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江西省萍乡实验学校2017—2018学年第二学期第一次期中模拟考试高一数学试题


江西省萍乡实验学校 2017—2018 学年第二学期第一次期中模拟考试高一数学试题

萍实高中 2017—2018 学年第二学期第一次期中模拟考试

高一数学试题

班级

学号

姓名

成绩

注意事项:

本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,试卷分为Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷为

选择题,第Ⅱ卷为非选择题。

命题人:

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本题共 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.(原创题)数列-3,7,-11,15…的通项公式可能是( )

A.an=4n-7

B.an=(-1)n(4n+1)

C.an=(-1)n(4n-1) D.an=(-1)n+1·(4n-1)

2.(原创题)若 a<b<0,则( )

A.1a<1b

B.0<ab<1

C.ab>b2

D.ba>ab

3.(原创题)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( )

A.4

B.5

C.6

D.7

4(. 错题改编)已知不等式 x2+ax+4<0 的解集为空集,则 a 的取值范围是( )

A.-4≤a≤4

B.-4<a<4

C.a≤-4 或 a≥4

D.a<-4 或 a>4

5.(新题)已知△ABC 中,a= 2,b= 3,B=60°,那么 A 等于( )

A.135°

B.120°

C.60°

D.45°

6.(原创题)如图 1,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观

察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

图1

A.北偏东 10°

B.北偏西 10°

C.南偏东 80°

D.南偏西 80°

7.(错题改编) 两等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn、Tn,已知TSnn=n7+n3,

则ab55=(

)

A.7

2

27

21

B.3

C. 8

D. 4

8.(新题)关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式(ax

+b)(x-3)>0 的解集是( )

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-1,3)

C.(1,3)

D.(-∞,1)∪(3,+∞)

9.(新题)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,

sin C=2 3sin B,则 A=( )

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

10(. 新题)已知等比数列{an}的公比 q<0,若 a2=1,an+2=an+1+2an,则数列{an} 的前 2010 项的和等于( )

A.2010

B.-1

C.1

D.0

11.(新题)在△ABC 中,若 sin A=csoins BB++scionsCC,则△ABC 为(

)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

12.(原创题)设{an}是公比 q≠-1 的等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )

A.X+Z=2Y

B.Y(Y-X)=Z(Z-X)

C.Y2=XZ

D.Y(Y-X)=X(Z-X)

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

13.(新题)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为



π 14.(原创题)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A=3,a= 3,

b=1,则 c 等于______________.

15.(错题改编)在△ABC 中,已知 cos A=35,cos B=153,b=3,则 c=________.

16(. 新题)1.已知 a ? 0 , b ? 0 , 3a ? b ? 2ab,则 a ? b 的最小值为__________.

三、解答题(共 6 题,共 70 分,第 17 题 10 分,第 18--22 题各 12 分。解答应 写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (10 分)(错题改编)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,
且 a=2,cos B=35.
(1)若 b=4,求 sin A 的值;
(2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

18. (12 分)(新题)已知关于 x 的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0 的解集 是空集,求实数 a 的取值范围.
19.(12 分)(原创)已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a2, a3,a4+1 成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=n?an2+2?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

高一数学 第 5 页(共 6 页)

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江西省萍乡实验学校 2017—2018 学年第二学期第一次期中模拟考试高一数学试题

20. (12 分)(错题改编)某公司计划 2016 年在甲、乙两个电视台做总时间不超 过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分 别为 500 元/分钟和 200 元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟 广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、 乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

知cos

A-2cos cos B

C=2c-b a.

(1)求ssiinn CA的值;

(2)若 cos B=14,b=2,求△ABC 的面积 S.

22、(12 分)(新题) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+), 等差数列{bn}中,bn>0(n∈N+),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn,

21.(12 分)(新题)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已
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高一数学试题答案

命题人:

一.选择题(每题 5 分)

题号

1

2

3

4

5

6[来源:学

7

8

9 10 11 12

答案 C C C A D D D A A D B D

5、【解析】

由正弦定理sina A=sinb B得sin2A=

3, 3

2

可得 sin A= 22,又∵a= 2< 3=b,∴A<B,A=45°.【答案】 D

7 解析 ab55=TS99=1623=241. 答案 D

8 【解析】 (ax+b)(x-3)>0 等价于

??ax+b>0,
?

或???ax+b<0,

??x-3>0

??x-3<0,

∴???x>-1, 或???x<-1,

??x>3

??x<3.

∴x∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

【答案】 A

9 【解析】 由 sin C=2 3sin B 及正弦定理,

得 c=2 3b,

∴a2-b2= 3bc=6b2,即 a2=7b2. 由余弦定理,cos A=b2+2cb2c-a2=b2+2b1·22b2-3b7b2

= 4

6b32b2=

23,

又 0°<A<180°,∴A=30°.

