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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3精要课件 离散型随机变量的数学期望(一)_图文


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2.3.1(一)

2.3.1
【学习要求】

离散型随机变量的数学期望(一)

1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离
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散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质. 3.掌握二点分布、二项分布及超几何分布的均值. 4.会利用离散型随机变量的均值,反映离散型随机变量取值 水平,解决一些相关的实际问题. 【学法指导】 离散型随机变量的均值是离散型随机变量取值的平均水平, 可以利用离散型随机变量的分布列求得均值. 利用随机变量 的均值可以帮助我们对实际问题做出决策.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.1(一)

1.离散型随机变量的均值或数学期望
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若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 x2 … xi … xn p1 p2 … pi … pn 则称 E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的

平均水平 .

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.1(一)

2.三种常见的分布的数学期望 (1)如果随机变量 X 服从二点分布,那么 E(X)= p (p 为成 功概率).
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(2)如果随机变量 X 服从二项分布,即 X~B(n,p), 则 E(X)= np . (3)若离散型随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何
nM 分布,则 E(X)= N .

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.1(一)

探究点一
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离散型随机变量的均值公式及性质

问题 1

某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg

的 3 种糖果按 3∶2∶1 的比例混合销售,如何对混合糖果定 价才合理?

答 由于平均在每 1 kg 的混合糖果中,3 种糖果的质量分别是 1 1 1 kg、 kg 和 kg,所以混合糖果的合理价格应该是 2 3 6 1 1 1 18×2+24×3+36×6=23(元/kg). 这里的 23 元/kg 就是混合糖果价格的均值.

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问题 2 离散型随机变量的均值有什么作用?

2.3.1(一)


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若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值 或数学期望,它反映了离散型随机变量 X 取值的平均水平.

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问题 3

2.3.1(一)

若一组数据 xi(i=1,2,…,n)的平均数为 x ,那么另一

组数据 axi+b(a、b 是常数且 i=1,2,…,n)的平均数为 a x + b.那么离散型随机变量 Y=aX+b 是否也具有类似性质?如何
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证明? 答 若 Y=aX+b,则 E(Y)=aE(X)+b. 证明如下:

X、Y 的分布列为 X Y x1 ax1+b x2 ax2+b … … xi axi+b … … xn axn+b

… … P p1 p2 pi pn 于是 E(Y)=(ax1 +b)p1 +(ax2 +b)p2 +…+(axi +b)pi+…+(axn +
b)pn=a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+ pn)=aE(X)+b.

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例1 已知随机变量 X 的分布列如下: X P
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2.3.1(一)

-2 1 4

-1 1 3

0 1 5

1 m

2 1 20

(1)求 m 的值; (2)求 E(X); (3)若 Y=2X-3,求 E(Y).

解 (1)由随机变量分布列的性质,得 1 1 1 1 1 + + +m+ =1,解得 m= . 4 3 5 20 6 1 1 1 1 1 17 (2)E(X)=(-2)× +(-1)× +0× +1× +2× =- . 4 3 5 6 20 30

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(3)方法一 由公式 E(aX+b)=aE(X)+b,

2.3.1(一)

得 E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3 ? 17? 62 =2×?-30?-3=- . 15 ? ?
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方法二

由于 Y=2X-3,所以 Y 的分布列如下: Y

-7 -5 -3 -1 1 1 1 1 1 1 P 4 3 5 6 20 1 1 1 1 1 所以 E(Y)=(-7)× +(-5)× +(-3)× +(-1)× +1× 4 3 5 6 20 62 =-15.

小结 对于 aX+b 型的随机变量,可利用均值的性质求解,即 E(aX+b)=aE(X)+b;也可以先列出 aX+b 的分布列,再用均 值公式求解,比较两种方式显然前者较方便.

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跟踪训练 1 已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 1 1 1 P 2 3 6 且 Y=aX+3,若 E(Y)=-2,求 a 的值.

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1 1 1 5 解 E(X)=1×2+2×3+3×6=3, 5 ∴E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=3a+3=-2,
∴a=-3.

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探究点二 例2 超几何分布的均值

2.3.1(一)

在 10 件产品中, 3 件一等品、 件二等品、 件三等品. 有 4 3 从

这 10 件产品中任取 3 件,求取出的 3 件产品中一等品件数 X
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的分布列和数学期望. 解 方法一 从 10 件产品中任取 3 件共有 C3 种结果,其中恰 10

有 k 件一等品的结果数为 Ck C3-k,其中 k=0,1,2,3. 3 7
k C3C3-k 7 ∴P(X=k)= C3 ,k=0,1,2,3. 10 所以随机变量 X 的分布列是

X 0 1 2 3 7 21 7 1 P 24 40 40 120 7 21 7 1 9 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 24 40 40 120 10

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2.3.1(一)

方法二
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取出的一等品件数 X 服从参数 N=10,M=3,n=3 nM 3×3 9 的超几何分布,则 E(X)= N = = . 10 10 小结 随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,

只要找清随机变量及相应的概率即可计算.

