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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本 试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项: 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮 擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: · 如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) · 棱柱的体积公式 V=Sh, 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. · 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P( AB) ? P( A) P( B) 4 · 球的体积公式 V ? ? R3 . 3 其中 R 表示球的半径. 一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ? (A) (??,2] (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] ?3 x ? y ? 6 ? 0, ? (2) 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z = y-2x 的最小值为 ? y ? 3 ? 0, ? (A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值为 1, 则输出 S 的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: 1 1 , 则其体积缩小到原来的 ; 2 8 ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 1 ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 ? y 2 ? 相切. 2 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③ 2 2 x y (5) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) a b 的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面 ①若一个球的半径缩小到原来的 积为 3 , 则 p = (A) 1 (B) 3 2 (C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, ?ABC ? (A) ? 4 , AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC = 10 10 (B) 10 5 (7) 函数 f ( x) ? 2x | log0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 10 10 (D) 5 5 (C) 3 (D) 4 ? 1 1? (8) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A, 若 ? ? , ? ? A , 则实 ? 2 2? 数 a 的取值范围是 ?1? 5 ? ?1? 3 ? (A) ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? ? 1? 5 ? ,0 ? ? ? 0, (C) ? (D) ? ??, ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理 科 数 学 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = 1 ? ? (10) ? x ? ? x? ? 6 . 的二项展开式中的常数项为 . . ? ?? (11) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , 则|CP| = ? 3? ? (12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60 , E 为 CD 的中点. ???? ??? ? 若 AD· ? 1 , 则 AB 的长为 . BE (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过 点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . (14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 时, 1 |a| 取得最小值. ? 2| a| b 三.解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) ?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2? (16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出

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