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2014年(北师大版)数学必修二课件:1.5.2.2平面与平面平行的性质


第2课时 平面与平面平行的性质 问题 引航 1.面面平行的性质定理内容是什么?怎样用符号 语言描述? 2.面面平行的性质定理的作用是什么? 面面平行的性质定理 (1)文字语言: 平行平面 同时与第三个平面相交. 条件:两个_________ 它们的交线平行 结论:_______________. α ∥β (2)符号形式: __________ α ∩γ =a ?a∥b. β ∩γ =b _________ (3)作用:面面平行?_________. 线线平行 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若平面α ∥平面β ,m ?α ,n ?β ,则m∥n.( ) (2)若平面α ,β 平行,γ ∩α =a,γ ∩β =b.在β 中除了b 之外还有无数条直线平行于直线a.( ) ) (3)平面α ,β ,γ 满足γ ∩β =a,γ ∩α =b,则a∥b.( 【解析】(1)错误.因为m ? α,n ? β,α∥β,所以m与n 一定无公共点,因此m与n平行或异面. (2)正确.由面面平行的性质知a∥b,在β中与b平行的直线 有无数条,均与a平行. (3)错误.当β∥α时,由面面平行的性质定理知a∥b,当β 与α相交时,a与b相交或平行. 答案:(1)× (2)√ (3)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知平面α ∥平面β ,过平面α 内的一条直线a的平面γ , 与平面β 相交,交线为直线b,则a,b的关系为________. (2)已知直线a ?α ,若平面α ∥平面β ,则直线a与平面β 的 关系为________. (3)已知长方体AC′,平面α ∩平面AC=EF,平面α ∩平面 A′C′=E′F′,则EF与E′F′的位置关系是________. 【解析】(1)由面面平行的性质定理知,a∥b. 答案:a∥b (2)若平面α∥平面β,则平面α与平面β无公共点, 又a ? α,所以a∥平面β. 答案:平行 (3)由于平面AC∥平面A′C′,平面α∩平面AC=EF, 平面α∩平面A′C′=E′F′,则EF∥E′F′. 答案:平行 【要点探究】 知识点 面面平行的性质定理 1.对平面与平面平行性质的四点说明 (1)两平行平面都与第三个平面相交,它们的交线平行,而不 是两平行平面内的直线都平行,也有异面的情况,但不会相交. (2)此定理提供了空间作平行线的方法,即作两平行平面的相 交平面,得到它们的相交直线是一组平行线. (3)定理使用时三个条件缺一不可 ①两个平面平行,即α ∥β . ②第一个平面与第三个平面相交,即α ∩γ =a. ③第二个平面与第三个平面也相交,即β ∩γ =b. (4)面面平行的其他性质 ①夹在两个平行平面间的平行线段相等. ②平行于同一平面的两个平面平行(也可以作为判定). 2.面面平行性质定理的作用 (1)证明直线与直线平行,证明线面平行、面面平行、四边形 是平行四边形、线段相等(或求线段长度)等问题时都可以通过 面面平行的性质定理推出线线平行,最终借助线线平行实现求 解. (2)证明直线与平面平行:首先考虑应用线面平行的判定定理, 其次考虑应用面面平行的性质转化为线面关系或线线关系使问 题得以解决. 【微思考】 (1)在平面与平面平行的条件中,若去掉条件α ∥β ,结论是 否成立? 提示:当去掉条件α∥β时,结论不一定成立,直线a,b可能 重合、平行或相交. (2)如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面 内的直线有什么位置关系? 提示:这两个平面内的直线之间的位置关系是平行或异面 . 【即时练】 已知两条直线m,n,两个平面α ,β ,给出下面结论: ①α ∩β =m,n ?α ,则m∥n或者m,n相交. ②m∥n,m∥α ,则n∥α . ③α ∩β =m,m∥n,则n∥β 且n∥α . 其中正确的序号是________. 【解析】①正确,m,n共面,相交或平行;②③错误, n可能在面内. 答案:① 【题型示范】 类型一 面面平行性质定理的应用 【典例1】 (1)如图,已知平面α ∥β ,P?α ,且P?β ,过点P的直线m与 α ,β 分别交于A,C,过点P的直线n与α ,β 分别交于B,D且 PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为________. (2)(2014·西安高一检测)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为3 的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底 面的棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q 在CD上,求PQ的长度. 【解题探究】1.题(1)中AB与CD有什么位置关系?求BD的方法 是什么? 2.题(2)中平面ABCD与平面A1B1C1D1有什么位置关系?PQ与MN有 什么位置关系,理论依据是什么? 【探究提示】1.AB∥CD,利用比例线段求BD. 2.平面ABCD∥平面A1B1C1D1,PQ∥MN,理论依据是面面平行的 性质定理. 【自主解答】(1)因为AC∩BD=P,所以经过直线AC与BD可确定 平面PCD,因α∥β,α∩平面PCD=AB,β∩平面PCD=CD,所 以AB∥CD,所以 PA ? PB , BD 即 6 ? 8 ? BD , 所以BD= 24 . 9 BD 5 答案: 24 5 AC (2)连接AC,A1C1,由平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面MNQP 分别与平面ABCD,平面A1B1C1D1相交知,PQ∥MN, 又由M,N分别为A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1, 又由A1C1∥AC,即MN∥AC,所以PQ∥AC, 所以DP=DQ,又由AP=1,所以DP=DQ=2, 所以PQ= DP 2 ? DQ2 ? 2 2 【延伸探究】题(1)中,若点P在平面α ,β 之间(如图),其他 条件不变,试求BD的长. 【解析】由题(1)的解

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