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江苏省姜堰中学高三数学综合练习7


高三数学(理)综合练习七

2015.10.25

一、 填空题(本大题共 14 小题,每题 5 分, 共 70 分.请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1.己知集合 A ? ?0,1,2,3? , B ? ?2,3,4,5?,则 A ? B 中元素的个数为 2.函数 f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域为 ▲ . ▲ .

3.已知角 ? 的终边经过点 (?1, 3) ,则 sin(? ? 4.将函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 短到原来的

?
2

) 的值=





? ?

??

3? ? 的图象向右平移 8 个单位,再将图象上每一点横坐标缩 4?
▲ .

1 倍,所得函数的解析式为 2

5.已知向量 a, b 满足 | a | ? 模为 ▲ .

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? , 向量 c ? 3a ? b . 则向量 c 的 2、| | b ? 2 ,a 与 b 的夹角为 135°

?x ? 3y ?1 ? 0 ? 6.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 tan ?AOB 的最 ? x ?1 ? 0 ?
大值等于 ▲ .

7.已知 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? 成立,则 ? ? ▲

?

?? ? ), 若存在 ? ? ? , ? ? , 使 f (? ? x) ? f (? ? x) 对一切实数 x 恒 6 ?2 ?
. ▲ .

2 ? ?? x , x ? 0 8.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则不等式 f ( f ( x)) ? 3 的解集为 ? ? x ? 2 x, x ? 0

9.设 P 为 ?ABC 中线 AD 的中点, D 为边 BC 中点,且 AD ? 2 ,若 PB ? PC ? ?3 ,则

AB ? AC ?





a2 ? b2 10.在 ?ABC 中,若 tan A tan C ? tan B tan C ? 2 tan A tan B ,则 = c2
2





11.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若数列 ?an ? 满足 an ? Sn ? An ? Bn ? C 且 A ? 0 , 则

1 ? B ? C 的最小值为 A





2 12.已知函数 f ( x ) = x + 3 x , x ? R .若方程 f ( x) ? a x ?1 ? 0 恰有 4 个互异的实数根,

则实数 a 的取值范围为





2 2 13.不等式 x ( x ? 1) ? a ( x ? 1) 对于满足条件的 x 恒成立, 则实数 a 的最小值为





AB ? 1, AC ? 2, AO ? x AB ? 14.设 O 是 ?ABC 外心,
的边长 ▲ .

??? ?

4 ? x ???? AC ( x ? R, 且x ? 0) , 则 ?ABC 8

二. 解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (1)已知 cosα=

1 13 ? ,cos(α–β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2

?求 tan2α 的值;
(2)已知 tanα=3tan(α+β),β=

?求 β。
? ,求 sin(2α+β)。 6

), (其中 ? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 2 3 (1)求 ? 的值,并求函数 f ( x) 的单调递减区间; 1 (2)在锐角 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? ? , c ? 3, 2 ?ABC 的面积为 6 3 ,求 ?ABC 的外接圆面积.
16.已知函数 f ( x) ? 2 cos
2

?x

? cos( ?x ?

?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? 4 ,右顶 a 2 b2 点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离 2 5 为 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定 直线 l 的斜率.
17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :
y B

·
O F P 第 17 题图 A

l x

18.某中学校园内原有一块四分之一圆面形状的草坪 AMN (图 1) ,其中 AM ? AN ? 8 m,
?MAN ? 90? .今年暑假整治校园环境时,为美观起见,学校设计将原有草坪扩大,具体实

施方案是:从圆弧上一点 P 作圆弧的切线 BD ,分别与 AM , AN 的延长线交于 B, D ,并以

AB, AD 为邻边构造矩形 ABCD ,再以 C 为圆心制作一块与 AMN 形状相同的草坪,构成矩
形绿地 ABCD (图 2) . (1)求矩形绿地 ABCD 占地面积的最小值; (2) 若由于地形条件限制, 使得矩形一边 AB 的长度不能超过 10m, 求此时矩形绿地 ABCD 占地面积的最小值.
D

C
P

N

N

A

M
(图 1)

A

M
(图 2)

B

19. 设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, 其前 n 项和为 Sn , 若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am, al 这三 项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值 ? an ?
范围.

20.已知函数 f ( x) ? x ? 2a ? a ln x ,常数 a ? R . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 有两个零点 x1 、 x 2 ,且 x1 ? x2 .

?指出 a 的取值范围,并说明理由;?求证: x1 ? x2 ? 8a3 .

高三数学(理)综合练习七参考答案
1.6 2. (0, 6] 9. 0 3. ?

1 2

4. y ? ?2cos 4 x 11. 2 3

5. 10

6.14 13.

7.

