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黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试(内考)数学(理)试题(解析版)


2019 届高三第一次模拟考试(内用) 理科数学
(考试时间:120 分钟试卷满分:150 分) 注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在试卷和答题卡上。 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在题目给出的四个选项中,只有一个选 项是符合题目要求.
1.已知集合 , ,则图中阴影部分所表示的集合为( )

A. 【答案】D 【解析】 【分析】

B.

C.

D.

由图象可知阴影部分对应的集合为

,然后根据集合的基本运算求解即可 , 0,1, ,

【详解】由 Venn 图可知阴影部分对应的集合为 或 , 即 故选:D. , ,

【点睛】本题主要考查集合的基本运算,利用图象先确定集合关系是解决本题的关键,比较基础.

1

2.设复数 A. B.

,则 C.

( D.



【答案】C 【解析】 ,故选 C. 3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

正视图

侧视图

俯视图 A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】 先由三视图可判断该几何体为三棱锥,结合三棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥,且底面为直角三角形,直角边分别为 1 和 2,三棱锥的高为 2,所 以该三棱锥的体积为 故选 A 【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体体积问题,首先由三视图还原几何体,再由体积公式求 解即可,属于常考题型. 4.已知 A. 【答案】A
2

.

, B.



,则( C.

) D.

【解析】 因为 , ,所以 ,故选 A.

【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判 断,如果两个数指数相同,底数不同,则考虑幂函数的单调性;如果指数不同,底数相同,则考虑指数函数 的单调性;如果涉及对数,则联系对数的单调性来解决. 5.已知数列 A. B. 的前 项和 C. D. ,且 ,则 ( )

【答案】C 【解析】 ∵ ∴ ∴ 当 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选:C 6.设随机变量 A. B. , C. ,若 D. ,则 的值为( ) ,且 ,即 , 时, ,即 , , ,

【答案】B 【解析】

,选 B.

7.已知双曲线
3

的右焦点 到渐近线的距离为 , 且在双曲线 上到 的距离为 的点有且仅

有 个,则这个点到双曲线 的左焦点 的距离为( A. B. C. D.



【答案】D 【解析】 双曲线焦点到渐近线的距离为 ,所以 焦点的距离为 ,故 故选 D. 8.甲、乙等 人排一排照相,要求甲、乙 人相邻但不排在两端,那么不同的排法共有( A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ) ,由于 .双曲线 上到 的距离为 2 的点有且仅有 1 个,即双曲线右顶点到右 ,解得 ,右顶点到左焦点的距离为 ,

【答案】B 【解析】 根据题意,甲、乙看做一个元素安排中间位置,共有 其余 人排其它 个位置,共有 利用乘法原理,可得不同的排法有 故选 . ①按元素(或位置)的性质进行分类; 点睛: 本题考查的是排列组合问题.(1)解排列组合问题要遵循两个原则: ②按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或 位置),再考虑其他元素(或位置).(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种 类型:①不均匀分组;②均匀分组;③部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求解. 9.阅读如图所示的程序框图,若运行相应的程序输出的结果为 ,则判断框中的条件不可能是( ) 种排法, 种. 种排法,

A.
4

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 前 6 步的执行结果如下: ; ; ; ?时, ; ; ;观察可知,

的值以 3 为周期循环出现,所以判断条件为 故选 A. 10.若

,输出的结果不为 0.

的展开式中含有常数项,且 的最小值为 ,则





A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 展开式的通项为

,因为展开式中含有常数项,所以 的最小值为 5. 所以 .故选 C

,即

为整数,故 n

点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项,再由特定项的特点求出 值即可. 项,由特定项得出 值,

(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第 最后求出其参数. 11.已知

,在这两个实数 , 之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列,那么这个等差数列后三

项和的最大值为() A. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据这五个数构成等差数列,可用 , 表示出后三项,再由 和,即可求出结果. 【详解】因为在实数 , 之间插入三个实数,使这五个数构成等差数列, ,令 ,代入后三项的 B. C. D.

5

所以设中间三项为 和为 又因为 所以 故选 D

,由等差数列的性质可得 ,

,所以

,同理可得

,所以后三项的

,所以可令

, .

【点睛】本题主要考查等差数列的性质,熟记等差数列的性质和三角函数的性质,即可求解,属于常考题型. 12.函数 ,方程 有 个不相等实根,则 的取值范围是( )

A. 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

根据题意画出函数图像:



有两个根

,每个 t 值对应两个 x 值,故情况为

当属于情况一时,将 0 代入方程得到 m=1,此时二次方程 一个为 2,不符合题意; 当属于情况二时, 故答案为:C.

