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山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编20:立体几何 Word版含答案


山东省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 20:立体几 何
一、选择题 1 . (山东省桓台第二中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 m,n 是两条不同

的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是 A.若 m // ? , n // ? , ? // ? , 则m // n C.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? , 则m // n
【答案】D 2 . (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)





B.若 m // ? , n // ? , ? ? ? , 则 m ? n D.若 m ? ? , n // ? , ? // ? , 则 m ? n

已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面 积为

( A.



6 4

B.

6 2

C.

2 2

D. 2

【答案】A 俯视图(三角形)的高作为侧视图(三角形)的底,求得底的长度为

3 ,由于侧 2
( )

视图的高为 2 ,所以侧视图的面积为 A.

6 .故选 4

3 . (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)

设 m,n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? B.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? / / ? C.若 m// ? , n ? ? , m / / n, 则? ? ?





D.若 m// ? , n ? ? , m / / n, 则? / / ?
【答案】C 根据题意,由于





A.对于若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? ,当 m 在平面 ? 内不成立,可能斜交 ,错误; 对于 B.若 m// ? , n ? ? , m ? n, 则? / / ? ,同上错误,对于

C.若 m// ? , n ? ?

4 . (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)

已知某个几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的数字,得这个几何体的体积是 A.





1 3
2 2

B.

2 3

C.

4 3

D.

8 3

2

主视图
1 1 2

侧视图

俯视图
【答案】

C.由三视图可知此几何体为三棱锥 V ?

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3

5 . (山东省桓台第二中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题) 如图,正方体

ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,M 为棱 BB1 的中点,则下列结论中错误的是

( A.D1O∥平面 A1BC1 C.异面直线 BC1 与 AC 所成的角为 60° 【答案】D B.D1O⊥平面 MAC D.二面角 M-AC-B 为 90°



6 . (山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班教学测试数学(理)试题)一个几

何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何的体积为

( A.



(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 3

B. (4 ? ? ) 3

C.

D.

(8 ? ? ) 3 6

【答案】D 观察三视图知,该几何体是半个圆锥与一个四棱锥的组合体.因为,其侧视图

是一个边长为 2 的等边三角形,所有,几何体高为 3 .圆锥底半径为 1,四棱锥底面边长

为 2,故其体积为,

(8 ? ? ) 3 1 1 1 ,选 D. ? ? 3? ? ? 22 ? 3 ? 6 2 3 3
( )

7 . (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)

若 a, b, c 是空间三条不同的直线, ? , ? 是空间中不同的平面,则下列命题中不正确的是 A.若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? B.若 b ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c 【答案】D 对于 A.若 c ? ? , c ? ? ,则 ? // ? ,根据一条直线同时垂直于两个不同的平面,则可知结论 成立,对于 的判定定理,成立, 对于 垂线定理,成立. 对于 D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c ,线面平行,不代表直线平 D. C. b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影,若 b ? c ,则 a ? b 符合三 当 B.若 b ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,符合面面垂直





行于平面内的所有 的直线,故错误.选

8 . (山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班教学测试数学(理)试题)如图,已

知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCB-A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为

( A.



? 6

B.

? 3

C.

6 ? 6

( D)

3 ? 3

【答案】 根据正方体的几何特征知,平 面 ACD 1 是 边 长 为 A

2 的 正 三 角 形 ,且 球 与 与

以 点 D 为 公 共 点 的 三 个 面 的 切 点 恰 为 三 角 形 ACD 1 三 边 的 中 点 , 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积, 则 由 图 得 ,△ ACD 1 内 切 圆 的 半 径 是

2 6 ×tan30°= , 2 6

则所求的截面圆的面积是 π × 故选 A.

6 6 ? × = , 6 6 6
( )

9 . (山东省淄博第一中学 2014 届高三上学期期中模块考试数学(理)试题)如图,水平放置的

三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1 ? 面 A1B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形, 俯视图为一个等边三角形,该三棱柱的侧视图面积为

( A. 2 3
【答案】A



B. 3

C. 2 2

D.4

10. (山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班教学测试数学(理)试题)在△ABC

中,∠C =90°,∠B =30°,AC=1,M 为 AB 中点,将△ACM 沿 CM 折起,使 A.B 间的距离为





2 ,则 M 到面 ABC 的距离为

( A.



