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2019学年高中数学北师大版选修2-3学案:2.2 超几何分布 Word版含解析


2019 学年北师大版数学精品资料 § 2 超几何分布

1.理解超几何分布及其推导过程.(重点) 2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 超几何分布

阅读教材 P38~P40 部分,完成下列问题. 1.超几何分布的概念 一般地, 设有 N 件产品, 其中有 M(M≤N)件次品. 从中任取 n(n≤N)件产品, 用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数,那么 P(X=k)=____________(其中 k 为非负整数). 如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从参数为 N,M,n 的超 几何分布. 2.超几何分布的表格形式 X=k P(X=k) 【答案】 0 ________ 1 ________ 2 … k …

________ … ________ …

n-k n-0 1 n-1 2 n-2 k n-k Ck C0 MCN-M MCN-M CMCN-M CMCN-M CMCN-M 1. Cn 2. Cn n n Cn CN CN N N N

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)在产品检验中,超几何分布描述的是放回抽样.( (2)在超几何分布中,随机变量 X 取值的最大值是 M.(

) )

(3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名,其中女演员的人数 X 服从超几 何分布.( )

(4)在超几何分布中,只要知道 N,M 和 n,就可以根据公式,求出 X 取不同 值 m 时的概率 P(X=m).( 【答案】 (1)× (2)× ) (3)√ (4)√

2.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为(
6 C3 80C10 A. C10 100 4 6 C80 C20 C. C10 100

)
6 4 C80 C10 B. C10 100 4 C6 80C20 D. C10 100

【解析】 设 X 表示任取 10 个球中红球的个数,则 X 服从参数为 N=100, M=80,n=10 的超几何分布,取到的 10 个球中恰有 6 个红球,即 X=6,P(X
4 C6 80C20 =6)= C10 . 100

【答案】

D [质疑· 手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 超几何分布的概念

盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个白球,这些球 除颜色外完全相同. (1)若用随机变量 X 表示任选 4 个球中红球的个数,则 X 服从超几何分布, 其参数为( ) B.N=9,M=5,n=5 D.N=14,M=5,n=5

A.N=9,M=4,n=4 C.N=13,M=4,n=4

(2)若用随机变量 Y 表示任选 3 个球中红球的个数,则 Y 的可能取值为 ________. (3)若用随机变量 Z 表示任选 5 个球中白球的个数,则 P(Z=2)=________. 【精彩点拨】 型概率的计算公式. 【自主解答】 (1)根据超几何分布的定义知,N=9,M=4,n=4. 着眼点:(1)超几何分布的概念;(2)参数的意义;(3)古典概

(2)由于只选取了 3 个球,因此随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2,3.
3 C2 5 2C7 (3)由古典概型概率计算公式知,P(Z=2)= C5 =18. 9

【答案】

(1)A

(2)0,1,2,3

5 (3)18

对于超几何分布要注意以下两点: ?1?超几何分布是不放回抽样;
k k CM · Cn N-M ?2?公式 P?X=k?= Cn 中各参数的意义. N


[再练一题] 1.若将例 1 第(1)小题中改为“随机变量 X 表示不是红球的个数”,则参数 N=______,M=______,n=______. 【解析】 根据超几何分布的定义知,N=9,M=5,n=4.

【答案】

9

5

4 求超几何分布的分布列

袋中有 8 个球,其中 5 个黑球,3 个红球,从袋中任取 3 个球,求 取出的红球数 X 的分布列,并求至少有一个红球的概率. 【精彩点拨】 先写出 X 所有可能的取值,求出每一个 X 所对应的概率,

然后写出分布列,求出概率. 【自主解答】 X=0,1,2,3,

X=0 表示取出的 3 个球全是黑球,
3 C5 10 5 P(X=0)=C3=56=28, 8 1 2 C3 · C5 30 15 同理 P(X=1)= C3 =56=28, 8 2 1 C3 · C5 15 P(X=2)= C3 =56, 8 3 C3 1 P(X=3)=C3=56. 8

∴X 的分布列为 X P 0 5 28 1 15 28 2 15 56 3 1 56

5 23 至少有一个红球的概率为 P(X≥1)=1-28=28.

超几何分布的求解步骤 1.辨模型:结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组 成,如“男生、女生”,“正品、次品”,“优劣”等,或可转化为明显的两部 分.具有该特征的概率模型为超几何分布模型.

n-k Ck MCN-M 2.算概率:可以直接借助公式 P(X=k)= Cn 求解,也可以利用排列组 N

合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数 M,N,n,k 的含义. 3.列分布表:把求得的概率值通过表格表示出来.

