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1[1].3 三角函数的诱导公式(一)学案(人教A版必修4)


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§ 三角函数的诱导公式(一) 1.3
自主学习

1.设 α 为任意角,则 π+α,-α,π-α 的终边与 α 的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π+α 与 α 关于____对称; -α 与 α 关于____对称; π-α 与 α 关于____对称. 2.诱导公式一~四 (1)公式一:sin(α+2kπ)=________,cos(α+2kπ)=________,tan(α+2kπ)=________, 其中 k∈Z. (2)公式二:sin(π+α)=__________,cos(π+α)=__________,tan(π+α)=________. (3)公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=________,tan(-α)=________. (4)公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=__________,tan(π-α)=__________. 你能否利用 π+α 与 α 终边之间的对称关系,从任意角三角函数的定义出发推导诱导公 式二吗?

对点讲练 给角求值问题 求下列各三角函数值. 47π (1)sin(-1 200° );(2)cos ;(3)tan 945° . 6 例1

回顾归纳 此类问题是给角求值, 主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐 角的三角函数值求解.如果是负角,一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数,要记住 一些特殊角的三角函数值. 变式训练 1 求 sin 1 200°cos 1 290° · +cos(-1 020° sin(-1 050° )· )+tan(-495° )的值.

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给值求值问题 例2

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sin?3π-α? sin?α-3π?+cos?π-α? 已知 =2,求 的值. cos?3π-α? sin?-α?-cos?π+α?

回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角.(2)弦切互化是本题的 一个重要技巧,值得关注. π 5π π 3 变式训练 2 已知 cos?6-α?= ,求 cos? 6 +α?-sin2?α-6?的值. ? ? 3 ? ? ? ?

化简三角函数式 例3 sin?-2π-θ?cos?6π-θ?tan?2π-θ? 化简: . cos?θ-π?sin?5π+θ?

回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式,如果含有参数 k(k 为整数)一般 需按 k 的奇、偶性分类讨论. sin[?k+1?π+θ]· cos[?k+1?π-θ] 变式训练 3 化简: (其中 k∈Z). sin?kπ-θ?· cos?kπ+θ?

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课时作业 一、选择题 1.sin 585° 的值为( ) 2 2 A.- B. 2 2

C.-

3 2

D.

3 2

sin?nπ+α? 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果是( ) cos?nπ+α? A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α 3.记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° 等于( ) 1-k2 1-k2 k k A. B.- C. 2 D.- k k 1-k 1-k2 sin?α-5π? 4.tan(5π+α)=m,则 的值为( ) cos?π+α? A.m B.-m C.-1 D.1 π ? 1 5.若 sin(π-α)=log8 ,且 α∈?-2,0?,则 cos(π+α)的值为( ) ? 4 5 5 5 A. B.- C.± D.以上都不对 3 3 3 题号 答案 1 2 3 4 5

二、填空题 π 5π 2π 6.sin?-3?+2sin +3sin =______. ? ? 3 3 1+2sin 290° 430° cos 7.代数式 的化简结果是________. sin 250° +cos 790° 8.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a、b、α、β 为非零常数.若 f(2 009)=1, 则 f(2 010)=________. 三、解答题 sin?α-2π?+sin?-α-3π?cos?α-3π? 2 9.若 cos(α-π)=- ,求 的值. 3 cos?π-α?-cos?-π-α?cos?α-4π?

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10.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.

§ 1.3
知识梳理 1.

三角函数的诱导公式(一)参考答案
相关角 π+α 与 α -α 与 α π-α 与 α 终边之间的对称关系 关于原点对称; 关于 x 轴对称; 关于 y 轴对称.

2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α -cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α -tan α 自主探究 解 设 P(x,y)为角 α 终边上任一点, ∵角 α 与 π+α 终边关于原点对称. ∴P(x,y)关于原点的对称点 P′(-x,-y)位于角 π+α 的终边上. ∴|OP′|=|OP|= x2+y2=r. 由任意角三角函数的定义知: -y sin(π+α)= =-sin α, r -x cos (π+α)= =-cos α, r -y y tan(π+α)= = =tan α. -x x 借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四. 对点讲练 例 1 解 (1)sin(-1 200° )=sin(-4×360° +240° ) =sin 240° =sin(180° +60° ) 3 =-sin 60° =- ; 2 47π 11π 11π (2)cos =cos( +6π)=cos 6 6 6 π π 3 =cos(2π- )=cos = ; 6 6 2 (3)tan 945° =tan(2×360° +225° )=tan 225° =tan(180° +45° )=tan 45° =1. 变 式 训 练 1 解 原 式 = sin(3×360° 120° cos(3×360° 210° - cos(2×360° + )· + ) + 300° sin(2×360° )· +330° )-tan(360° +135° ) =sin(180° -60° cos(180° )· +30° )-cos(360° -60° sin(360° )· -30° )-tan(180° -45° ) =-sin 60°cos 30° · +cos 60°sin 30° · +tan 45° 3 3 1 1 1 =- × + × +1= . 2 2 2 2 2 sin?3π-α? 例2 解 ∵ =2, cos?3π-α? ∴tan(3π-α)=2,∴tan α=-2. sin?α-3π?+cos?π-α? ∵ sin?-α?-cos?π+α?

