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高中数学归纳整合1课件苏教版必修_图文


本章归纳整合

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要点归纳 1 .直线与平面位置关系的核心是平行与垂直的判定和性 质.判定线线平行的常用方法有:公理 4(a∥b,b∥c?a∥c); 线面平行的性质(a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b);线面垂直的性 质(a⊥α,b⊥α?a∥b). 2.判定线线垂直的常用方法有:异面直线垂直的定义(a⊥ c,b∥c?a⊥b);线面垂直的定义(a⊥α,b?α?a⊥b).

3. 判定线面平行的常用方法有: 线面平行的判定定理(a?α, b?α 且 a∥b?a∥α);面面平行的定义(α∥β,a?α?a∥β). 4.判定线面垂直的常用方法有:线面垂直的判定定理(a⊥ b, a⊥c, c?α, b?α, b∩c=A?a⊥α 和 a∥b, b⊥α?a⊥α). 面 面平行的性质定理(α∥β, a⊥β?a⊥α);面面垂直的性质定理(α ⊥β,α∩β=b,a?β,a⊥b?a⊥α). 5.判定面面平行的常用方法有:面面平行的判定定理(a, b?β,a∩b=A,a∥α,b∥α?α∥β 和 a1,b1?β,a2,b2?α, a1∩b1=A1,a2∩b2=A2,a1∥a2,b1∥b2?α∥β).

6.判定面面垂直的常用方法有:面面垂直的判定定理(a⊥ α,a?β?α⊥β). 以上方法最核心部分为:(1)若 a∥b,则①b∥c?a∥c;② b⊥c?a⊥c;③b∥α?a?α 或 a∥α;④b⊥α?a⊥α. (2)若 α∥β,则①β∥a?a?α 或 a∥α;②β⊥a?a⊥α;③β ∥γ?α∥γ;④β⊥γ?α⊥γ.

专题一 垂直关系、平行关系的证明 立体几何中平行关系和垂直关系是重点,也是高考中一定 要考查的知识,平行和垂直的证明体现了转化的思想,高维向 低维转化,低维向高维转化,平行与平行的转化,垂直与垂直 的转化,平行与垂直的转化,以及证明与计算的转化,都是转 化思想的具体体现.

【例 1】 如图,已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥ BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3,过点 A 作 AE⊥CD,垂足 为 E,G,F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠, 使得 DE⊥EC.

(1)求证:BC⊥平面 CDE; (2)求证:FG∥平面 BCD; (3)在线段 AE 上找一点 R,使得平面 BDR⊥平面 DCB,并 说明理由.

(1)证明 由已知得 DE⊥AE,DE⊥EC. ∵AE∩EC=E,AE、EC?平面 ABCE, ∴DE⊥平面 ABCE,∴DE⊥BC. ∵BC⊥CE,CE∩DE=E,∴BC⊥平面 EDC.
(2)证明 取 AB 的中点 H,连接 GH、FH. ∴GH∥BD,FH∥BC, ∴GH∥平面 BCD,FH∥平面 BCD. ∴平面 FHG∥平面 BCD, ∴GF∥平面 BCD.

(3)R 点满足 3AR=RE 时,平面 BDR⊥平面 DCB. 证明 取 BD 的中点 Q,连接 DR、BR、CR、CQ、RQ.
5 13 易得 CD=2,BR= ,CR= , 2 2 21 DR= ,CQ= 2. 2 5 21 在△BDR 中,∵BR= ,DR= , 2 2 5 BD=2 2,∴RQ= . 2

∴在△CRQ 中,CQ2+RQ2=CR2, ∴CQ⊥RQ. ∵在△CBD 中,CD=CB,Q 为 BD 中点, ∴CQ⊥BD, ∴CQ⊥平面 BDR, ∴平面 BDC⊥平面 BDR.

专题二 空间角的求法 “空间角”包括线线角、线面角和二面角,对这三种角, 主要是理解它们的概念和范围,在论证的基础上通过定理转化 为平面角来表示,然后借助于平面图形,用解三角形的方法求 解,对这三种角的有关问题分析和解决的过程是对点、线、面 组成空间图形的位置关系进行理性分析的重要手段,是培养逻 辑思维能力,树立空间观念的重要途径.

【例 2】 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA =AB,∠ABC=60° ,∠BCA=90° ,点 D、E 分别在棱 PB,PC 上,且 DE∥BC. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角正弦 值大小; (3)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角?说明理 由.

(1)证明

PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC.

∵∠BCA=90° ,∴AC⊥BC. ∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. (2)解 ∵点 D 为 PB 的中点,DE∥BC,

1 ∴DE= BC. 2 又由(1)知 BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角.