1 2
3 2

B. C.1 D.

3 2

【答案】A 由 已 知 得 AB=2,AM=MB=MC=1,BC=

3,

由 △ AMC 为 等 边 三 角 形 ,取 CM 中 点 ,则 AD⊥ CM,AD 交 BC 于 E, 则 AD=

3 3 3 ,DE= ,CE= . 2 6 3
2 2 2

折 起 后 ,由 BC =AC +AB ,知 ∠ BAC=90°, 又 cos∠ ECA=
2 2

3 2 2 2 2 ,∴ AE =CA +CE -2CA?CEcos∠ ECA= , 3 3
2

于 是 AC =AE +CE .∴ ∠ AEC=90°. ∵ AD =AE +ED ,∴ AE⊥ 平 面 BCM,即 AE 是 三 棱 锥 A-BCM 的 高 ,AE=
2 2 2

6 . 3

设 点 M 到 面 ABC 的 距 离 为 h,∵ S △ B C M =

3 ,∴ 由 V A - B C M =V M - A B C , 4
( )

可得 A.

1 3 6 1 1 1 × = ? × 2 × 1× h,∴ h= .故 选 ? 3 4 3 3 2 2

二、填空题 11 . 山 东 省 桓 台 第 二 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已知 三 棱柱 (

ABC ? A1 B1C1 的 侧 棱 垂 直 底 面 , 所 有 顶 点 都 在 球 面 上 , AB ? AA1 ? 2

AC=1, ?BAC ? 60 ,则球的表面积为_________
o

【答案】8 ?

12.山东省博兴二中 2014 届高三第一次复习质量检测理科数学试卷) ( 在平面几何里,有“若 △ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角形面积为 S△ABC= 1 (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为 2 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为 V 四面体 ABCD=__________★_______”.
【答案】 (S1+S2+S3+S4)r 三、解答题 13. (山东省济南外国语学校 2014 届高三上学期质量检测数学(理)试题)(本题满分 12 分)

1 3

将边长为 4 的正方形 ABCD 和等腰直角三角形 ABE 按图拼为新的几何图形, ?ABE 中, AB ? AE ,连结 DE , CE ,若 DE ? 4 2 , M 为 BE 中点 (Ⅰ)求 CM 与 DE 所成角的大小; (Ⅱ)若 N 为 CE 中点,证明: MN // 平面 ADE ; (Ⅲ)证明:平面 CAM ? 平面 CBE

D

C

A

B

?M
E
第 19 题图

【答案】Ⅰ)解:∵ AE ? AD ? 4 , DE

?4 2,

∴ DA ? AE ,又 DA ? AB

AB ? AE ? A ∴ DA ? 面 BAE ?ABE 为等腰直角三角形且 AB ? AE
∴ ?BAE ? 90?

AE, AB, AD 两两垂直
分别以 AE, AB, AD 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图

z
D

C

A ?M
E
第 19 题解答图

B y

x
则 E (4,0,0), D(0,0, 4) ,

???? DE ? (4, 0, ?4)

M (2, 2,0) , C (0, 4, 4)
∴ CM ? (2, ?2, ?4)

???? ?

???? ???? ? ???? ???? ? CM ? DE (2, ?2, ?4) ? (4, 0, ?4) ? ???? ? ∴ cos ? CM , DE ?? ???? | CM | . | DE | 24.4 2

?

3 2

∴ CM 与 DE 所成角的大小为

? 6

Ⅱ) ∵ E (4,0,0), C (0, 4, 4) , N 为 CE 中点 ∴ N (2, 2, 2) ,而 M (2, 2,0) ∴ MN ? (2, 2, 2) ? (2, 2, 0) ? (0, 0, 2)

???? ?

???? AD ? (0, 0, 4)
∴ MN 与 AD 共线, MN // AD

???? ?

????

AD ? 面 ADE , MN ? 面 ADE ∴ MN // 平面 ADE Ⅲ) DA ? 面 BAE AM ? 面 BAE ∴ DA ? AM

BC // DA
∴ AM ? BC 又 ?ABE 为等腰直角三角形且 M 为斜边 BE 中点 ∴ AM ? BE

BE ? BC ? B ∴ AM ? 面 BCE 又 AM ? 面 CAM ∴平面 CAM ? 平面 CBE
14. (山东省桓台第二中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)如图,在三棱锥 P-ABC

中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面 PAB⊥平面 ABC,D.E 分别为 AB.AC 中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求证:AB⊥PE; (3)求二面角 A-PB-E 的大小. P

A D B E C

【答案】解:(1)D.E 分别为 AB.AC 中点,?DE∥BC .

DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC,∴DE∥平面 PBC (2)连结 PD, PA=PB, ? PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB,? DE ⊥ AB.又 PD ? DE=D

?AB⊥平面 PDE,PE? 平面 PDE,?AB⊥PE .
15. (山东省桓台第二中学 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题)四棱锥 P-ABCD,侧 面 PAD 是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60° (1)证明:∠PBC=90°; (2)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值

【答案】解:(1)取 AD 中点 O,连 OP.OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又 OP∩OB=O,∴AD⊥

平面 POB, ∵BC∥AD,∴BC⊥平面 POB,∵PB? 平面 POB, ∴BC⊥PB,即∠PBC=90°

(2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-2, 3,0),由 PO=BO= 3 ,PB=3, 得 ∠POB=120°,∴∠POZ=30°,∴P(0,3 3 → , ), 则 AB =(-1, 2 2 → 3 ,0), BC

3 3 3 → =(-2,0,0),PB = (0, ,- ),设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z), 2 2

?-x=0 ? 则?3 3 3 ? 2 y-2z=0 ?
3 → sinθ =|cos<AB,n>|= 4

,取 z= 3,则 n=(0,1, 3),

设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为 θ ,则

16. (山东省聊城市某重点高中 2014 届高三上学期期初分班教学测试数学(理)试题)如图,在

三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面 PAB⊥平面 ABC,D.E 分别为 AB.AC 中点. P

A D B E C

(Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:AB⊥PE; (Ⅲ)求二面角 A-PB-E 的大小.

【答案】(Ⅰ)D.E 分别为 AB.AC 中点,?DE∥BC .

DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC,∴DE∥平面 PBC (Ⅱ) 连 结 PD, PA=PB, ? PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB, ? DE ⊥ AB. 又

PD ? DE ? D ?AB⊥平面 PDE,PE? 平面 PDE,?AB⊥PE
(Ⅲ)平面 PAB ? 平面 ABC,平面 PAB ? 平面 ABC=AB,PD ? AB, ? PD ? 平面 ABC 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 P z

A D B x E y C

3 ?B(1,0,0),P(0,0, 3 ),E(0, ,0) , 2 ??? ? ??? ? 3 , ? 3 ). PB =(1,0, ? 3 ), PE =(0, 2
? x ? 3 z ? 0, ? 设平面 PBE 的法向量 n1 ? ( x,y,z) ,? ? 3 ? y ? 3z ? 0, ?2

令z? 3

2, 得 n1 ? (3, 3) .

1 , DE⊥平面 PAB,?平面 PAB 的法向量为 n2 ? (0,0) .
设二面角的 A-PB-E 大小为 ? 由图知, cos ? = cos n1,n2 =
n1 ? n2 n1 ? n2 = 1 , ? =60? , 2

二面角的 A-PB-E 的大小为 60? .
17. (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)

如 图 , 已 知 三 棱 锥 V - ABC 中 ? V A B

? VAC

? A BC

90o 且

BC = 1, A C = 2,V A = 2 .

(1)求证: BC ^ 平面VAB . (2)求V C 与平面 A B C 所成的角. (3)求二面角 B - VA - C 的平面角. 【答案】(1)先根据条件在面 VAB 内的交线与直线 BC 垂直,则证明线面垂直;(2)利用线 面角的定义找出线面角,然后在三角形内求出角的大小;(3)利用二面角的定义作出二面 角,然后在三角形利用勾股定理求出二面角的平面角 解:(1)?VA ? AB,VA ? AC ,?VA ? 平面 ABC

?VA ? BC ? BC ? 平面 VAB . 又 BC ? AB ??VCA 为 VC 与平面 ABC 所成的角 (2)?VA ? 平面 ABC Rt ?VCA 中, AC ? VA ??VCA ? 45? 即 VC 与平面 ABC 所成的角为 45? . ??BAC 为 B ? VA ? C 的平面角. (3)?VA ? AB , VA ? AC Rt ?ABC 中, BC ? 1 , AC ? 2 ??BAC ? 30? ? 二面角 B ? VAC 的平面角为 30?
18. (山东省聊城市堂邑中学 2014 届高三上学期 9 月假期自主学习反馈检测数学(理)试题)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M 为 PB 的中点.

(I)证明:MC//平面 PAD; (II)求直线 MC 与平面 PAC 所成角的余弦值. 【答案】解:(1)?M 为 PB 的中点,取 PA 中点 E,连 ME,DE

1 1 AB,又 CD//AB, 且 CD= AB, ?四边形 CDEM 为平行四边形, 2 2 ?CM//ED, CM ? 面 PAD, ? MC//平面 PAD
则 ME//AB, 且 ME=

(2) ? PA ? 平面 ABCD, ?PA ? BC 又 AC ? BC ? 4 ? AB , ?BC ? AC
2 2 2

?BC ? 平面 PAC, ?平面 PAC ? 平面 PBC, 取 PC 中点 N,则 MN//BC, 从而 MN ? 平面 PAC,所以 ?MCN 为直线 MC 与平面 PAC 所成角,记为 ? ,
NC=

3 5 15 , MC ? ,? cos? ? 2 2 5 15 5

故直线 MC 与平面 PAC 所成角的余弦值为


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