【答案】 A

高一数学 第 5 页(共 6 页)

10 解析 由 an+2=an+1+2an,得 q2-q-2=0, 得 q=2 或 q=-1.又 q<0,∴q=-1.又 a2=1, ∴a1=-1,S2010=0. 答案 D

11、答案 B

解析

原条件化为

cos

B+cos

C=sin

B+sin sin A

C,

由正余弦定理得a2+c2-b2+a2+b2-c2=b+c,

2ac

2ab

a

整理得 a2=b2+c2,故△ABC 为直角三角形. 答案 D

12、解析 由题意知 Sn=X,S2n=Y,S3n=Z. 又∵{an}是等比数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 为等比数列, 即 X,Y-X,Z-Y 为等比数列,

∴(Y-X)2=X·(Z-Y),

即 Y2-2XY+X2=ZX-XY,

∴Y2-XY=ZX-X2,

即 Y(Y-X)=X(Z-X).

二、填空题(每题 5 分)

13 、 2

14、2

15、

14 5

16、 2 ? 3

14、解析:据题意有sin630°=si1nB得 sinB=12,由于 a>b?A>B,故 B=6π,所以 C=π-π6- π3=π2,c=2b=2. 15 解析 在△ABC 中,∵cos A=35>0,∴sin A=45. ∵cos B=153>0,∴sin B=1132.

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江西省萍乡实验学校 2017—2018 学年第二学期第一次期中模拟考试高一数学试题

∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B=45×153+35×1123=5665.
由正弦定理知sinb B=sinc C, ∴c=bssiinnBC=3×125665=154.
13

16【解析】由 3a ? b

?

2ab 得

3 2b

?

1 2a

? 1,故 ?a

?

b

?

? ??

3 2b

?

1 2a

? ??

?

2?

3a 2b

?

b 2a

?

2

?

3.

三、解答题(17 题 10 分,18----22 题每题 12 分) 17、解 (1)∵cos B=35>0,且 0<B<π, ∴sin B= 1-cos2B=45. 由正弦定理得sina A=sinb B, 即 sin A=asibn B=2×4 45=25. (2)∵S△ABC=12acsin B=4, ∴12×2×c×45=4,∴c=5. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B =22+52-2×2×5×35=17, ∴b= 17. 18、【解】 当 a2-4=0,即 a=±2.
若 a=2 时,原不等式化为 4x-1≥0,∴x≥14. 此时,原不等式的解集不是空集. 若 a=-2 时,原不等式化为-1≥0,无解.

此时,原不等式的解集为空集. 当 a2-4≠0 时,由题意,得 ??a2-4<0, ???Δ=?a+2?2-4?a2-4?×?-1?<0, ∴-2<a<65. 综上所述,a 的取值范围为-2≤a<65. 19、【解】 (1)设数列{an}的公差为 d, 由 a1=2 且 a2,a3,a4+1 成等比数列,得 (2+2d)2=(2+d)(3+3d), 解得 d=-1 或 d=2. 当 d=-1 时,a3=0,这与 a2,a3,a4+1 成等比数列矛盾,舍去.所以 d=2, 所以 an=a1+(n-1)d=2n, 即数列{an}的通项公式为 an=2n,(n∈N*). (2)bn=n?an2+2?=n?2n2+2?=n?n1+1?=1n-n+1 1,
所以 Sn=b1+b2+…+bn=??1-12??+??12-13??+…+??1n-n+1 1??=1-n+1 1=n+n 1.
20、【解】 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收
??x+y≤300, 益为 z 元,由题意得?500x+200y≤90 000,
??x≥0,y≥0,
目标函数 z=3 000x+2 000y,
??x+y≤300, 二元一次不等式组等价于?5x+2y≤900,
??x≥0,y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分所示.

5/7

作直线 l:3 000x+2 000y=0,

即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

联立???x+y=300, ??5x+2y=900,

解得???x=100, ??y=200,

∴点 M 的坐标为(100,200), ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). ∴该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,

最大的收益是 70 万元.

21、【解】 (1)由正弦定理,设sina A=sinb B=sinc C=k,

则2c-b a=2ksinkCsi-n Bksin

A=2sin

C-sin sin B

A,

所以cos

A-2cos cos B

C=2sin

C-sin sin B

A,

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B,

化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C).又 A+B+C=π,

所以 sin C=2sin A,因此ssiinn CA=2.

(2)由ssiinn CA=2 得 c=2a.

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由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B=14,b=2, 得 4=a2+4a2-4a2×14,解得 a=1,从而 c=2.

又因为 cos B=14,且 0<B<π.所以 sin B= 415,

因此 S=12acsin B=12×1×2×

415=

15 4.

22、解 (1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+), ∴an=2Sn-1+1(n∈N+,n>1), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1), 即 an+1-an=2an,∴an+1=3an(n∈N+,n>1). 而 a2=2a1+1=3,∴a2=3a1. ∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴an=3n-1(n∈N+).∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列,设等差数列{bn}的公差为 d, 则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2. ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0(n∈N+),∴舍去 d=-10,取 d=2, ∴b1=3,∴bn=2n+1(n∈N+). (2)由(1)知 Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,① ∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,② ∴①-②得 -2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1) -(2n+1)3n =3+2×31--33n-(2n+1)3n =3n-(2n+1)3n=-2n·3n. ∴Tn=n·3n

高一数学 第 6 页(共 6 页)

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