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高中数学 1.1正弦定理和余弦定理教案(4) 新人教A版必修5


正弦定理與餘弦定理
重點整理:面積公式 1. 若 ? ABC 之三邊長為 a , b , c , r 為其內切圓半徑, s ? =
1 2 ab sin C = 1 2 bc sin A = 1 2 a ? b ? c 2 ca sin B (已知兩邊及其夾角時)

,則其面積

= s ( s ? a )( s ? b )( s ? c ) (Heron 公式)(已知三角形三邊) = rs 。(可用於已知三角形三邊求內切圓半徑)

重要例題: 1. 2. 設 ? ABC 中, ? A ? 30 ? , b ? 4 , c ? 6 ,求其面積。 在 ? ABC 中, ? ABC ? 120 ? , BD 為 ? ABC 的分角線且交 AC 於 D 點,試 證:
1 BA ? 1 BC ? 1 BD

。若 AB ? 3 , AC ? 5 ,則 AD ?



類 1.

? ABC 中,若 AB ? 6 , AC ? 8 , ? A ? 120 ? ,則其面積為


1

用心

爱心

专心

類 2. △ ABC 中, AB ? 2 , BC ? 5 ,面積為 4,則 cos ? ABC ? 類 3. 單位圓之內接正三角形面積為 。



類 4. 若 ? 為四邊形 ABCD 之對角線 AC 與 BD 的一個交角,試證:四邊形 ABCD 面積=
1 2 ? AC ? BD ? sin ? 。

類 5. 凸四邊形 ABCD 中, AB ? 2 ,BC ? 6 ,CD ? 4 ,BD ? 6 ,? ABD ? 60 ? , 則四邊形的面積= Ans: 1. 12
3 ,2. ?


3 5

,3.

3 4

3

,4. 略,5. 3 3 ? 8 2 。

重點整理:正餘弦定理 2. 正弦定理:△ ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b , R 為其外接圓半徑,則
a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2R 。

3.

△ ABC 面積=

1 2

bc sin A ?

abc 4R

? 2R

2

sin A sin B sin C 。

4.

餘弦定理:△ ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b ,則
2

a

? b

2

? c

2

? 2 bc cos A 或寫成 cos A ?

b

2

? c

2

? a

2

。同理可寫出

2 bc

用心

爱心

专心

2

b

2

?

;c

2

?



5.

鈍角三角形的判別:三角形 ABC 中, ? A 為鈍角若且唯若 b ? c ? a 。
2 2 2

6.

海龍公式:設 ? ABC 的三邊長為 a , b , c , s ?
s ( s ? a )( s ? b )( s ? c ) 。

a ? b ? c 2

,則其面積為

7.

投影定理:△ ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b ,則 a ? b cos C ? c cos B ,
b ?

,c ?



重要例題: 1. 2.
? ABC 中, ? C ? 120 ? , ? B ? 30 ? , AC ? 4 ,試解 ? ABC 。

設三角形兩邊長為 10,6,夾角為 60 ,則第三邊長為
用心 爱心 专心

?

,三角形面積
3

為 3. 4.


2 , b ? 2 ,c ?

在 ? ABC 中,已知 a ? 已知二邊與一角 b ? 10

3 ? 1 ,解此三角形。

3 , c ? 10 , B ? 120

?

,則 ? ABC 之面積=



類 1. 已知 a ? 2 3 , b ? 的長為

6 , c ? 105 ,試解 ? ABC 。
? ?

?

類 2. ? ABC 中,已知 A ? 60 , B ? 45 ,其最短邊為 2 公尺,試求(1)其他二邊 ,(2)面積為
2 2


, b ? 1, c ? 3 ?1 2

類 3. 已知 ? ABC 三邊長為 a ?

,求三內角。

用心

爱心

专心

4

Ans: 1. c ? 3 ?

3 , ? A ? 45 ? , ? B ? 30 ?

,2. (1) 6 , 3 ? 1 ,(2)

3? 2

3

,3.

? A ? 30 ? , ? B ? 135 ? , ? C ? 15 ? 。

5.

△ ABC 三邊長為 a , b , c ,且 a ? 2 b ? c ? 0 , 3 a ? b ? 2 c ? 0 ,則 (1) sin A : sin B : sin C = 角為 為 為 。 ;(4) cos C ? ; (2)
sin A ? sin B sin C ?

;(3) 最大

;(5)若△ ABC 周長為 15,則其面積 ;(7)△ ABC 內切圓面積

;(6)△ ABC 之外接圓面積為

類 1. △ ABC 中, ? A ? 45 ? , ? B ? 30 ? , c ? 3 ,則△ ABC 之外接圓半徑 為 。
?

類 2. ? ABC 中, A : B : C ? 3 : 4 : 5 且 AB=1,則 (A) A ? 45 (C) C ? 75 為
?

(B) B ? 60

?

(D) BC ?

3 ?1

(E) BC ?