的根是确定的一个为 0,

点睛:函数的零点或方程的根的问题,一般以含参数的三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式及三角函 数式结构的函数零点或方程根的形式出现,一般有下列两种考查形式: (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题; (2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况,求参数的值或取值范围问题. 研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等,根据题目要求,通过数形
6

结合的思想去分析问题,可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化 与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置
13.已知向量 【答案】 【解析】 【分析】 先求出 ,再求 ,最后代入向量的夹角公式即得解. , ,则向量 与 夹角的余弦值为__________.

【详解】由题得 所以向量 与 夹角的余弦值为 故答案为: 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的计算,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求 两个向量的夹角一般有两种方法,方法一: ,方法二:设 = , = , 为向量 与 的夹 .

角,则

.

14.设 , 满足约束条件 【答案】2 【解析】 【分析】 先由约束条件作出可行域,再由 【详解】根据约束条件

,则

的最大值是______________.

可化为

,结合可行域即可求出结果.

作出可行域如下:

7

因为目标函数 直线 故答案为 2 过点

可化为

,因此直线

在 轴截距越小,目标函数 的值越大,由图像易得,当 .

时,目标函数取最大值,即

【点睛】本题主要考查简单的线性规划,根据约束条件作出可行域,分析目标函数的几何意义即可求解,属 于基础题型. 15.学校艺术节对同一类的 , , , 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四 位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“ 作品获得一等奖”; 乙说:“ 作品获得一等奖” 丁说:“是 或 作品获得一等奖”

丙说:“ , 两项作品未获得一等奖”

若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是______________. 【答案】C. 【解析】 若 获得一等奖,则甲、 丙、 丁的话是对的,与已知矛盾;若 获得一等奖,则四人的话是错误的,与已知矛盾;若 获 得一等奖,则乙、丙的话是对的,满足题意;所以获得一等奖的作品是 . 16.在四面体 中, , , , 二面角 的大小为 , 则四面体

外接球的半径为______________. 【答案】 【解析】 画出图象如下图所示,其中 为等边三角形 点的正上方,也在 所以外接圆半径 点的正上方.依题意知 . 边的中点, 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心 在 ,在 中 ,

8

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.在 中, , .

(1)若

,求

的长; 上, ; (2) , . , 为垂足, ,求角 的值.

(2)若点 在边 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)设 (2)在 试题解析; ( )设

,通过

,求解即可. , ,转化求解 即可.

中,由正弦定理可得

,则由余弦定理有: ,

即 计算得出
9

, ,

所以 ( )因为

. ,所以 .



中,由正弦定理可得: ,

因为 所以

,所以 ,所以 .



18.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不 超过 度的部分按 元/度收费,超过 度但不超过 度的部分按 元/度收费,超过 度的部分按 元

/度收费。

(I)求某户居民用电费用 (单位:元)关于月用电量 (单位:度)的函数解析式; (Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 图所示的频率分布直方图,若这 户居民每户的用电量,统计分析后得到如 元的占 ,求 , 的值;

户居民中,今年 1 月份用电费用不超过

(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这

户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组

中的数据用该组区间的中点代替,记 为该居民用户 1 月份的用电费用,求 的分布列和数学期望. 【答案】 (1) 【解析】

; (2)



; (3)见解析.

试题分析: (1)根据题意分段表示出函数解析式;(2)将 即 ,根据频率分布直方图可分别得到关于

代入(1)中函数解析式可得 的方程,即可得



;(3) 取每段中点值作

为代表的用电量,分别算出对应的费用 值,对应得出每组电费的概率,即可得到 的概率分布列,然后求出

的期望.
10

试题解析:(1)当 当当 当当 时, . (2)由(1)可知,当 ,∴ 时,

时,

; ; ,所以 与 之间的函数解析式为

时, ,

,则

,结合频率分布直方图可知

(3)由题意可知 可取 50,150,250,350,450,550, 当 当 当 当 当 当 时, 时, 时, 时, 时, 时, ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,∴ , , , , , ,

故 的概率分布列为 25 0.1 75 0.2 140 0.3 220 0.2 310 0.15 410 0.05

所以随机变量 的数学期望

19.如图所示,在四棱台 .

中,

底面

,四边形

为菱形,



11

(1)若 为 (2)求直线

中点,求证: 与平面

平面



所成角的正弦值.