5? 6
14. 2

8. (??, 3]

10.2

12. ? 0,1? ? ? 9, ?? ?

1 2

15.略;分值:4+4+6 16.解: (1)由已知得 f ( x) ? 1 ? cos?x ?

1 3 cos?x ? sin ?x 2 2

? 3 3 ? ? 1 ? cos?x ? sin ?x ? 1 ? 3 sin(?x ? ) 或 1 ? 3 cos( ?x ? ) ???2 分 6 2 2 3 2? ? ? , ? ? 2 ???4 分 由函数 f ( x) 最小正周期为 ? ,得 ? ? ? ? ? ∴ f ( x) ? 1 ? 3 sin( 2 x ? ) ,当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 时, 3 2 3 2 ? 5? ], k ? Z ?6 分 f ( x) 是减函数,∴函数 f ( x) 的单调递减区间是 [k? ? , k? ? 12 12
(2)由(Ⅰ)及已知得 f ( A) ? 1 ? 3 sin( 2 A ? ∴ 2A ?

?

1 ? 3 ) ? ? ,即 sin(2 A ? ) ? , 3 2 3 2

?
3

? 2k? ?

?
3

, 或 2k? ?

2? ? ? k ? Z ,∴ A ? k? ? , 或 k? ? k ? Z 3 3 2

又 ?ABC 是锐角三角形,∴ A ? ∵ ?ABC 的面积为 6 3 ,∴

?

3

???8 分

1 3 3 bc sin A ? 6 3 , b ? 6 3, b ? 8 ,???10 分 2 4 1 2 2 2 由余弦定理, 得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 64 ? 9 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? 49 , a ? 7 ?12 分 2 7 a 7 49 3 , ?ABC 的外接圆面积为 ? ?14 分 ? , R? 由正弦定理,得 2 R ? 3 sin A 3 3 2 17.解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 , ?2 分

2 5 ,? a ? c ? 1 , ???4 分 5 5 a2 a2 ? 4 ,所以 c ? 又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即 ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 , c 4 x2 y 2 ?1; ?b2 ? 3 ,? 椭圆 C 的方程为 ? ?????6 分 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ? 1) , ??8 分
? 右焦点 F 到直线 l 的距离为

2c ? 2a

?

8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 5 8 3 3 ?x ? 0 ? ? ) ,? 12 联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ? 或? (舍) ,即 P ( , ? 5 5 ?1 ?y ? 3 ?y ? 3 3 ? ? ? ?4 3 ? 5 ?


? 直线 l 的斜率 k ?

0 ? (?

18.解: (1)设 AB ? a, AC ? b ,求矩形绿地 ABCD 占地面积为 S , 则 S ? ab , 8 a2 ? b2 ? ab 且 a ? 8, b ? 8 . 因为 a 2 ? b 2 ≥ 2ab ,所以 ab ≥ 8 2ab ,解得 ab ≥128 , 当且仅当 a ? b ? 8 2 ? ?8, ?? ? 时, ab 取得最小值为 128, 所以矩形绿地 ABCD 占地面积的最小值为 128m 2 . (2)由 8 a2 ? b2 ? ab ,知 b ? --------------------------------6 分
8a 2 a 2 ? 64

3 3 ) 5 ?3 3. 8 2 2? 5

????14 分

-------------------------------3 分

8a a2 ? 64

,所以 S ? ab ?

?8 ? a≤10 ? .------8 分

设 t ? a 2 ? 64 ,则 a 2 ? t 2 ? 64 ,
S? 8 ? t 2 ? 64 ? t ? 8(t ? 64 ) , 0 ? t ≤ 6. t

--------------------------------10 分

由于 S ? ? 8(1 ? 所以 S ? 8(t ?

6 ? t ? 8 ?? t ? 8 ? 64 )? ,当 t ? ? 0,6? 时, S ? ? 0 , 2 t t2

64 ) 在 ? 0,6? 上是减函数,-------------------12 分 t 64 400 40 ,此时 a ? 10, b ? . )? 6 3 3
400 2 m . 3

所以当 t ? 6 时, Smin ? 8(6 ?

所以矩形绿地 ABCD 占地面积的最小值为 19.解: (1)? 数列

---------------------------------16 分

?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a32 ? 64 ,?a3 ? 8 ,

n?3 n 2 又? S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2 ? 2 4 分

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,

?2m ? k ?1 ? 1 ?m ? k ? 1 ? ? ? l ? k ?1 , ?? . ???? 6 分 ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ?2 m ? 5 ?2 k?2 l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. ???8 分 (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 ,

则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等 差数列,所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. ???10 分 (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ?? anb1 ? 3 ? 2 即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2
1 2 3 n 1 2 3 2 3 n?1 n?1

? 4n ? 6 ,

? 4n ? 6 , (*)
4 n n?1

? 当 n ? 2 时, 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2

? 8n ? 4 , (***)

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ?1(n ? 2) ,
2 又当 n ? 1 时, 2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 ,即 b1 ? 1 ,适合 bn ? 2n ?1(n ? 2) ,?bn ? 2n ? 1 .?

