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教育最新K122018-2019学年高中数学人教A版选修2-3教学案:2.4正态分布-含解析


小学+初中+高中

正态分布

预习课本 P70~74,思考并完成以下问题 1.什么是正态曲线和正态分布?

2.正态曲线有什么特点?

3.正态曲线 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义是什么?

[新知初探] 1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线: 函数 φμ,σ(x)= ?x-μ?2 1 e- ,x∈(-∞,+∞),其中实数 μ,σ(σ>0)为参数,我们称 2σ2 2πσ

φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的特点: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; ③曲线在 x=μ 处达到峰值 1 ; σ 2π

④曲线与 x 轴之间的面积为 1; ⑤当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; ⑥当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图所示.

小学+初中+高中

小学+初中+高中

[点睛] 正态曲线 φμ,σ(x)中,参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以 用样本均值 E(X)去估计; σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数, 可以用样本标准差 D?X?去估计. 2.正态分布 (1)如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b)=?bφμ,σ(x)dx,则称随机

?a

变量 X 服从正态分布. (2)正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2).如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~N(μ,σ2). 3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682_6; (2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954_4; (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997_4. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 φμ,σ(x)中参数 μ,σ 的意义分别是样本的均值与方差.( ) )

(2)正态曲线是单峰的,其与 x 轴围成的面积是随参数 μ,σ 的变化而变化的.( (3)正态曲线可以关于 y 轴对称.( 答案:(1)× (2)× (3)√ ) D.36 )

1? 2.若 ξ~N? ?1,4?,η=6ξ,则 E(η)等于( A.1 答案:C 3 B. 2 C.6

3.设随机变量 ξ~N(μ,σ2), 且 P(ξ≤c)=P(ξ>c), 则 c 等于( A.0 答案:D B.σ C.-μ D.μ

)

正态曲线及其性质

小学+初中+高中

小学+初中+高中 [典例] 某次我市高三教学质量检测中, 甲、 乙、 丙三科考试成绩的直方图如图所示(由 于人数众多, 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一 项是( )

A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 [解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等, 由正态密度曲线的性质,可

知 σ 越大, 正态曲线越扁平;σ 越小, 正态曲线越尖陡, 故三科总体的标准差从小到大 依次为甲、乙、丙. 故选 A. [答案] A

利用正态曲线的性质可以求参数 μ,σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质结合图象求 μ. 1 (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 ,由此性质结合图象可求 σ. σ 2π (3)由 σ 的大小区分曲线的胖瘦. [活学活用] 若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为 概率密度函数的解析式. 解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数, 所以正态曲线关于 y 轴对称,即 μ=0,而正态分布的概率密度函数的最大值是 所以 1 1 = , 2π·σ 4 2π 1 , 4 2π 1 ,求该正态分布的 4 2π

解得 σ=4. 故函数的解析式为 φμ,σ(x)= 1 x2 · e- ,x∈(-∞,+∞). 32 4 2π 利用正态分布的对称性求概率

[典例] 设 X~N(1,22),试求: (1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5). 小学+初中+高中

小学+初中+高中 [解] 因为 X~N(1,22),所以 μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)因为 P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1), 1 所以 P(3<X≤5)= [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 2 1 = [P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 2 1 = [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2

正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. (2)熟记 P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ), P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解转化: ①P(X<a)=1-P(X≥a); ②P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); 1-P?μ-b<X<μ+b? ③若 b<μ,则 P(X<b)= . 2 [活学活用] 1.已知随机变量 X~N(2,σ2),若 P(X<a)=0.32,则 P(a≤X<4-a)=________. 解析:由正态分布图象的对称性可得: P(a≤X<4-a)=1-2P(X<a)=0.36. 答案:0.36 2.设随机变量 X~N(2,9),若 P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求 c 的值; (2)求 P(-4<X≤8). 解:(1)由 X~N(2,9)可知,密度函数关于直线 x=2 对称(如图所示).

小学+初中+高中

小学+初中+高中

∵P(X>c+1)=P(X<c-1),故有 2-(c-1)=(c+1)-2,∴c=2. (2)P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4. 正态分布的实际应用 [典例] 在某次数学考试中,考生的成绩 X 服从一个正态分布,即 X~N(90,100). (1)试求考试成绩 X 位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有 2 000 名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人? [解] ∵X~N(90,100),∴μ=90,σ= 100=10. (1)由于 X 在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是 0.954 4,而该正态分布中,μ-2σ =90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110, 于是考试成绩 X 位于区间(70,110)内的概率就是 0.954 4. (2)由 μ=90,σ=10,得 μ-σ=80,μ+σ=100. 由于变量 X 在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是 0.682 6, 所以考试成绩 X 位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6,一共有 2 000 名考生, 所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 000×0.682 6≈1 365(人).