【答案】 (1)详见解析; (2) . 【解析】 试题分析: (1)连接 ,可证 ,又因为 ,求出 . 和平面 底面 ,可得 ,即可得证. 与平面

(2)如图建立空间直角坐标系 所成角的正弦值 试题解析: (Ⅰ)∵四边形 又∵ 为 ∵ ∴ 中点∴ , 为菱形, ,由 底面

的一个法向量 的坐标,则直线

,连结 得∴ ∴

,则

为等边三角形,

底面 平面

,又∵

(Ⅱ)∵四边形 得 分别以 , , 、 ∴ 设平面 则有 ∴直线 与平面 , 、 ,

为菱形, ,∴

, 又∵ 底面

, ,

为 轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 、 , , ,令 所成角 的正弦值 . ,则

的一个法向量

点晴:本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线
12

和平面

内的两条相交直线

垂直,证明 个法向量 ,结合 20.在平面直角坐标系

平面

;第二问中通过建立空间直角坐标系

,求得

和平面

的一

得到结论. 中,与点 关于直线 对称的点 位于抛物线 上.

(1)求抛物线 的方程; (2)过点 作两条倾斜角互补的直线交抛物线 于 , 两点(非 点) ,若 【答案】 (1) 【解析】 ; (2) 过焦点 ,求 的值.

试题分析: (1)设

,则

解之得

,代入



,所以抛物线 的

方程为 消元,得

; (2)设直线

的方程 ,由韦达定理可得

,则直线

的方程 ,同理, ,可得结果,若

,联立方程 ,由斜率公 ,同理可的结果.

式可消去参数 得

,若

,由

试题解析: (1)设

,则

解之得



代入 (2)显然直线 设直线 设 所以 故 同理, 所以 若 若 ,因为 的方程 ,



,所以抛物线 的方程为 的方程

. ,

的斜率是存在的,设直线 , ,联立方程

消元,得 ,



,∴ ,

,∴

, , ,∴ . . ,

,同理可求

21.已知函数
13

(1)当 (2)若



时,求

在点 的最小值

处的切线方程;

恒成立,求

【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1)当 方程; (2)对函数 , 时,

; (2)-2

,求出

,再对函数

求导,求出

,进而可得切线

求导,由导数的方法研究其单调性,表示出 ,和 ,再研究 , 时, ,

的最值即可.

【详解】 (1)当

在点

处的切线方程为

.

(2)由题意,得

因为

,令 ,当

,得 时, ,又 ,使得 ,所以 在

.设 ,取 , ,即 上单调递减;当 .

,由于 ,



上单递增,当

时,



时,

所以存在唯一 当 当 时, 时,

时,

,所以



上单调递增.

. 因为 恒成立,所以 ,即 . 设 则 当 当
14

.





, 时,

,所以 ,所以

在 在

上单调递减; 上单调递增.

当 所以当

时, 即 ,

. 时,

【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数的单调 性和最值等求解,属于常考题型,难度较大.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。答题时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22.《选修 4-4:坐标系与参数方程》 已知曲线 和 , ( 为参数).以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标

系,且两种坐标系中取相同的长度单位. (1)把曲线 和 的方程化为极坐标方程; (2)设 与 , 轴交于 , 两点,且线段 的距离. 【答案】 (1) 【解析】 【分析】 (1) 根据曲线 的参数方程, 先得到其普通方程, 再由极坐标方程与直角坐标方程的互化, 可直接得出结果; (2)分别求出 , 的极坐标,再由 【详解】 (1)因为 的参数方程为 所以可得极坐标方程分别为: (2) 把 代入 , , 得 , , ,即可求出结果. , ( 为参数) ,所以其普通方程为 , 的极坐标方程为 ,把 代入 , 得 , . ,即 , . ,又 , , ; (2)1 的中点为 .若射线 与 , 交于 , 两点,求 , 两点间

两点间的距离为 . 【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程,熟记参数方程与普通方程的互化以及极坐标方程与直角坐标 方程的互化公式即可求解,属于常考题型. 23.《选修 4-5:不等式选讲》 设 ,且 .

求证: (1)

15

(2) 【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)由分析法证明即可:要证

.

,只需证明

;即证

,结

合题中条件,直到推出显而易见的结论即可; (2)同(1)用分析法证明即可. 【详解】 (1)要证 即证: 故需证明: 即证: 而这可以由 证得. 原不等式成立. (2) 由于(1)中已证 . . . . (当且仅当 时等号成立) ,由于 ,而 ,因此只需证明 , . .

因此要证原不等式成立,只需证明 即证 即证 而 , , . ( , .

时等号成立).

原不等式成立.

【点睛】本题主要考查分析法证明不等式,熟记分析法的概念,即可求解,属于常考题型.

16


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