∴PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AB. ∵PA=AB,∴△ABP 为等腰直角三角形. 1 ∴AD= AB. 2 ∵在 Rt△ABC 中,∠ABC=60° , 1 ∴BC= AB, 2 1 ∴DE= AB. 4 DE BC 2 ∴在 Rt△ADE 中,sin ∠DAE= = = , AD 2AD 4
2 ∴AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 . 4

(3)解

∵DE∥BC,又由(1)知 BC⊥平面 PAC,

∴DE⊥平面 PAC. ∵AE?平面 PAC,PE?平面 PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 ADEP 的平面角. ∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AC,∴∠PAC=90° . ∴在棱 PC 上存在一点 E, 使得 AE⊥PC, 这时∠AEP=90° . 故存在点 E 使得二面角 ADEP 是直二面角.

专题三 空间距离 空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进 行定量分析的重要概念,空间距离是指两点间距离、点线距离、 点面距离、线面距离、线线距离以及面面距离等,距离都要转 化为两点间距离即线段长来计算.在解题中,这六种距离的重 点和难点是求点到平面的距离,因此线线距离、线面距离和面 面距离除用定义能直接计算外,都要转化为点到平面的距离求 解,点到平面的距离除直接求解外,还可用等积变换法求解.

【例 3】 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别为 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2. (1)求证:AO⊥平面 BCD; (2)求点 E 到平面 ACD 的距离.

(1)证明 连接 OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3.而 AC=2, ∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90° ,即 AO⊥OC. ∵BD∩OC=O, ∴AO⊥平面 BCD.

(2)解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h. ∵VE-ACD=VA-CDE, 1 1 ∴ h· S = AO· S△CDE. 3 △ACD 3 在△ACD 中,CA=CD=2,AD= 2, 1 ∴S△ACD= × 2 2× 2
2

? -? ? ?

7 2? ?2 = . 2 2? ?

1 1 3 又 AO=1,S△CDE= × ×2× 3= , 2 2 2 3 AO· S△CDE 1× 2 21 ∴h= = = . 7 S△ACD 7 2 21 ∴点 E 到平面 ACD 的距离为 . 7

专题四 分类讨论思想 分类讨论的思想方法是指在研究和解决数学问题时,根据 数学对象的本质属性的相同点和不同点,将对象区分为不同种 类,然后分类进行研究和解决,从而达到研究和解决全部问题 的目的.

【例 4】 已知平面 α∥平面 β,AB,CD 是夹在平面 α 和平 AE CF 面 β 间的两条线段,点 E,F 分别在 AB,CD 上,且 = = EB FD m .求证:EF∥α∥β. n

证明 ①若 AB 与 CD 共面,设 AB 与 CD 确定平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. ∵α∥β,∴AC∥BD. AE CF m 又∵ = = , EB FD n ∴EF∥AC∥BD. 又∵EF?α,EF?β,AC?α,BD?β, ∴EF∥α∥β.

②若 AB 与 CD 异面,过点 A 作 AA′∥CD,在 AA′截一 AO AE CF m 点 O,使 = = = , OA′ EB FD n ∴EO∥BA′,OF∥A′D. 又∵EO?α,EO?β,BA′?β,α∥β, ∴EO∥α,EO∥β.

同理 OF∥α,OF∥β. ∵EO∩OF=O, ∴平面 EOF∥α∥β. 又∵EF?平面 EOF, ∴EF∥α∥β. 综上所述,无论 AB 与 CD 是异面还是共面,都有 EF∥α ∥β.

命题趋势 高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力,在推理中 兼顾考查逻辑思维能力,解决立体几何的基本方法是将空间问 题转化为平面问题.热点问题主要有证明点线面的关系,如点 共线、线共点、线共面问题;证明空间线面平行、垂直关系; 求空间的角和距离,考查的重点是点线面的位置关系及空间距 离和空间角,突出空间想象能力,侧重于空间线面位置关系的 定性与定量考查,算中有证.

其中填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种 语言的相互转化,考查学生对图形的识别、理解和加工能力; 解答题则一般将线面集中于一个几何体中,即以一个多面体为 依托,设置几个小问,设问形式以证明或计算为主.