正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ), (μ-3σ, μ+3σ) 这三个区间进行转化, 然后利用上述区间的概率求出相应概率, 在此过程中依然会用到化归 思想及数形结合思想. [活学活用] 1.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:分) 服从 X~N(50,102),则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________. 解析:∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10. ∴P(30<X<70)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4. 小学+初中+高中

小学+初中+高中 答案:0.954 4 2.某厂生产的圆柱形零件的外直径 X 服从正态分布 N(4,0.052),质量检查人员从该 厂生产的 1 000 个零件中随机抽查一个,测得它的外直径为 3.7 cm,该厂生产的这批零件 是否合格? 解:由于 X 服从正态分布 N(4,0.052), 由正态分布的性质,可知 正态分布 N(4,0.052)在(4-3×0.05,4+3×0.05)之外的取值的概率只有 0.003, 3.7?(3.85,4,15), 这说明在一次试验中, 出现了几乎不可能发生的小概率事件, 据此可以认为该批零件是 不合格的.

层级一

学业水平达标 )

1.关于正态分布 N(μ,σ2),下列说法正确的是(

A.随机变量落在区间长度为 3σ 的区间之外是一个小概率事件 B.随机变量落在区间长度为 6σ 的区间之外是一个小概率事件 C.随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件 D.随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件 解析:选 D ∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4.∴P(X>μ+3σ 或 X<μ-3σ)=1-P(μ- 3σ<X<μ+3σ)=1-0.997 4=0.002 6. ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.
2 2.设两个正态分布 N(μ1,σ2 1)(σ1>0)和 N(μ2,σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有

(

)

A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2

解析:选 A μ 反映的是正态分布的平均水平,x=μ 是正态密度曲线的对称轴,由图

小学+初中+高中

小学+初中+高中 可知 μ1<μ2; σ 反映的正态分布的离散程度,σ 越大, 越分散, 曲线越“矮胖”,σ 越小, 越集中,曲线越“瘦高”, 由图可知 σ1<σ2. 1 ? 3.设随机变量 X~N(1,22),则 D? ?2X?=( A.4 C. 1 2 B.2 D.1 )

1 ? 1 解析:选 D 因为 X~N(1,22),所以 D(X)=4,所以 D? ?2X?=4D(X)=1. 4.若随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 概率分别为 p1,p2,则 p1,p2 的关系为( A.p1>p2 C.p1=p2 1 x2 · e- ,X 在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的 2 2π ) B.p1<p2 D.不确定

解析:选 C 由正态曲线的对称性及题意知:μ=0,σ=1,所以曲线关于直线 x=0 对 称,所以 p1=p2. 5.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N(110,52),据此估计,大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内( A.(90,110] C.(100,120] ) B.(95,125] D.(105,115]

解析:选 C 由于 X~N(110,52),所以 μ=110,σ=5,因此考试成绩在区间(105,115], (100,120],(95,125]上的概率分别应是 0.682 6,0.954 4,0.997 4,由于一共有 60 人参加考 试,∴成绩位于上述三个区间的人数分别是:60×0.682 6≈41 人,60×0.954 4≈57 人, 60×0.997 4≈60 人. 6.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),则 P(X<2)=________. 1 解析:由题意知曲线关于 x=2 对称,因此 P(X<2)= . 2 答案: 1 2