[再练一题] 2.从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中,不放回地任取 3 件,求取得 次品数为 ξ 的分布列. 【解】 设随机变量 ξ 表示取出次品的件数,则 ξ 服从超几何分布,其中 N =15,M=2,n=3.ξ 的可能的取值为 0,1,2,相应的概率依次为
0 3 2 1 C2 C13 22 C1 C2 1 2C13 12 2C13 P(ξ=0)= C3 =35,P(ξ=1)= C3 =35,P(ξ=2)= C3 =35. 15 15 15

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 22 35 1 12 35 [探究共研型] 超几何分布的应用 探究 1 袋中有 4 个红球,3 个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得 2 1 35

2 分,取到一个黑球得 1 分,从袋中任取 4 个球.试求得分 X 的分布列. 【提示】 从袋中随机摸 4 个球的情况为 1 红 3 黑,2 红 2 黑,3 红 1 黑,4 红四种情况,分别得分为 5 分,6 分,7 分,8 分,故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
1 3 2 2 C4 C3 4 C4 C3 18 P(X=5)= C4 =35,P(X=6)= C4 =35, 7 7 3 1 4 0 C4 C3 12 C4 C3 1 P(X=7)= C4 =35,P(X=8)= C4 =35. 7 7

故所求的分布列为 X 5 6 7 8

P 探究 2

4 35

18 35

12 35

1 35

在上述问题中,求得分大于 6 分的概率.

【提示】 根据随机变量 X 的分布列, 可以得到得分大于 6 分的概率为 P(X>6) 12 1 13 =P(X=7)+P(X=8)=35+35=35. 交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的 概念. 记交通指数为 T, 其范围为[0,10], 分别有五个级别: T∈[0,2)畅通; T∈[2,4) 基本畅通;T∈[4,6)轻度拥堵;T∈[6,8)中度拥堵;T∈[8,10]严重拥堵.晚高峰时 段,从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段,依据其交通指数数据绘制 的直方图如图 221 所示:

图 221 (1)这 20 个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个? (2)从这 20 个路段中随机抽出 3 个路段,用 X 表示抽取的中度拥堵的路段的 个数,求 X 的分布列. 【精彩点拨】 (1)求这 20 个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数,即求交通 指数分别为[4,6)和[6,8)时的频数.根据频率分布直方图的性质求解.(2)先根据超 几何分布的概率公式求解 X 取各个值时的概率,再列出分布列. 【自主解答】 (1)由直方图得:轻度拥堵的路段个数是(0.1+0.2)×1×20= 6;中度拥堵的路段个数是(0.3+0.2)×1×20=10. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 3 2 C10 C10 2 C1 10C10 15 则 P(X=0)= C3 =19;P(X=1)= C3 =38; 20 20

2 1 0 C10 C10 15 C3 2 10C10 P(X=2)= C3 =38;P(X=3)= C3 =19. 20 20

所以 X 的分布列为 X P 0 2 19 1 15 38 2 15 38 3 2 19

1.超几何分布具有广泛的应用,它可以用来描述产品抽样中的次品数的分 布规律, 也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题.在其分 布列的表达式中,各个字母的含义在不同的背景下会有所不同. 2.在超几何分布中,随机变量 X 取每个值的概率是用古典概型计算的,明 确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键.

[再练一题] 3.某人有 5 把钥匙,其中只有一把能打开办公室的门,一次他醉酒后拿钥 匙去开门.由于看不清是哪把钥匙,他只好逐一去试.若不能开门,则把钥匙扔 到一边,记打开门时试开门的次数为 ξ,试求 ξ 的分布列,并求他至多试开 3 次 的概率. 【解】 ξ 的所有可能取值为 1,2,3,4,5,

1 1 C1 1 C1 4C1 1 且 P(ξ=1)=C1=5,P(ξ=2)=C1C1=5, 5 5 4 1 1 1 1 1 1 C4 C3C1 1 C1 4C3C2C1 1 P(ξ=3)=C1C1C1=5,P(ξ=4)=C1C1C1C1=5, 5 4 3 5 4 3 2 1 1 1 1 1 C4 C3C2C1C1 1 P(ξ=5)=C1C1C1C1C1 =5. 5 4 3 2 1

因此 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 5

P

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

1 1 1 3 由分布列知 P(ξ≤3)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=5+5+5=5. [构建· 体系]

1.盒中有 4 个白球,5 个红球,从中任取 3 个球,则取出 1 个白球和 2 个 红球的概率是( 37 A.42 10 C.21 【解析】 【答案】 ) 17 B.42 17 D.21
2 C1 4C5 10 根据题意知,该问题为古典概型,∴P= C3 =21. 9

C

2.某 10 人组成兴趣小组,其中有 5 名团员,从这 10 人中任选 4 人参加某 种活动, 用 X 表示 4 人中的团员人数,则 P(X=3)=( 4 A.21 6 C.21 【解析】 【答案】
3 1 C5 C5 5 P(X=3)= C4 =21. 10