14 分

?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n ?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn ?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? an an ?1 a2 a1
? n ? 3 时,


bn bn ?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an ?1 ? an ?
???16 分

b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 16 2

20.解: (I)① a ? 0 时, f ( x) ? x ? 2a ? a ln x ( x ? 0 )

f '( x) ? 1 ?

a ? 0 ? f ( x) 在 (0, ??) 递增;?????????????2 分 x

② a ? 0 时, f ( x) ? ?

?2a ? x ? a ln x,0 ? x ? 2a ? x ? 2a ? a ln x, x ? 2a

a ? ? 1 ? , 0 ? x ? 2a ? ? x ? f ( x) ? ? ? f ( x) 在 (0, 2a) 递减,在 (2a, ??) 递增。 a ?1 ? , x ? 2a ? ? x
综上, a ? 0 时 f ( x) 在 (0, ??) 递增;

a ? 0 时 f ( x) 在 (0, 2a) 递减,在 (2a, ??) 递增。????????????4 分
(II) (1)由(I)知 a ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, 2a) 递减,在 (2a, ??) 递增, 由题,首先 f (2a) ? ?a ln 2a ? 0 ? a ? 下证 a ? ①

1 ?????????????8 分 2

1 时 f ( x) 在 (0, 2a) 和 (2a, ??) 各有一个零点: 2

1 ? a ? e 时, f (a) ? a ? a ln a ? a(1 ? ln a) ? 0 ,? f (2a) ? 0 ? x1 ? (a, 2a) 2

f (e3 ) ? e3 ? 2a ? a ln e3 ? e3 ? 5a ? a(e2 ? 5) ? 0 ? f (2a) ? 0 ? x2 ? (2a, e3 )
② a ? e 时, f (e) ? 2a ? e ? a ln e ? 2(a ? e) ? 0 ,? f (2a) ? 0 ? x1 ?[e, 2a)

f (e2a ) ?| e2a ? 2a | ?a ln e2a ?| e2a ? 2a | ?2a2
令 p(a) ? e2a ? 2a(a ? e) , p '(a) ? 2e2a ? 2 ? 0 ,所以 p(a) ? p(e) ? e2e ? 2e ? 0

? f (e2a ) ? e2a ? 2a ? 2a2
令 q(a) ? e2a ? 2a ? 2a2 (a ? e) , q '(a) ? 2e2a ? 2 ? 4a (a ? e) ,

? (q '(a)) ' ? 4e2a ? 4 ? 0 ?q '(a) ? q '(e) ? 2e2e ? 2 ? 4e ? 2(e2e ?1 ? 2e) ? 0
所以 q(a) ? q(e) ? e2e ? 2e ? 2e2 ? e2e ? 2e(1 ? e) ? e ? 2e(1 ? e) ? 0 即 f (e ) ? 0
5 2a

1 ? f (2a) ? 0 ? x2 ? (2a, e2a ) ,得证。综上, a ? . ??????????????10 分 2
(2)要证 x1 ? x2 ? 8a3 ,因为 x1 ? (0, 2a) ,只要证 x2 ? 4a 2 ,即证 f (4a ) ? 0
2

事实上, f (4a2 ) ?| 4a2 ? 2a | ?a ln(4a2 ) ,

1 ? f (4a2 ) ? 4a2 ? 2a ? a ln(4a2 ) ? 4a2 ? 2a ? a ln 4 ? 2a ln a 2 1 2 令 g (a) ? 4a ? 2a ? a ln 4 ? 2a ln a(a ? ) 2 1 g '(a) ? 8a ? 2 ? ln 4 ? 2(1 ? ln a) ? 8a ? 2ln a ? 4 ? ln 4 ( a ? ) 2 1 2 g ''(a) ? 8 ? ? 0 ? 所以 g '( a ) 在 ( , ??) 递增 2 a 1 1 1 ? g '(a ) ? g '( ) = 4 ? 2 ln ? 4 ? ln 4 ? 0 ? g (a) 在 ( , ??) 递增 2 2 2 1 1 1 ? g (a ) ? g ( ) ? 1 ? 1 ? ln 4 ? ln ? 0 ,所以 f (4a2 ) ? 0 .? x1 ? x2 ? 8a3 .???16 分 2 2 2
因为 a ?


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