7.设随机变量 X~N(3,1),若 P(X>4)=p,则 P(2<X<4)=________. 1 解析:由 X~N(3,1),得 μ=3,所以 P(3<X<4)= -p,即 P(2<X<4)=2P(3<X<4)=1 2 -2p. 答案:1-2p 小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 8.设随机变量 X~N(μ,σ2),且 P(X<1)= ,P(X>2)=p,则 P(0<X<1)=_______. 2 解析:∵随机变量 X~N(μ,σ2),∴随机变量服从正态分布,x=μ 是图象的对称轴, 1 ∵P(X<1)= ,∴μ=1. 2 1 ∵P(X>2)=p,∴P(X<0)=p,则 P(0<X<1)= -p. 2 1 答案: -p 2 9.设 X~N(3,42),试求: (1)P(-1<X≤7);(2)P(7<X≤11);(3)P(X≥11). 解:∵X~N(3,42),∴μ=3,σ=4. (1)P(-1<X≤7)=P(3-4<X≤3+4)=P(μ-σ<X≤μ+σ) =0.682 6. (2)∵P(7<X≤11)=P(-5<X≤-1), 1 ∴P(7<X≤11)= [P(-5<X≤11)-P(-1<X≤7)] 2 1 = [P(3-8<X≤3+8)-P(3-4<X≤3+4)] 2 1 = [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 2 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 (3)∵P(X≥11)=P(X≤-5), 1 1 ∴P(X≥11)= [1-P(-5<X≤11)]= [1-P(3-8<X≤3+8)] 2 2 1 1 = [1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]= (1-0.954 4)=0.022 8. 2 2 10.生产工艺过程中产品的尺寸偏差 X(mm)~N(0,22),如果产品的尺寸与现实的尺寸 偏差的绝对值不超过 4 mm 的为合格品,求生产 5 件产品的合格率不小于 80%的概率.(精 确到 0.001) 解:由题意 X~N(0,22), 求得 P(|X|≤4)=P(-4≤X≤4)=0.954 4. 设 Y 表示 5 件产品中合格品个数,

小学+初中+高中

小学+初中+高中 则 Y~B(5,0.954 4), 所以 P(Y≥5×0.8)=P(Y≥4) =C4 (0.954 4)4×0.045 6+C5 (0.954 4)5 5· 5· ≈0.189 2+0.791 9≈0.981. 故生产的 5 件产品的合格率不小于 80%的概率约为 0.981. 层级二 应试能力达标

1.某厂生产的零件外径 ξ~N(10,0.04),今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件, 测得其外径分别为 9.9 cm,9.3 cm,则可认为( A.上午生产情况正常,下午生产情况异常 B.上午生产情况异常,下午生产情况正常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常 解析:选 A 因测量值 ξ 为随机变量,又 ξ~N(10,0.04),所以 μ=10,σ=0.2,记 I =(μ-3σ,μ+3σ)=(9.4,10.6),9.9∈I,9.3?I,故选 A. 2.已知某批材料的个体强度 X 服从正态分布 N(200,182),现从中任取一件,则取得的 这件材料的强度高于 182 但不高于 218 的概率为( A.0.997 3 C.0.841 3 ) )

B.0.682 6 D.0.815 9

解析:选 B 由题意知 μ=200,σ=18,μ-σ=182,μ+σ=218,由 P(μ-σ<X≤μ+σ) =0.682 6 知,答案应选 B. 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2),且 P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ -σ<X≤μ+σ)=0.682 6,若 μ=4,σ=1,则 P(5<X<6)等于( A.0.135 8 C.0.271 6 B.0.135 9 D.0.271 8 )

0.954 4-0.682 6 1 解析:选 B 由题意可知 P(5<X<6)= [P(2<X≤6)-P(3<X≤5)]= 2 2 =0.135 9.
2 4.设 X~N(μ1,σ2 1),Y~N(μ2,σ2),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中

正确的是(

)

小学+初中+高中

小学+初中+高中

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数 t,P(X≥t)≥P(Y≥t) D.对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t) 1 1 解析:选 D 由图象知,μ1<μ2,σ1<σ2,P(Y≥μ2)= ,P(Y≥μ1)> ,故 P(Y≥μ2)< 2 2 P(Y≥μ1),故 A 错; 因为 σ1<σ2,所以 P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故 B 错; 对任意正数 t,P(X≥t)<P(Y≥t),故 C 错; 对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的,故选 D. 5.在某项测量中,测量结果 ξ 服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0).若 ξ 在(0,1)内取值的概 率为 0.4,则 ξ 在(2,+∞)上取值的概率为________. 1 1 解析:由正态分布的特征易得 P(ξ>2)= ×[1-2P(0<ξ<1)]= ×(1-0.8)=0.1. 2 2 答案:0.1 6.设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量 X(单位为:元),经统计 得 X~N(520,14 400),从该城市私家车中随机选取容量为 10 000 的样本,其中每月汽油费 用在(400,640)之间的私家车估计有________辆. 解析: 由已知得: μ=520, σ=120, ∴P(400<X<640)=P(520-120<X<520+120)=0. 682 6,∴每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有:0.682 6×10 000=6 826. 答案:6 826 7.某个工厂的工人月收入服从正态分布 N(2 500,202),该工厂共有 1 200 名工人,试估 计月收入在 2 440 元以下和 2 560 元以上的工人大约有多少人? 解:设该工厂工人的月收入为 ξ,则 ξ~N(2 500,202), 所以 μ=2 500,σ=20, 所以月收入在区间(2 500-3×20,2 500+3×20)内取值的概率是 0.997 4,该区间即(2 440,2 560).

