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2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练46 抛物线 含解析 精品


课时分层训练(四十六) (对应学生用书第 274 页) A组 基础达标 抛物线 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2016· 四川高考)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( A.(0,2) C.(2,0) B.(0,1) D.(1,0) ) D [由 y2=4x 知 p=2,故抛物线的焦点坐标为(1,0).] 2.(2018· 佛山模拟)已知点 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,点 A 在抛物线 C 上, 若|AF|=4,则线段 AF 的中点到抛物线 C 的准线的距离为( ) 【导学号:00090309】 A.4 C.2 B B.3 D.1 [由题意易知 F(1,0),F 到准线的距离为 2,A 到准线的距离为|AF|=4,则 2+4 线段 AF 的中点到抛物线 C 的准线的距离为 2 =3.] 3. O 为坐标原点, F 为抛物线 C: y2=4 2x 的焦点, P 为 C 上一点, 若|PF|=4 2, 则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 ) B.2 2 D.4 C [如图,设点 P 的坐标为(x0,y0), 由|PF|=x0+ 2=4 2,得 x0=3 2, 代入抛物线方程得,y2 0=4 2×3 2=24,所以|y0|=2 6, 1 1 所以 S△POF=2|OF||y0|=2× 2×2 6=2 3.] p 4.(2018· 岳阳模拟)若直线 y=2x+2与抛物线 x2=2py(p>0)相交于 A,B 两点, 则|AB|等于( A.5p C.11p B ) B.10p D.12p [将直线方程代入抛物线方程,可得 x2-4px-p2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4p,∴y1+y2=9p, ∵直线过抛物线的焦点,∴|AB|=y1+y2+p=10p,故选 B.] 5.(2018· 汕头模拟)已知 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 是圆(x-3)2+(y- 1)2=1 上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为( A.3 C.5 B.4 D. 2+1 ) A [由抛物线方程 y2=4x,可得抛物线的焦点 F(1,0),又 N(1,0),∴N 与 F 重合.过圆(x-3)2+(y-1)2=1 的圆心 M 作抛物线准线的垂线 MH,交圆于 Q,交抛物线于 P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3.故选 A. ] 二、填空题 x2 y2 6.抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 3 - 3 =1 相交于 A,B 两 点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 【导学号:00090310】 6 AB 3 [在等边三角形 ABF 中,AB 边上的高为 p, 2 = 3 p, ? 3 p? 所以 B?± p,- ?. 2? ? 3 又因为点 B 在双曲线上, p2 p2 3 4 故 3 - 3 =1,解得 p=6.] 7.已知抛物线 x2=ay 与直线 y=2x-2 相交于 M,N 两点,若 MN 中点的横坐 标为 3,则此抛物线方程为__________. x2=3y [设点 M(x1,y1),N(x2,y2). 2 ?x =ay, 由? 消去 y,得 x2-2ax+2a=0, y = 2 x - 2 , ? 所以 x1+x2 2a 2 = 2 =3,即 a=3, 因此所求的抛物线方程是 x2=3y.] 8. 如图 871 是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米. 水 位下降 1 米后,水面宽为________米. 图 871 2 6 [由题意,可设抛物线方程为 x2=-2py(p>0). ∵点(2,-2)在抛物线上, ∴p=1,即抛物线方程为 x2=-2y. 当 y=-3 时,x=± 6. ∴水位下降 1 米后,水面宽为 2 6米.] 三、解答题 9.抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相交,公共弦 MN 的 长为 2 5,求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程. 【导学号:00090311】 [解] 由题意,设抛物线方程为 x2=2ay(a≠0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则|MA|=|AN|, 且 AN= 5. ∵|ON|=3,∴|OA|= 32-? 5?2=2, ∴N( 5,± 2). 5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a=± 2, 6分 3分 5 5 故抛物线的方程为 x2=2y 或 x2=-2y. 5? 5 ? 抛物线 x2=2y 的焦点坐标为?0,8?, ? ? 5 准线方程为 y=-8. 5? 5 ? 抛物线 x2=-2y 的焦点坐标为?0,-8?, ? ? 5 准线方程为 y=8. 8分 10 分 12 分 10. 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → =OA → +λOB → ,求 λ 的值. (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC [解] ? p? (1)由题意得直线 AB 的方程为 y=2 2?x-2?, ? ? 与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0, 5p 所以 x1+x2= 4 . 5p 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p= 4 +p=9, 所以 p=4,从而该抛物线的方程为 y2=8x. 5分 3分 (2)由(1)得 4x2-5px+p2=0,即 x2-5x+4=0,则 x1=1,x2=4,于是 y1=- 2 2,y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). 8分 → =(x ,y )=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2). 设 C(x3,y3),则OC 3 3

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