伤城文章网 > 数学 > 山东省青州一中2012届高三数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3二项式定理课件 新人教B版

山东省青州一中2012届高三数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3二项式定理课件 新人教B版


第十章 计数原理

§ 10.3 二项式定理 基础知识 自主学习
要点梳理 1.二项式定理 n
n 1 n-1 1 n-r r n (a+b) =C0 b +?+Cr b +?+Cn na +Cna na nb (n∈N+)



这个公式所表示的定理叫做二项式定理, 右边的多项式叫做(a + b)n 的二项展开式,其中的系数 Cr n(r= 0,1,2,?n)叫做
n? r r 式系数 .式中的Cr 通项 a b n 叫做二项展开式的 ,用 Tr+1 表 r n? r r C a b r+1项;T r+1= n 示,即展开式的第 .

二项

2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n,即 a 与 b 的指数 的和为 n . (3)字母 a 按 降幂 排列,从第一项开始,次数由 n 逐项 减 1 直到零;字母 b 按 升幂 排列,从第一项起,次数由 零逐项增 1 直到 n. 3.二项式系数的性质 (1)对称性: 与首末两端 “等距离”的两个二项式系数相等,
n m 即 Cm = C n n .


0 n 1 n -1 C C (4)二项式的系数从 n , Cn,一直到 Cn , n .

n+1 2 (2)增减性与最大值:二项式系数 Cr 时,二 n,当 r< n+1 项式系数是递增的;当 r> 2 时,二项式系数是递减的.
当 n 是偶数时, 中间的一项 C 当 n 是奇数时,中间两项 C 最大值.
n ?1 2 n n 2 n

取得最大值.



C

n ?1 2 n

相等,且同时取得

(3)各二项式系数的和 (a+ b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,即
1 2 r n C0 ? C ? C ? ? ? C ? ? ? C =2n . n n n n n

二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的 二项式系数的和,即 =
2 n-1
1 3 5 C +C +C + ? n n n

=

0 2 4 C +C +C + ? n n n

[难点正本

疑点清源 ]


1.二项式的项数与项
n r r (1)二项式的展开式共有 n+ 1 项,Cr b 是第 r+ 1 项.即 r na n- r r + 1 是项数, Cr a b 是项. n n r r (2)通项是 Tr+ 1= Cr b (r= 0,1,2,……,n). 其中含有 Tr+1, na


a,b,n,r 五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同
n r r r 在 Tr+1= Cr a b 中, C n n就是该项的二项式系数,它与 a, b


的值无关; Tr+ 1 项的系数指化简后除字母以外的数, 如 a= 2x,
n- r r n- r r r n- r r b= 3y,Tr+ 1= Cr 2 · 3 x y ,其中 C 3 就是 Tr+ 1 项的系 n n2

数.

基础自测 1.若(x-1)4=a0+a1 x+a2 x2+a3 x3+a4 x4,则 a0+a2+a4 的 8 值为________ .

解析

3 2 2 2 3 3 ∵(x-1)4=1+C1 x ( - 1) + C x ( - 1) + C 4 4 4x (-1)+

x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, ∴a0=1,a2=C2 4=6,a4=1,∴a0+a2+a4=8.

? ? ? 4 1?10 45 用数字作答). 2. 在?x + ? 的展开式中常数项是______( x ? ? ? ? r 4 10-r 1 r 40-5r ? ? =Cr 解析 Tr+1=C10(x ) x , 10 ?x?

令 40-5r=0 得 r=8,
2 则展开式中常数项为 C8 10=C10=45.

a9 3.(2010· 全国Ⅱ)若(x- ) 的展开式中 x3 的系数是-84, x 1 则 a=________.
解析
9-r -r r r r 9-2r Tr+1=Cr x x ( - a ) = ( - a ) C9x . 9

令 9-2r=3,得 r=3.
3 ∴x3 的系数为-a3C9 =-84,

∴a3=1,∴a=1.

4.(2010· 江西)(2- x)8 展开式中不含 x4 项的系数的和为 (B ) A.-1 B.0
解析

C.1

D.2

(2 - x )8 展开式的通项 Tr+ 1 = Cr 28 - r· ( - x )r = 8· r r r 8- r r 2 C8· 2 · (- 1) · x .由2 = 4 得 r= 8.
8 ∴展开式中 x4 项的系数为 C8 =1.

又∵(2- x)8 展开式中各项系数的和为(2- 1)8=1, ∴展开式中不含 x4 项的系数的和为 0.

