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高三数学函数的概念与性质专题复习


函数的概念与性质 1:映射的概念 例 1.若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有 映射有 个, A 到 B 的函数有 个 2:判断两函数是否为同一个函数 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ? 个, B 到 A 的

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

x ? 0, ?1 ?? 1 x ? 0;
*

(3) f ( x) ? 2n?1 x 2n?1 , g ( x) ? (2n?1 x ) 2n?1 (n∈N ) ; (4) f ( x) ?

x

x ? 1 , g ( x) ?

x2 ? x ;

(5) f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 , g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 3:求函数解析式 方法:待定系数法、换元、消参 例 1.已知二次函数 f (x) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ? 6 x ? 5 ,求 f (x)

例 2.已知 f (

1? x 1? x2 )= ,则 f (x) 的解析式可取为 1? x 1? x2
1 x

例 3.已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f (x) 考点 4:求函数的定义域 例 1.函数 f (x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为 x
2? x x 2 ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 ? ? ? ? 2? x ?2? ? x?

例 2.设 f ? x ? ? lg

例 3.已知函数 y ? f (x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域 例 5.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f (x) 的定义域 例 6.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域 考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:如 y ? ? sin x ? 2 cos x ? 4
2

(2)基本函数法:如 y ? log 1 (? x ? 2 x ? 3)
2 2

(3)分离常数法: y ?

2 cos x ? 3 cos x ? 1 3x x ?4
2

(5)利用均值不等式求值域: y ?

(6)利用函数的单调性: y ? 2 x 4 ? x 2 ? 2( x ? [?1,2]) (7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (8)导数法: f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ? [?3,3] (9)对号函数法:y=x+ 练习: (1) y ? x ? (2) y ? x ?

m x

4 ,求 ① 单调区间 ② ? [3,5],求值域 ③ ? [-1,0 ) ? (0,4],求值域 x x x 4 ① 求 x ? [3,7]上的值域 ② 求单调递增区间 x?4 , 1 ,① 求 x ? [-1,1]上的值域 ② 求单调递增区间 x?3

(3) y ? 2 x ?

函数的单调性
1:讨论函数的单调性 例 1. (1)求函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x) ? f (2 ? x ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性.
2 2

例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.?
2

2:研究抽象函数的单调性 例 1 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x ) ? f ( x ,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , 1 2 )
(1) 求证: f ( x) 是偶函数; (2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; 解不等式 f (2 x ? 1) ? 2 . (3)
2

3:函数的单调性的应用 例 1.若函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取
2

值范围是______ 例 2.已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则实数 a 的取值范围_____ x?2

例 3.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? a 1 , x ? [1,??). 当 a ? 时,求函数 f (x) 的最小值。 2 x x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). 若对任意 x ? [1, ??), f ( x) ? 0 x

例 4. 2008 广东) ( 已知函数 f ( x) ? 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

函数的奇偶性
1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 .(09 年山东)定义在区间 (?1,1) 上的函数 f (x)满足:对任意的 x, y ? (?1,1) ,都有

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) . 求证 f (x)为奇函数; 1 ? xy
例 2. (1)函数 f (x) , x ? R ,若对于任意实数 a, b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证:

f (x) 为奇函数。
(2)设函数 f (x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是 奇函数。 3:函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数

m 的取值范围。
例 2 . 设 函 数 f (x) 对 于 任 意 的 x, y ? R , 都 有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且 x ? 0 时

f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2
(1)求证 f (x) 是奇函数; (2)试问当 ? 3 ? x ? 3 时, f (x) 是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。

例 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 并在区间(-∞,0)内单调递增, (2a +a+1)<f(3a f -2a+1).求 a 的取值范围,并在该范围内求函数 y=(

2

2

1 a 2 ?3a ?1 ) 的单调递减区间. 2

函数的周期性
1 函数的周期性 例 1.设函数 f (x) 是定义域 R 上的奇函数,对任意实数 x 有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 成立 (1)证明: y ? f (x) 是周期函数,并指出周期; (2)若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值 2 函数奇偶性、周期性的综合应用 例1. (09 年江苏题改编) 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1 对于 x ? R 恒 成立,且 f ( x) ? 0 ,则 f (119) ? ________ 。

3 2

3 2

例 2.已知函数 f (x) 的定义域为 R ,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) (1)求证: f (x) 是周期函数; (2)若 f (x) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 的所有 x 的个数。

1 1 x ,求使 f ( x ) ? ? x 在 ?0,2009 上 ? 2 2


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