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江苏省盐城市东台市创新学校2017-2018学年高三上学期12月月考数学试卷(理科) Word版含解析


2017-2018 学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上)12 月月 考数学试卷(理科) 一、填空题: (共 14 小题,每题 5 分,满分 70 分) 1.已知集合 M={0,1,3},集合 N={x|x=3a,a∈M},则 M∩N= 2.若复数 为纯虚数,i 是虚数单位,则实数 a 的值是 . . 3. 已知复数 z1=1+3i, z2=3+i (i 为虚数单位) . 在复平面内, z1﹣z2 对应的点在第 限. 4. “? x∈R,x≤0”的否定是: . (用符号表示) . 象 5.已知{an}是等差数列,若 2a7﹣a5=3,则 a9 的值是 6.将甲、乙两个球随机放入编号为 1,2,3 的 3 个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在 1,2 号盒子中各有 1 个球的概率为 . 7.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线的渐近线方程是 y=±2x,且经过点( 双曲线的方程是 . ,2) ,则该 8.若 cos(α﹣ )= ,则 sin(2α﹣ )的值是 . 9.若 a ﹣ab+b =1,a,b 是正实数,则 a+b 的最大值是 2 2 . 10.如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若各条棱长均为 2,且 M 为 A1C1 的中点,则三棱锥 M﹣ AB1C 的体积是 . 11.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,但 x≤0 时,f(x)=x +x,则关于 x 的不等式 f (x)<﹣2 的解集是 . 2 12.已知光线通过点 M(﹣3,4) ,被直线 l:x﹣y+3=0 反射,反射光线通过点 N(2,6) ,则 反射光线所在直线的方程是 . 13.如图,已知△ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D 是 BC 的中点,若向量 且 的终点 M 在△ACD 的内部(不含边界) ,则 ? 的取值范围是 = +m? . , 14.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1,若关于 x 的不等式 f(f(x) )<0 的解集为空集,则实 数 a 的取值范围是 . 2 2 二、解答题本大题共 6 小题,15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 14 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,∠B= (1)若 a=2,b=2 ,求 c 的值; (2)若 tanA=2 ,求 tanC 的值. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 PB=PD. (1)求证:BD⊥PC; (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l,求证:BC∥l. 17.如图是一个半圆形湖面景点的示意图,已知 AB 为直径,且 AB=2km,O 为圆心,C 为圆周 上靠近 A 的一点,D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD∥AB,现在准备从 A 经过 C 到 D 建造一条 观光路线,其中 A 到 C 是圆弧 ,C 到 D 是线段 CD,设∠AOC=x rad,观光路线总长为 y km. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值. 18.已知函数 f(x)=e (其中 e 是自然数的底数) ,g(x)=x +ax+1,a∈R. (1)记函数 F(x)=f(x) ? g(x) ,且 a>0,求 F(x)的单调增区间; (2)若对任意 x1,x2∈,x1≠x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实 数 a 的取值范围. x 2 19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2 2 + =1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上的 任一点,从原点 O 向圆 R: (x﹣x0) +(y﹣y0) =8 作两条切线,分别交椭圆于点 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0; 2 2 (3)试问 OP +OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由. 20.已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 S4=10,S13=91. (1)求 Sn; (2)若数列{Mn}满足条件:M1=St1,当 n≥2 时,Mn=Stn﹣ * ,其中数列{tn}单调递增,且 t1=1,tn∈N . 2 ①试找出一组 t2,t3,使得 M2 =M1? M3; ②证明:对于数列{an},一定存在数列{tn},使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方. 三.附加题(选修 4-2:矩阵与变换) 21. 已知二阶矩阵 A 有特征值λ1=1 及对应的一个特征向量 个特征向量 ,试求矩阵 A 及其逆矩阵 A . ﹣1 和特征值λ2=2 及对应的一 (选修 4-4:坐标系与参数方程) 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 (α是参数) .若以 O 为极 点、x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极 坐标方程. 四.解答题 23.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=3,点 E,F 分别在棱 BB1,CC1 上,且 C1F= C1C,BE=λBB1,0<λ<1. (1)当λ= 时,求异面直线 AE 与 A1F 所成角的大小; (2)当直线 AA1 与平面 AEF 所成角的正弦值为 时,求λ的值. 24.已知数列{an}的各项均为正整数,对于任意 n∈N ,都有 2+ 且 a2=4. (1)求 a1,a3 的值; (2)猜想数列{an}的通项公式,并给出证明. * < <2+ 成立, 2014-2015 学年江苏省盐城市东台市创新学校高三(上) 12 月月考数学试卷(理科) 参考答案与

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