小学+初中+高中

小学+初中+高中 因此月收入在 2 440 元以下和 2 560 元以上的工人大约有 1 200×(1-0.997 4)=1 200×0.002 6≈3(人).

8.已知某种零件的尺寸 X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数, 在[80,+∞)上是减函数,且 f(80)= (1)求概率密度函数; (2)估计尺寸在 72 ~88 mm 间的零件大约占总数的百分之几? 解:(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在[80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关 于直线 x=80 对称,且在 x=80 处取得最大值,因此得 μ=80, 因为 1 1 = ,所以 σ=8. 2π·σ 8 2π ?x-80? 1 e- . 128 8 2π
2

1 . 8 2π

故概率密度函数解析式是 φμ,σ(x)=

(2)由 μ=80,σ=8,得 μ-σ=80-8=72, μ+σ=80+8=88, ∴零件尺寸 X 位于区间(72,88)内的概率是 0.682 6,因此尺寸在 72~88 mm 间的零件 大约占总数的 68.26%.

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.袋中有 2 个黑球 6 个红球, 从中任取两个, 可以作为随机变量的是( A.取到球的个数 C.至少取到一个红球 B.取到红球的个数 D.至少取得一个红球的概率 )

解析:选 B 随机变量是随着实验结果变化而变化的变量 ,只有 B 满足. 2.4 个高尔夫球中有 3 个合格、1 个不合格,每次任取一个,不放回地取两次.若每 一次取到合格的高尔夫球,则第二次取到合格高尔夫球的概率为( A. C. 1 2 3 4 B. 2 3 4 5 )

D.

解析:选 B 法一:记事件 A={第一次取到的是合格高尔夫球},事件 B={第二次取到 小学+初中+高中

小学+初中+高中 的是合格高尔夫球}. 3×2 1 3×3 3 由题意可得 P(A∩B)= = ,P(A)= = , 4×3 2 4×3 4 1 P?A∩B? 2 2 所以 P(B|A)= = = . 3 3 P?A? 4 法二:记事件 A={第一次取到的是合格高尔夫球}, 事件 B={第二次取到的是合格高尔夫球}. 由题意可得事件 B 发生所包含的基本事件数 n(A∩B)=3×2=6, 事件 A 发生所包含的 基本事件数 n(A)=3×3=9, n?A∩B? 6 2 所以 P(B|A)= = = . 9 3 n?A? 3.若随机变量 η~B(n,0.6),且 E(η)=3,则 P(η=1)的值是( A.2×0.44 C.2×0.45 B.3×0.44 D.3×0.64 )

解析:选 B ∵η~B(n,0.6),∴E(η)=0.6n=3,∴n=5,
1 ∴P(η=1)=C5 · 0.6· (1-0.6)4=3×0.44,故选 B.

4. 如果随机变量 ξ 表示抛掷一个各面分别有 1,2,3,4,5,6 的均匀的正方体向上面的数字, 那么随机变量 ξ 的均值为( A.2.5 C.3.5 解析:选 C ) B.3 D.4 1 1 1 1 1 P(ξ=k)= (k=1,2,3,…,6),∴E(ξ)=1× +2× +…+6× = (1+2 6 6 6 6 6

1 ?6×?1+6?? +…+6)= ×? ?=3.5. 6 ? 2 ? 1? 5.若随机变量 X 服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是? ?10, 2?,则该随机 变量的方差等于( A.10 2 C.π ) B.100 D. 2 π

1? 1 1 2 解析:选 C 由正态分布密度曲线上的最高点? ?10, 2?知 2π·σ=2,即 σ= π,∴D(X)

小学+初中+高中

小学+初中+高中 2 =σ2= . π 6.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),则 E(2ξ+1)与 D(2ξ+1)的值分别为( A.13,4 C.7,8 B.13,8 D.7,16 )

解析:选 D 由已知 E(ξ)=3,D(ξ)=4,得 E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ) =16. 7.某人一周晚上值 2 次班,在已知他周日一定值班的条件下,他在周六晚上值班的概 率为________. C1 1 6 解析:设事件 A 为“周日值班”,事件 B 为“周六值班”,则 P(A)= 2,P(AB)= 2, C7 C7 P?AB? 1 故 P(B|A)= = . P?A? 6 答案: 1 6