高考真题

1.(2012· 四川改编)下列命题正确的是________.
①若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条 直线平行 ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离

相等,则这两个平面平行

③若一条直线平行于两个相交
④若两个平

平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

解析

①错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的

角相等,但两条母线相交;②错误,△ ABC 的三个顶点 中, A 、 B 在 α 的同侧,两点 C 在 α 的另一侧,且 AB 平行于 α ,此时可有 A、 B、 C三点到平面 α 距离相等,但两平面相 交;④错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这

两个面相交,故选③。
答案 ③

2 . (2012· 四川)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中 , M 、 N 分 别 是 棱 CD 、 CC1 的中 点,则异面直线 A1M 与 DN所成的角的大小是________. 解析 利用中位线平移寻找异面直 线所成的角. 如图,取 CN的中点 K ,连接 MK ,

则MK为△CDN的中位线,所以MK∥D
N. 所以∠A1MK为异面直线A1M与DN 所成的角.连接 A1C1,AM.设正方体棱 长为4,

则 A1K= (4 2)2+32= 41, 1 1 MK= DN= 2 2 42+22= 5,

A1M= 42+42+22=6, ∴ A1M2 + MK2 = A1K2 , ∴ ∠ A1MK = 90°.
答案 90°

3.(2012· 陕西)(1)如图所示,证 明命题 “a 是平面 π 内的一条直线, b 是π外的一条直线(b不垂直于π),c是 直 线 b 在 π 上 的 投 影 , 若 a⊥b , 则

a⊥c”为真;
(2) 写出上述命题的逆命题,并判断其真假 ( 不需证明 ).

证明

如图,记 c∩b= A, P为直

线b上异于点A的任意一点,过P作 PO⊥π,垂足为O,则O∈c. 因 为 PO⊥π , a ? π , 所 以 直 线 PO⊥a. 又a⊥b,b?平面PAO,PO∩b=P, 所以a⊥平面PAO. 又c?平面PAO,

所以a⊥c.
(2)解 逆命题为:a是平面π内的一条直线,b是π外的 一条直线 (b 不垂直于 π),c是直线 b在π上的投影,若 a⊥ c,

则a⊥b.逆命题为真命题.

4 . (2012· 江苏 ) 如图,在直三棱柱
ABCA1B1C1 中, A1B1 = A1C1 , D , E 分 别是棱 BC , CC1 上的点 ( 点 D 不同于点 C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. 求 证 : (1) 平 面 ADE⊥ 平 面 BCC1B1; (2)直线A1F∥平面ADE.

证明
面ABC.

(1) 因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1 ⊥ 平

又AD?平面ABC,所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE,CC1,DE?平面BCC1B1,CC1∩DE=
E, 所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD?平面ADE, 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F?平面A1B1C1,

所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1?平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD. 又 AD ? 平面 ADE , A1F ? 平面 ADE ,所以 A1F ∥平面 ADE.

5.(2011· 陕西)如图,在△ABC 中,∠ABC=45° ,∠BAC =90° ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC= 90° .

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

解 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D,∴AD⊥平面 BDC, ∵AD?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BDC.

(2)由(1)知,DA⊥DB,DC⊥DA, ∵DB=DA=DC=1,DB⊥DC,∴AB=BC=CA= 2, 1 1 1 从而 S △DAB=S △ DBC = S △DCA= ×1×1 = ,S △ ABC = × 2 2 2 2 3 × 2×sin 60° = , 2 1 3 3+ 3 ∴表面积 S= ×3+ = . 2 2 2

6.(2011· 安徽)如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平 面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB, △OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形. (1)证明直线 BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.



(1)如图,设 G 是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点,

1 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以 OB 綉 DE,OG= 2 OD=2.

同理, 设 G′是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点, 有 OG′ =OD=2. 又由于 G 和 G′都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G′ 重合.

1 1 在△GED 和△GFD 中,由 OB 綉 DE 和 OC 綉 DF,可知 2 2 B,C 分别是 GE 和 GF 的中点,所以 BC 是△GEF 的中位线, 故 BC∥EF.

3 (2)由 OB=1,OE=2,∠EOB=60° ,知 S△EOB= ,而△ 2 OED 是边长为 2 的正三角形,故 S△OED= 3,所以 S 3 3 =S△EOB+S△OED= . 2 过点 F 作 FQ⊥AD,交 AD 于点 Q,由平面 ABED⊥平面 ACFD 知,FQ 就是四棱锥 F-OBED 的高,且 FQ= 3,所以 1 3 VF-OBED= FQ· SOBED= . 3 2
四边形 OBED

7.(2011· 北京)如图所示,在四面体 PABC 中,PC⊥AB, PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相 等?说明理由.

(1)证明 因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP.所以 DE∥平面 BCP. (2)证明 因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的 中点,所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形.

(3)解

存在点 Q 满足条件.理由如下:

连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 由(2)知,DF∩EG=Q, 1 且 QD=QE=QF=QG= EG, 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N, 连接 ME,EN,NG,MG,MN(图略). 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形, 其对角线交点为 EG 的中点 Q, 1 且 QM=QN= EG,所以 Q 为满足条件的点. 2


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