5.若(1+ 2)5=a+b 2(a、b 为有理数),则 a+b 等于( C ) A.45 B.55 C.70 D.80

解析

∵(1+ 2)5=1+5 2+20+20 2+20+ 4 2

= 41+ 29 2= a+ b 2,又 a、 b 为有理数,
?a= 41, ? ∴? ? ?b= 29,

∴a+b= 41+ 29=70.

题型分类 深度剖析
题型一 例1 求展开式中的特定项或特定项的系数 ? ? 1 ?n x + 在二项式 ? 4 ? ? 的展开式中,前三项的系数成等差 2 x? ?

数列,求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.

思维启迪:利用已知条件前三项的系数成等差数
列求出 n,再用通项公式求有理项.

n 1 解 ∵ 二项展开式的前三项的系数分别是 1, , n(n- 1), 2 8 n 1 ∴ 2·= 1+ n( n-1), 2 8 解得 n=8 或 n= 1(不合题意,舍去 ),
x ( 4 ) ?C 2 x ∴ Tr+1=Cr , 8 2 x 3 当 4- r∈ Z 时,Tr+ 1 为有理项, 4
r r 8 8? r 2

1

?r

3 4? r 4

∵ 0≤ r≤8 且 r∈ Z,∴r= 0,4,8 符合要求. 故有理项有 3 项,分别是 35 1 -2 T1= x4,T5= x,T9= x . 8 256 ∵ n= 8,∴展开式中共 9 项, 35 中间一项即第 5 项的二项式系数最大且为 T5= x. 8

探究提高

求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式

进行, 化简通项公式后, 令字母的指数符合要求 (求常数项时, 指数为零;求有理项时,指数为整数等 ),解出项数 r+ 1,代 回通项公式即可.

变式训练1 已知n为正偶数,且

? 2 1?n ?x - ? 的展开式中第4项的 2x? ?

二项式系数最大,则第4项的系数是______.(用数字作答)

解析

n为正偶数,且第4项二项式系数最大,故展开式共7 ? 1? 5 3 3 项,n=6,第4项系数为C6?-2? =- . 2 ? ?

题型二

二项式系数和或各项的系数和的问题

例2 在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.

思维启迪:求二项式的系数的和,常用赋值法求解.

解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*) 各项系数和即为 a0+a1+?+a10,奇数项系数和为 a0+ a2+?+a10,偶数项系数和为 a1+a3+a5+?+a9,x 的 奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9,x 的偶次项系数和 a0+a2+a4+?+a10. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

1 10 10 (1)二项式系数的和为C0 + C + ? + C = 2 . 10 10 10

(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
2 10 9 (3)奇数项的二项式系数和为C0 + C + ? + C = 2 , 10 10 10 3 9 9 偶数项的二项式系数和为C1 + C + ? + C = 2 . 10 10 10

(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+?+a10=1,① 令x=1,y=-1(或x=-1,y=1), 得a0-a1+a2-a3+?+a10=510,② ①+②得2(a0+a2+?+a10)=1+510, 1+510 ∴奇数项的系数和为 ; 2 ①-②得2(a1+a3+?+a9)=1-510, 1-510 ∴偶数项的系数和为 . 2

1-510 (5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+?+a9= ; 2 1+510 x的偶次项系数和为a0+a2+a4+?+a10= . 2

探究提高

(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重

要的方法,对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a、b∈R)的 式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x =1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式 各项系数之和,只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则f(x)展开式中各 项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+?= f?1?+f?-1? ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+?= 2 f?1?-f?-1? . 2

变式训练 2 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7. 求:(1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.
解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,①

令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C0 7=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2. (2)(①-②)÷ 2,

-1-37 得a1+a3+a5+a7= =-1 094. 2 (3)(①+②)÷ 2, -1+37 得a0+a2+a4+a6= =1 093. 2 (4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6大于零, 而a1,a3,a5,a7小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), ∴由(2)、(3)即可得其值为2 187.

题型三 例3 数;

二项式定理的综合应用

(1)已知 n∈N+,求 1+2+22+23+?+24n- 1 除以 17 的余

(2)求(1.999)5 精确到 0.001 的近似值.

(1) 先用等比数列前n项和公式求和,然后转化成 思维启迪: 含17的二项式. (2)把(1.999)5转化为二项式,适当展开,根据精确度的要求, 取必要的几项即可.