3 8.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 10 的事件为( ) B.4 只全是好的 D.至多有 2 只是坏的
4-k Ck 7 C3 (k= C4 10

A.恰有 1 只是坏的 C.恰有 2 只是好的 解析: 选 C

X= k 表示取出的螺丝钉恰有 k 只为好的,则 P(X= k) =

1 3 1 1 3 1,2,3,4).∴P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= ,故 表示恰好有 2 个 30 10 2 6 10 是好的. 9. 设 X~N(μ, σ2), 当 x 在(1,3]内取值的概率与在(5,7]内取值的概率相等时, μ=( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 D 因为 x 在(1,3]内取值的概率与在(5,7]内取值的概率相等,所以得正态分布 的图象关于直线 x=4 对称,结合正态分布的图象,故 μ=4.

10.某地区高二女生的体重 X(单位:kg)服从正态分布 N(50,25),若该地区共有高二

小学+初中+高中

小学+初中+高中 女生 2 000 人,则体重在 50 kg~65 kg 间的女生共有( A.683 人 C.997 人 B.954 人 D.994 人 )

解析:选 C 由题意知 μ=50,σ=5, ∴P(50-3×5<X<50+3×5)=0.997 4.∴P(50 1 <X<65)= ×0.997 4=0.498 7,∴体重在 50 kg~65 kg 的女生大约有:2 000×0.498 2 5≈997(人). 1 11.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F 为 6 个开关,其闭合的概率为 ,且是相 2 互独立的,则灯亮的概率是( )

A. C.

1 64 1 8

55 B. 64 D. 1 16

解析:选 B 设 A 与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T,E 与 F 至少有一个不闭合的 1 1 3 事件为 R, 则 P(T)=P(R)=1- × = , 所以灯亮的概率为 P=1-P(T)· P(R)· P( C )· P( D ) 2 2 4 55 = . 64 12.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为 ( ) A. C. 1 48 1 12 B. 1 24 1 6

D.

解析:选 D

1 1 由已知,得 3a+2b+0· c=2,得 3a+2b=2,所以 ab= ×3a×2b≤ 6 6

?3a+2b?2 1 ? ?= . ? 2 ? 6
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下: ξ 小学+初中+高中 7 8 9 10

小学+初中+高中 P x 0.1 0.3 y

已知 ξ 的期望 E(ξ)=8.9,则 y 的值为________. 解析:由分布列可得 x=0.6-y 且 7x+0.8+2.7+10y=8.9,解得 y=0.4. 答案:0.4 1 14.某处有供水龙头 5 个,调查表示每个水龙头被打开的可能性均为 , 3 个水龙头 10 同时被打开的概率为________. 解析:对 5 个水龙头的处理可视为做 5 次独立试验,每次试验有 2 种可能结果:打开或 不打开,相应的概率为 0.1 或 1-0.1=0.9,根据题意得 3 个水龙头同时被打开的概率
3 2 为 C3 5×0.1 ×0.9 =0.008 1.

答案:0.008 1 15.一台机器生产某种产品,如果生产一件甲等品可获得 50 元,生产一件乙等品可获 得 30 元,生产一件次品,要赔 20 元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率 分别为 0.6,0.3 和 0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期获利________元. 解析: 设生产一件该产品可获利钱数为 X, 则随机变量 X 的取值可以是-20,30,50. 依 题意,X 的分布列为 X P -20 0.1 30 0.3 50 0.6

故 E(X)=-20×0.1+0.3×30+50×0.6=37(元). 答案:37 16.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑 球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是________________(写出所有正确结论的序号). 2 5 ①P(B)= ;②P(B|A1)= ; 5 11 ③事件 B 与事件 A1 相互独立; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. 解析:从甲罐中取出一球放入乙罐,则 A1,A2,A3 中任意两个事件不可能同时发生,