) 【导学号:62690031】

9 B.21 5 D.21

D

3.从 3 台甲型彩电和 2 台乙型彩电中任取 2 台,若设 X 表示所取的 2 台彩 电中甲型彩电的台数,则 P(X=1)=________. 【解析】 X=1 表示的结果是抽取的 2 台彩电有甲型和乙型彩电各一台,

1 1 C3 C2 3 故所求概率 P(X=1)= C2 =5. 5

【答案】

3 5

4.在某次国际会议中,需要从 4 个日本人,5 个英国人和 6 个美国人中, 任选 4 人负责新闻发布会,则恰好含有 3 个英国人的概率为________.(用式子 表示) 【解析】 设选取的 4 人中英国人有 X 个,由题意知 X 服从参数为 N=15, M=5,n=4 的超几何分布,其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,且
4-k Ck 5C10 P(X=k)= 4 (k=0,1,2,3,4). C15 1 C3 5C10 ∴P(X=3)= C4 . 15

【答案】

1 C3 5C10 C4 15

5.一个袋中装有 3 个白球和 2 个黑球,它们大小相同,采用无放回地方式 从袋中任取 3 个球,取到黑球的数目用 X 表示,求随机变量 X 的分布列. 【解】 X 可能取的值为 0,1,2.

由题意知,X 服从超几何分布,
0 3 C2 · C3 1 所以 P(X=0)= C3 =10; 5 1 2 C2 · C3 3 P(X=1)= C3 =5; 5 2 1 C2 · C3 3 P(X=2)= C3 =10. 5

所以 X 的分布列为: X=k P(X=k) 0 1 10 1 3 5 2 3 10

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张,则至少有 3 张是 A 的概率为(
2 C3 4C48 A. C5 52 3 2 C48 C4 B. C5 52 1 4 C48 C4 C.1- C5 52 2 4 1 C3 4C48+C4C48 D. C5 52 2 【解析】 从 52 张扑克牌中任意抽出 5 张, 至少有 3 张 A 的结果数是 C3 4C48 2 4 1 C3 4C48+C4C48 . C5 52

)

1 +C4 4C48,故所求概率为

【答案】

D

2.一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个,红球 12 个,白球 4 个,从中任

取 2 个,其中白球的个数记为 X,则 P(X≤1)等于( A.
1 2 C1 22C4+C22 C2 26

)

B.

1 1 C12 C4+C2 4 2 C26

1 1 C10 C4+C2 22 C. C2 26

1 2 C1 10C4+C4 D. C2 26

【解析】

由已知得,X 的可能取值为 0,1,2.

2 1 C22 C1 C2 22C4 4 P(X=0)=C2 ;P(X=1)= C2 ;P(X=2)=C2 , 26 26 26 1 2 C1 22C4+C22 ∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= . C2 26

【答案】

A

3.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那 3 么10等于( )

A.恰有 1 只是坏的的概率 B.恰有两只是好的的概率 C.4 只全是好的的概率 D.至多有两只是坏的的概率 【解析】 【答案】
2 C2 3 3C7 恰好两只是好的概率为 P= C4 =10. 10

B

4. 某 12 人的兴趣小组中, 有 5 名“特困生”, 现从中任意选 6 人参加竞赛,
3 C3 5C7 用 ξ 表示这 6 人中“特困生”的人数,则下列概率中等于 C6 的是( 12

)

A.P(ξ=2) C.P(ξ≤2) 【解析】

B.P(ξ=3) D.P(ξ≤3)
-ξ 6 人中“特困生”的人数为 ξ,则其选法数为 Cξ C6 5· 7 ,当 ξ=3

3 3 C5 C7 3 时,选法数为 C3 C ,故 P ( ξ = 3) = 6 . 5 7 C12

【答案】

B

5.一个盒子里装有相同大小的红球、白球共 30 个,其中白球 4 个.从中任

1 2 C1 26C4+C4 取两个,则概率为 的事件是( C2 30

) 【导学号:62690032】 B.至少有一个白球 D.至多有一个白球

A.没有白球 C.至少有一个红球

1 2 1 1 C1 26C4+C4 C26C4 C2 4 【解析】 = C2 +C2 表示任取的两个球中只有一个白球和两个 C2 30 30 30

都是白球的概率,即至少有一个白球的概率. 【答案】 二、填空题 6.一批产品共 50 件,其中 5 件次品,其余均为合格品,从这批产品中任意 抽取两件,其中出现次品的概率为________. 【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为 X, B

2-k Ck 5C45 则 P(X=k)= C2 (k=0,1,2). 50 1 C1 C2 47 5C45 5 ∴P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)= C2 +C2 =245. 50 50