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-sin α-cos α sin α+cos α = -sin α+cos α sin α-cos α 1+tan α = tan α-1 sin?α-3π?+cos?π-α? 1-2 1 ∴ = = . sin?-α?-cos?π+α? -2-1 3 5π π 变式训练 2 解 cos? 6 +α?-sin2?α-6? ? ? ? ? 5π π =-cos?π-? 6 +α??-sin2?6-α? ? ? ?? ? ? π π =-cos?6-α?-sin2?6-α? ? ? ? ? 3 ? ? 3?2? =- - 1- 3 ? ?3?? 2+ 3 3 2 =- - =- . 3 3 3 -sin?2π+θ?· θ· cos ?-tan θ? 例 3 解 原式= cos?π-θ?· sin?π+θ? sin θ· θ· θ cos tan = ?-cos θ?· ?-sin θ? sin θ· θ· θ cos tan = sin θ· θ cos =tan θ 变式训练 3 解 当 k 为偶数时, 不妨设 k=2n,n∈Z,则 sin[?2n+1?π+θ]· cos[?2n+1?π-θ] 原式= sin?2nπ-θ?· cos?2nπ+θ? sin?π+θ?· cos?π-θ? = -sin θ· θ cos -sin θ· ?-cos θ? = -sin θ· θ cos =-1. 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 sin[?2n+2?π+θ]· cos[?2n+2?π-θ] 原式= sin[?2n+1?π-θ]· cos[?2n+1?π+θ] sin[2?n+1?π+θ]· cos[2?n+1?π-θ] = sin?π-θ?· cos?π+θ? sin θ· θ cos = sin θ· ?-cos θ? =-1. ∴上式的值为-1. 课时作业 1.A [sin 585° =sin(360° +225° )=sin(180° +45° )=- 2 .] 2

sin α 2.C [若 n 为偶数,则原式= =tan α; cos α sin?π+α? 若 n 为奇数,则原式= =tan α.] cos?π+α? 3.B [∵cos(-80° )=k,∴cos 80° =k, 1-k2 ∴sin 80° 1-k2.∴tan 80° = = . k
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∴tan 100° =-tan 80° =-

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1-k2 .] k 4.A [∵tan(5π+α)=tan α=m,∴tan α=m. -sin α 原式= =tan α=m.] -cos α 2 2 5.B [∵sin(π-α)=sin α=log2 2- =- , 3 3 ∴cos(π+α)=-cos α=- 1-sin2α 4 5 =- 1- =- .] 9 3 6.0 π π 2π 解析 原式=-sin +2sin?2π-3?+3sin ? ? 3 3 3 3 3 =- -2× +3× =0. 2 2 2 7.-1 解析 原式 1+2sin?180° +110° cos?360° ?· +70° ? = sin?180° +70° ?+cos?2×360° +70° ? = = 1-2sin 110° 70° cos cos 70° -sin 70°

1-2sin 70° 70° cos cos 70° -sin 70° |sin 70° -cos 70° | = cos 70° -sin 70° =-1. 8.3 解析 f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+2 =asin(π+α)+bcos(π+β)+2 =2-(asin α+bcos β)=1. ∴asin α+bcos β=1. f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β)+2 =asin α+bcos β+2=3. -sin?2π-α?-sin?3π+α?cos?3π-α? 9.解 原式= -cos α-?-cos α?cos α sin α-sin αcos α = -cos α+cos2α sin α?1-cos α? = -cos α?1-cos α? =-tan α. 2 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- , 3 2 ∴cos α= .∴α 为第一象限角或第四象限角. 3 2 当 α 为第一象限角时,cos α= , 3 5 sin α= 1-cos2α= , 3 sin α 5 5 ∴tan α= = ,则原式=- . cos α 2 2
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2 当 α 为第四象限角时,cos α= , 3 5 sin α=- 1-cos2α=- , 3 sin α 5 5 ∴tan α= =- ,则原式= . cos α 2 2 10.证明 ∵sin(α+β)=1, π ∴α+β=2kπ+ (k∈Z), 2 π ∴α=2kπ+ -β (k∈Z). 2 tan(2α+β)+tan β π =tan?2?2kπ+2-β?+β?+tan β ? ? ? ? =tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0, ∴原式成立.

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