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2.3.1(一)

跟踪训练 2 在本例中,求取出的 3 件产品中二等品件数 ξ 的均值.

C3 1 6 解 方法一 P(ξ=0)=C3 =6, 10
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C1C2 1 4 6 P(ξ=1)= C3 =2, 10 C2C1 3 4 6 P(ξ=2)= C3 =10, 10
C3 1 4 P(ξ=3)=C3 =30, 10 1 3 1 6 ∴E(ξ)=1×2+2×10+3×30=5. 方法二 ξ 服从参数 N=10,M=4,n=3 的超几何分布, nM 3×4 6 则 E(ξ)= = = . N 10 5

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探究点三 二项分布的均值
n

2.3.1(一)

问题 1 若随机变量 X~B(n,p),怎样证明 E(X)=np?


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∵E(X)=∑ kCk pk(1-p)n-k,kCk =nCk-1 , n n n-1
k=0
n k=1

∴E(X)=∑ npCk-1 pk-1(1-p)n-1-(k-1) n-1 =∑ npCk -1pk(1-p)n-1-k=np. n
k=0 n-1

问题 2

若随机变量 X 服从二点分布,怎样计算 E(X)?

答 二点分布是二项分布中 n=1 的情况,E(X)=p.

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例3 某运动员投篮命中率为 p=0.6.

2.3.1(一)

(1)求投篮 1 次时命中次数 ξ 的期望; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 η 的期望.


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(1)投篮 1 次,命中次数 ξ 的分布列如下表: ξ P 0 0.4 1 0.6

则 E(ξ)=p=0.6.
(2)由题意,重复 5 次投篮,命中的次数 η 服从二项分布, 即 η~B(5,0.6).则 E(η)=np=5×0.6=3.

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2.3.1(一)

小结
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(1)如果随机变量 X 服从二点分布, 则其期望值 E(X)=p (p

为成功概率). (2)如果随机变量 X 服从二项分布即 X~B(n,p),则 E(X)=np. 以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁 杂的计算过程.

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2.3.1(一)

跟踪训练 3 甲、 乙两人各进行 3 次射击, 甲每次击中目标的概 1 2 率为 ,乙每次击中目标的概率为 .记甲击中目标的次数为 ξ, 2 3 乙击中目标的次数为 η.
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(1)求 ξ 的分布列; (2)求 ξ 和 η 的数学期望. ? ? ? ? 1 3 0 1 3 1 1 3 ? ? = ,P(ξ=1)=C3? ? = , 解 (1)P(ξ=0)=C3 2 8 8 ? ? ?2?

3 2 1 3 ? ? = , P(ξ=2)=C3
?2?

? ?

8

1 3 1 3 P(ξ=3)=C3? ? = .
?2?

? ?

8

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ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 1 3 3 1 P 8 8 8 8

2.3.1(一)

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(2)由题意可得

? ? 1? 2? ξ~B?3,2?,η~B?3,3?. ? ? ? ?

1 3 ∴E(ξ)=3×2=2=1.5, 2 E(η)=3×3=2.

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2.3.1(一)

1.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数 ξ 的期望为( C )
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A.0.6

B.1

C.3.5

D.2

解析 抛掷骰子所得点数 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6
1 1 1 1 1 1 所以, E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× +6× =(1+2+3 6 6 6 6 6 6 1 +4+5+6)×6=3.5.

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2.3.1(一)

2. 若随机变量 ξ~B(n,0.6), E(ξ)=3, P(ξ=1)的值是( C ) 且 则 A.2×0.44 B.2×0.45
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C.3×0.44

D.3×0.64

解析 ∵ξ~B(n,0.6),E(ξ)=3,∴0.6n=3,即 n=5. 故 P(ξ=1)=C1×0.6×(1-0.6)4=3×0.44. 5

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? ? ? ? ?3? ?3?

2.3.1(一)

3.设随机变量 X 的分布列为

k ?1? k ?2? 300 - k P(X=k)=C300· · (k=

0,1,2,…,300),则 E(X)=________. 100
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解析 由
可知

1 k 2 300-k k ? ? P(X=k)=C300· ? · ? ,
?3? ?3?

? ? ? ?

? 1? 1 ?300, ?,∴E(X)=300× =100. X~B 3? 3 ?

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4.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记 上 n 号的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示 所取球的标号. (1)求 ξ 的分布列,均值;
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(2)若 η=aξ+4,E(η)=1,求 a 的值.
解 (1)ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 1 1 1 3 1 P 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 3 ξ 的均值:E(ξ)=0×2+1×20+2×10+3×20+4×5=2. 3 (2)E(η)=aE(ξ)+4=1,又 E(ξ)=2, 3 则 a×2+4=1,∴a=-2.

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2.3.1(一)

1.求离散型随机变量均值的步骤:
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(1)确定离散型随机变量 X 的取值; (2)写出分布列,并检查分布列的正确与否; (3)根据公式写出均值. 2.若 X、Y 是两个随机变量,且 Y=aX+b,则 E(Y)=aE(X) +b; 如果一个随机变量服从二点分布或二项分布, 可直接 利用公式计算均值.


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