【答案】

47 245

7.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期.从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则 至少取到 1 瓶已过了保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示) 【解析】 从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,设至少取到 1 瓶已过了保质期饮料

1 C1 C2 28 27C3 3 为事件 A,则 P(A)= C2 +C2 =145. 30 30

【答案】

28 145

8.(2016· 铜川高二检测)袋中有 3 个黑球,4 个红球,除颜色外,其他均相 同,从袋中任取 3 个球,则至少有一个红球的概率为________. 【解析】 令 X 表示取出的黑球个数,则 X=0,1,2,3,

3 C3 1 1 34 P(X=0)=C3=35,故至少有一个红球的概率为 P(X≥1)=1-35=35. 7

【答案】 三、解答题

34 35

9.现有 10 张奖券,其中 8 张 1 元,2 张 5 元,从中同时任取 3 张,求所得 金额的分布列. 【解】 设所得金额为 X,X 的可能取值为 3,7,11.

3 1 C8 7 C2 7 8C2 P(X=3)=C3 =15,P(X=7)= C3 =15, 10 10

C1 C2 1 8· 2 P(X=11)= C3 =15. 10 故 X 的分布列为 X P 3 7 15 7 7 15 11 1 15

10.老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背诵,规定至少要背出其中 2 篇 才能及格.某同学只能背诵其中的 6 篇,试求: (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列; (2)他能及格的概率. 【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为 X,

3-k 3 2 Ck 6 C4 C0 1 C1 3 6C4 6C4 则 P(X=k)= C3 (k=0,1,2,3).P(X=0)= C3 =30,P(X=1)= C3 =10, 10 10 10 2 1 3 0 C6 C4 1 C6 C4 1 P(X=2)= C3 =2,P(X=3)= C3 =6. 10 10

所以 X 的分布列为 X P 0 1 30 1 3 10 2 1 2 3 1 6

1 1 2 (2)他能及格的概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=2+6=3. [能力提升] 1.一个袋中有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个同样大小

的白球,编号为 7,8,9,10.现从中任取 4 个球,有如下几种变量: ①X 表示取出的最大号码; ②X 表示取出的最小号码; ③取出一个黑球记 2 分,取出一个白球记 1 分,X 表示取出的 4 个球的总得 分; ④X 表示取出的黑球个数. 这四种变量中服从超几何分布的是( A.①② C.①②④ 【解析】 【答案】 )

B.③④ D.①②③④ 由超几何分布的概念知③④符合,故选 B. B

2.现有语文、数学课本共 7 本(其中语文课本不少于 2 本),从中任取 2 本, 5 至多有 1 本语文课本的概率是7, 则语文课本的本数为( A.2 C.4 【解析】 B.3 D.5 设语文课本有 m 本,任取 2 本书中的语文课本数为 X,则 X 服 )【导学号: 62690033】

从参数为 N=7,M=m,n=2 的超几何分布,其中 X 的所有可能取值为 0,1,2,
2 -k Ck mC7-m 且 P(X=k)= C2 (k=0,1,2). 7

由题意,得
2 1 1 C0 mC7-m CmC7-m P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= C2 + C2 7 7

1 ?7-m??6-m? m?7-m? 5 =2× + 21 =7. 21 ∴m2-m-12=0, 解得 m=4 或 m=-3(舍去). 即 7 本书中语文课本有 4 本.

【答案】

C

3.口袋内装有 10 个大小相同的球,其中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数字 1,若从口袋中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的 概率是________(用数字作答). 【解析】 设摸出标有数字 1 的球的个数为 X,则所求的概率为:

2 3 3 2 C5 C5 C5 C5 50 13 1-P(X=2)-P(X=3)=1- C5 - C5 =1-63=63. 10 10

【答案】

13 63

4. 盒内有大小相同的 9 个球, 其中 2 个红色球, 3 个白色球, 4 个黑色球. 规 定取出 1 个红色球得 1 分, 取出 1 个白色球得 0 分, 取出 1 个黑色球得-1 分. 现 从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列. 【解】
3 C7 7 (1)P=1-C3=12. 9

(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,“取出 2 个红色球,1 个
2 2 1 C1 5 2C3 C2C4 黑色球”为事件 C,则 P(B+C)=P(B)+P(C)= C3 + C3 =42. 9 9

(3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布,
3-k Ck 3 C6 且 P(ξ=k)= C3 ,k=0,1,2,3. 9

故 P(ξ=0)=

3 C6 5 3= , C9 21

1 2 C3 C6 15 P(ξ=1)= C3 =28, 9 2 1 C3 C6 3 P(ξ=2)= C3 =14, 9 3 C3 1 P(ξ=3)=C3=84, 9

ξ 的分布列为 ξ P 0 5 21 1 15 28 2 3 14 3 1 84


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