解 (1)∵1+2+22+23+?+24n-1 1-24n 4n = =2 -1=16n-1 1-2 =(17-1)n-1
n-1 2 n-2 2 =17n+C1 · 17 · ( - 1) + C · 17 · ( - 1) +?+ n n
-1 n-1 n n Cn · 17· ( - 1) + C · ( - 1) -1 n n

n-2 2 n-3 2 = 17[17n - 1 + C 1 · 17 · ( - 1) + C · 17 · ( - 1) +?+ n n
-1 n-1 n Cn · ( - 1) ] + ( - 1) -1, n

∴当 n 为偶数时,所求余数为 0,当 n 为奇数时,所求余 数为 15.

4 2 3 2 (2) (1.999)5=(2-0.001)5=25-C1 × 2 × 0.001 + C × 2 × 0.001 5 5 2 3 -C3 × 2 × 0.001 +? 5 3 2 第三项 T3=C2 × 2 × 0.001 =0.000 08<0.001, 5

以后各项的绝对值更小.
4 ∴(1.999)5≈25- C1 × 2 ×0.001=31.920. 5

探究提高

(1)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n

不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx. (2)利用二项式定理还可以证明整除问题或求余数问题,在证明 整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展 开后的每一项都含有除式的因式,要注意变形的技巧.

变式训练 3 求证:(1)32n 2-8n-9 能被 64 整除(n∈N+);


(2)3n>(n+2)· 2n

-1

(n∈N+,n>2).

证明

(1)∵32n+2-8n-9=32· 32n-8n-9

=9· 9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9
n 1 n-1 n- 1 n =9(C0 8 + C 8 + ? + C · 8 + C 1)-8n-9 n n n n· n-1 n- 2 2 =9(8n+C1 8 + ? + C 8n+9-8n-9 n n 8 )+9· n-3 n- 2 =9×82(8n-2+C1 · 8 + ? + C n n )+ 64n n-3 n- 2 =64[9(8n-2+C1 8 + ? + C n n )+ n],

显然括号内是正整数,∴原式能被 64 整除.

(2)

利用二项式定理对 3n=(2+1)n 展开证明.

因为 n∈N+, 且 n>2,所以 3n=(2+ 1)n 展开后至少有 4 项.
-1 1 n- 1 (2 + 1)n= 2n+ Cn · 2 + ?+ Cn 2 + 1≥2n+ n· 2n- 1+ 2n+ n ·

1>2n+n· 2n 1=(n+ 2)· 2n 1,
- -

故 3n>(n+ 2)· 2n-1.

易错警示 19.混淆二项展开式的项与项数以及二项式系数与项的系数致 误 试题: (5 分)(x y-y x)4 的展开式中 x3y3 的系数是________, 此项为第________项. 学生答案展示
6 2

审题视角 本题所求的是 x3y3 的系数,而不是二项式 系数;第 2 问是项数

解析

(x y- y x)4 的展开式的通项为
2?

4- r Cr x y 4

· (-1) y x

r 2

r r

r 2

r ? r r ?4-2= 3, 4? 2? k x 2 y 2 . 令? =(-1)kC4 ?2+ r = 3, ? 2

得 r= 2.

故展开式中 x3y3 的系数为(-1)2· C2 4= 6.由于 r= 2,所以此项 为第 3 项.

正确答案 6

3

批阅笔记

(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的

概念,解题时要注意弄清题意,看清题目求的是什么. (2)二项展开式中 Tr+1 是第 r+1 项,而不是第 r 项.学生混淆 了项数 r+1 与 r 的关系.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1.通项公式最常用,是解题的基础. 2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为 二项式来解决,转化的方法通常为集项、配方、因式分解, 集项时要注意结合的合理性和简捷性. 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论 对 r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性.
n r 4.性质 1 是组合数公式 Cr = C n n 的再现,性质 2 是从函数的角


度研究二项式系数的单调性,性质 3 是利用赋值法得出的二 项展开式中所有二项式系数的和.

5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时 根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的 一种重要方法. 6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项 数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中 的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数 的性质对条件进行逐个分析,对于与组合数有关的和的问 题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的 逆用.

失误与防范 1.要把 “二项式系数的和 ”与“ 各项系数和 ”, “奇 (偶 )数 项系数和与奇 (偶)次项系数和”严格地区别开来. 2. 根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化, 学生易出错. 3.通项公式是第 r+ 1 项而不是第 r 项.

返回


搜索更多“山东省青州一中2012届高三数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3二项式定理课件 新人教B版”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com