小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 1 3 5 即 A1,A2,A3 两两互斥,故④正确,易知 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,则 P(B|A1)= , 2 5 10 11 4 4 P(B|A2)= , P(B|A3)= , 故②对③错; ∴P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)· P(B|A1) 11 11 1 5 1 4 3 4 9 +P(A2)P(B|A2)+P(A3)· P(B|A3)= × + × + × = ,故①⑤错误.综上知,正确 2 11 5 11 10 11 22 结论的序号为②④. 答案:②④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 X(单位:小时),已知 X~N(1 000,302),要使灯泡的平均寿命为 1 000 小时的概率为 99.74%,问灯泡的最低寿命应控制 在多少小时以上? 解:因为 X~N(1 000,302), 所以 μ=1 000,σ=30. 所以 P(1 000-3×30<X≤1 000+3×30) =P(910<X≤1 090)=99.74%. 所以灯泡的最低寿命应控制在 910 小时以上. 18. (本小题满分 12 分)某迷宫有三个通道, 进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首 次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出 迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门,再次到达智能门时, 系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令 ξ 表示走出迷宫所需的时间. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 ξ 的数学期望. 解:(1)由题意知必须从 1 号通道走出迷宫,ξ 的所有可能取值为:1,3,4,6. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(ξ=1)= ,P(ξ=3)= × = ,P(ξ=4)= × = ,P(ξ=6)=A2 2× × ×1= , 3 3 2 6 3 2 6 3 2 3 所以 ξ 的分布列为: ξ P 1 1 3 3 1 6 4 1 6 6 1 3

1 1 1 1 7 (2)E(ξ)=1× +3× +4× +6× = (小时). 3 6 6 3 2 小学+初中+高中

小学+初中+高中 19.(本小题满分 12 分)某校从学生会宣传部 6 名成员(其中男生 4 人,女生 2 人)中,任 选 3 人参加某省举办的演讲比赛活动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ξ,求 ξ 的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)设“男生甲被选中”为事件 A,“女生乙被选中”为事件 B,求 P(B)和 P(B|A). 解:(1)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,依题意得 P(ξ=0)=
2 C1 4C2 1 =2)= 3 = . C6 5 1 C3 C2 3 4 1 4C2 3= ,P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ C6 5 C6 5

∴ξ 的分布列为 ξ P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

(2)设“甲、乙都不被选中”为事件 C, C3 4 1 4 则 P(C)= 3= = . C6 20 5 1 4 ∴所求概率为 P( C )=1-P(C)=1- = . 5 5 C2 C1 1 4 2 5 10 4 (3)P(B)= 3= = ;P(B|A)= 2= = . C6 20 2 C5 10 5 20.(本小题满分 12 分)为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程, 它们分别是 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类工程.现有来该市 的 3 名工人相互独立地从 60 个项目中任选一个项目参与建设. (1)求这 3 人选择的项目所属类别互异的概率; (2)将此 3 人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解:记第 i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件 Ai, Bi,Ci(i=1,2,3). 30 1 20 1 由题意知,P(Ai)= = ,P(Bi)= = , 60 2 60 3 10 1 P(Ci)= = . 60 6 (1)3 人选择的项目所属类别互异的概率 1 1 1 1 P=A3 3P(A1B2C3)=6× × × = . 2 3 6 6 小学+初中+高中

小学+初中+高中 1 1 2 (2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率 P= + = . 2 6 3 2 3, ? , 由 X~B? ? 3?

?2?k?1-2?3-k(k=0,1,2,3), ∴P(X=k)=Ck 3 3 ? ? ? 3?
∴X 的分布列为 X P 2 其数学期望为 E(X)=3× =2. 3 21.(本小题满分 12 分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A,B,C 进行围棋比赛,甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5, 假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ). 解:(1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D , E , F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. 红队至少两人获胜的事件有:DE F ,D E F, D EF,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为 P=P(DE F )+P(D E F)+P( D EF)+P(DEF)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 +0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 DEF, D E F ,DEF 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此 P(ξ=0)=P(DEF)=0.4×0.5×0.5=0.1, P(ξ= 1)= P(DEF)+ P( D E F ) + P(DEF)= 0. 4×0. 5×0. 5+ 0. 4×0. 5×0. 5+ 0.6×0.5×0.5=0.35. 小学+初中+高中 0 1 27 1 2 9 2 4 9 3 8 27

小学+初中+高中 P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4. 所以 ξ 的分布列为: ξ P 0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15

因此 E(ξ)=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 22.(本小题满分 12 分)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间 互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0. 1

从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 解:设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: Y P 1 0.1 2 0.4 3 0. 3 4 0.1 5 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”, 则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A) = P(Y = 1)P(Y = 3) + P(Y = 3)P(Y = 1) + P(Y = 2)P(Y = 2) = 0 . 1×0 . 3 + 0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,

小学+初中+高中

小学+初中+高中 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间 超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2) =0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01. 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

小学+初中+高中


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