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2018年高中数学人教版选修2-3课件:1.3.1二项式定理(一)_图文


复 习: ( a + b )2 = ( a + b )3 = 思考:(a+b)4的展开式是什么? 复 习: ( a + b )2 = ( a + b )3 = 次数:各项的次数等于二项式的次数 项数:次数+1 对(a+b)2展开式的分析 (a+b)2= (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为:a2 , ab , b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b 每个都不取b的情况有1种,即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种,则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种,则b2前的系数为C22 (a+b)2 = a2 +2ab+b2 =C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3 (a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=? 问题: 1).(a+b)4展开后各项形式分别是什么? a4 a3b a2b2 ab3 b4 2).各项前的系数代表着什么? 各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数 3).你能分析说明各项前的系数吗? 3).你能分析说明各项前的系数吗? a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的 系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种,则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种,则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种,则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种,则b4前的系数为C44 则 (a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4 (a+b)n的展开式是: ( a + b ) n= 二项定理 一般地,对于n ?N*有 定理的证明 (a+b)n是n个(a+b)相乘, 每个(a+b)在相乘时有两种 选择,选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。 由分步计数原理可知展开式共有2n项 (包括同类项), 其中每一项都是akbn-k的形式,k=0,1,…,n; 对于每一项akbn-k,它是由k个(a+b)选了a,n-k个(a+b) 选了b得到的,它出现的次数相当于从n个(a+b)中取 k个a的组合数,将它们合并同类项,就得二项展开 式,这就是二项式定理。 二项式定理: n ∈ N * 注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数 (2) 展开式的项数为 n+1 项; (3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n (4)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n 二项式定理: n ∈ N * (5) 展开式中的第 r + 1 项, 即通项 Tr+1 =__________; (6) 二项式系数为 ______; 项的系数为 二项式系数与数字系数的积 在二项式定理中,令a=1,b=x,则有: 在上式中,令 x = 1,则有: 例1、展开 2、展开 3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。 4、(1)求(1+2x) 的展开式中第4项的系 数。 7 (2)求(x- )9的展开式中x3的系数。 x 3 9 ) 的展开式常数项; 例2(1)求 ( ? 3 x 王新敞 奎屯 新疆 x 3 9 ) 的展开式的中间两项. (2)求 ( ? 3 x 练习 1.求(2a+3b)6的展开式的第3项. 2.求(3b+2a)6的展开式的第3项. 3.写出 ( x ? 3 1 2 x 3 ) 的展开式的第r+1项. n 4.用二项式定理展开: 9 3 (1) (a ? b ) ; x 2 7 ) . (2 ) ( 2 ? x 5.化简: (1 ) (1 ? x ) ? (1 ? x ) 5 ? 1 2 4 1 2 5 ; ? 1 2 4 (2)(2x ? 3x 1 2 ) ? (2x ? 3x )

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