2 ?1
2 ? 3 ,則最長邊

類 3. △ ABC 中, ? A ? 45 ? , ? B ? 30 ? ,三邊之和為 3 ? 。

類 4. 在△ ABC 中,已知 BC ? 1 , sin A ? sin B ,且 sin A 與 sin B 為
8x
2

? 4

3 x ? 1 ? 0 的兩根,則△ ABC 的外接圓半徑等於 (A)

3 ?1

(B) 2 3 ? 1 (C) 3 ? 1 (D) 3 ? 2 (E) 2 3 ? 1 。(84.社) 類 5. 半徑 10 的圓周上有三點 A , B , C ,若 AB : BC : CA ? 3 : 4 : 5 ,則△ ABC
用心 爱心 专心 5

面積=


6 : 3 ? 1 ,則△ ABC 為

類 6. △ ABC 中,已知 a : b : c ? 2 : 角、直角或鈍角)

△。(銳

類 7. 設△ ABC 的三邊分別為 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,若 。 ( b ? c ) : ( c ? a ) : ( a ? b ) ? 7 : 6 : 5 ,則 cos A ? 類 8. △ ABC 中,若 為 (84.自) 類 10. △ ABC 中,若 ? B ? 45 ? , ? C ? 60 ? , a ?
c ?

2 3

( a ? b ? c ) ? sin A ? sin B ? sin C ,則其外接圓之直徑


3 , ? A ? 30 ? ,則 BC ?

類 9. 設△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 1 ?



6 ?

2 ,則 b ?



,外接圓半徑=



類 11. 設圓內接四邊形 ABCD 中, ? CAD ? 30 ? , ? ACB ? 45 ? , CD ? 2 ,求
AB ? ?

類 12. 若 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 ab ,則 ? C ? Ans: 1. 8.
3( 6 ? 2 2)


7 8

,2. ABCD,3.

3 ? 1 ,4. C,5. 24,6. 銳角,7.



3 2

,9.

2 ,10. b ? 2

2,c ? 2

3 , R ? 2 ,11. 2

2 , 12. 60 ? 。

6.

圓內接四邊形 ABCD , AB ? AD ? a , ? C ? 90 ? , ? D ? 105 ? ,則對角 線 AC ? , BD = 。

類 1. 圓的內接四邊形 ABCD 中,已知 AB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 2 , ? B ? 60 ? ,
用心 爱心 专心 6

則 AD ?

, ABCD 面積=



類 2. 如右圖, P0 P3 為半圓的直徑, P1 、 P 2 為半圓 周上兩點。令 a ? P0 P1 , b ? P1 P 2 , c ? P2 P3 ,
d ? P0 P3 。試證: d 為方程式 x
3

? (a

2

? b

2

? c ) x ? 2 abc ? 0 的一根。(81.
2

自) Ans: 1. 3,
21 4 3

,2. 略。

7.

設 ? ABC 中, AB ? 6 , AC ? 4 , BC ? 5 ,若 D 為 BC 上異於 C 之一點,
AD ? 4 ,求 BD ? ?

8.

敘述並證明平行四邊形定理,並利用此定理敘述並證明三角形的中線定理。

類 1. 在△ ABC 中, AB ? 6 , BC ? 5 , CA ? 4 ,若 AD 為 BC 邊之中線, AE 為 ? A 之角平分線,則 AD = , AE = 。 類 2. △ ABC 中 ? ABC ? 60 ? , ? ABC 的角平分線交 AC 於 D 。已知 AB ? 6 ,
用心 爱心 专心 7

BD ? 2

3 ,則(1)△ ABD 的面積為

。(2)線段 AC 的長度 。(85.社)



。(3)△ ABC 的面積為

類 3. 已知△ ABC 三邊長分別為 AB ? 7 , BC ? 5 ,
AC ? 3 ,延長 BC 至 D ,如右圖所示,使得 CD ? 2 ,則 AD ?

A

。(86.社)

類 4. ? ABC 中, AB ? 5 , BC ? 6 , CA ? 7 , D 內分 BC 為 BD : DC ? 1 : 2 ,求 AD ? ? Ans: 1.
79 2 ,3 2 ,2. (1) 3
3 ,(2) 3 3 ,(3)

B

C

D

9 2

3

,3.

7 ,4. 5。

9.

若△ ABC 之三邊 a , b , c 所對應之高分別為, h a ? 20 , h b ? 15 , h c ? 12 , 則其最小內角的餘弦為 。三邊長為 。

類 1. 若△ ABC 之三邊 a , b , c 所對應之高分別為, h a ? 6 , h b ? 4 , h c ? 3 , 則其最小內角的餘弦為 Ans: 1.
7 8





10. 設△ ABC 滿足下列條件,試分別判別其形狀: (1) sin
2

A ? sin

2

B ? sin

2

C 。

(2) a cos A ? b cos B ? c cos C ? 0 。 (3) cos B sin C ? sin B cos C 。

用心

爱心

专心

8

類 1. 在已知三角形 ABC 中,三內角的正弦比 sin A : sin B : sin C ? 8 : 15 : 17 , 則此三角形為銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形? 類 2. 已知△ ABC , sin
2

A ? sin

2

B ? sin

2

C ,則△ ABC 為

△? △?

類 3. 已知△ ABC , a cos A ? b cos B ,則△ ABC 為 Ans: 1. 直角,2. 直角,3. 等腰。

用心

爱心

专心

9


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