 3.(2015·安徽卷)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期;
2

? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?
解:(1)因为 f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2 π? ? sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π? ? (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ?
2 2

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小初高学习 π ?π 5π ? ? π? 当 x∈?0, ?时,2x+ ∈? , ?, 2? 4 ? 4 ?4 ?

?π 5π ? 由正弦函数 y=sin x 在? , ?上的图象知, 4 ? ?4
π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2+1; 4 2 8 π 5π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最小值 0. 4 4 2

? π? 综上,f(x)在?0, ?上的最大值为 2+1,最小值为 0. 2? ?

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