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教案:正弦函数图象的对称性


正弦函数图象的对称性
【教学目标】 1 .使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式,理解诱导公式
sin(? ? x) ? sin x ( x ?R)与 sin(2? ? x) ? ? sin x ( x ?R)的几何意义,体会正

弦函数的对称性 . 2.在探究过程中渗透由具体到抽象,由特殊到一般以及数形结合的思想方 法,提高学生观察、分析、抽象概括的能力. 3.通过具体的探究活动,培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题 的能力,增强学生之间合作与交流的意识. 【教学重点】 正弦函数图象的对称性及其代数表示形式. 【教学难点】 用等式表示正弦函数图象关于直线 x ? 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探究相结合. 【教学手段】 计算机、图形计算器(学生人手一台). 【教学过程】 一、复习引入 1.展示生活实例 对称在自然界中有着丰富多彩的显现,各种对称图案、对称符号也都十 分普遍(见下图) .

?
2

对称和关于点 (? ,0) 对称.

2.复习对称概念
1

初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念: 轴对称图形——将图形沿一条直线折叠,直线两侧的部分能够互相重合; 中心对称图形——将图形绕一个点旋转 180°,所得图形与原图形重合 . 3.作图观察 请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象 (见右图) ,仔细观察正弦曲线是否是对称图形? 是轴对称图形还是中心对称图形? 4.猜想图形性质 经过简单交流后, 能够发现正弦曲线既是轴对 称图形也是中心对称图形, 并能够猜想出一部分对 称轴和对称中心 .(教师点评并板书) 如何检验猜想是否正确? 我们知道, 诱导公式 sin(? x) ? ? sin x ( x ?R) ,刻画了正弦曲线关于原点 对称,而 cos(? x) ? cos x ( x ?R) ,刻画了余弦曲线关于 y 轴对称. 从这两个特 殊的例子中我们得到一些启发,如果我们能够用代数式表示所发现的对称性, 就可以从代数上进行严格证明 . 今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性 .(板书课题) 二、探究新知 分为两个阶段,第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质,第二阶段 学生自主探索正弦曲线的中心对称性质 . (一)对于正弦曲线轴对称性的研究 第一阶段,实例分析——对正弦曲线关于直线 x ? 1. 直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行 探索 请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线 ? x ? 的图象, 选择恰当窗口并充分利用画图功能对问 2 ? 题进行探索研究(见右图) ,在直线 x ? 两侧正弦函 2 数值有什么变化规律? 给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流,最 ? 后得出猜想:当自变量在 x ? 左右对称取值时,正 2 弦函数值相等.
2

?
2

对称的研究.

从直观上得到的猜想,需要从数值上进一步精确检验 . 2.数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索 请同学们思考,对于上述猜想如何取值进行检验呢? ? 教师组织学生通过合作的方式,对称地在 x ? 左右自主选取适当的自变 2 量, 并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表 格如下: ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ?2 ? 1.5 ? 0.5 ? 0.5 ?1 ? 1.5 ?2 ? ?1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin x

? 给学生一定的时间进行思考、 操作, 根据情况进行指导并组织学生进行交流,

?

然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法,得到 的结果如下列图表(表格中函数值精确到 0.001) :

x
sin x

?

?
2

?2

?
2

? 1.5

? ?1 2
0.540

?
2

? 0.5

? 2
1

?
2

? 0.5

? ?1 2

?
2

? 1.5

?
2

?2

?

0.540 0.071 -0.416 ? ? ? 上述计算结果, 初步检验了猜想, 并可以把猜想用等式 sin( ? x) ? sin( ? x) 2 2 ( x ?R)表示. 请同学们利用前面得到的数据,用图形计算器描点画图(见下图) ,然后进 ? ? 行观察比较,思考点 P ( ? x, y ) 和 P′ ( ? x, y ) 在平面直角坐标系中有怎样的 2 2 位置关系?

? -0.416

0.071

0.878

0.878

3

根据画图结果,可以看出,点 P ( 称 . 这样,正弦曲线关于直线 x ? ( x ?R)表示.

?
2

? x, y ) 和 P′ (

?
2

? x, y ) 关于直线 x ?

?
2



?

? ? 对称,可以用等式 sin( ? x) ? sin( ? x) 2 2 2

这样的计算是有限的,并受到精确度的影响,还需要对等式进行严格证 明.

? ? 3.严格证明——证明等式 sin( ? x) ? sin( ? x) 对任意 x ?R 恒成立 2 2
请同学们思考, 证明等式的基本方法有哪些?所要证的等式左右两端有何特 征?有可能选用什么样的公式?

? ? 预 案 一:根据诱导公式 sin(? ? ? ) ? sin ? ,有 si n( ? x ) ? sin[? ? ( ? x)] 2 2 ? ? sin( ? x ) . 2 ? ? 预 案 二 : 根 据 公 式 sin( ? x) ? cos x 和 sin( ? x) ? cos x , 有 2 2 ? ? s i n? ( x) ? s i n ? ( x) . 2 2 预案三: 根据正弦函数的定义, 在平面直角坐标 ? ? 系中, 无论 ? 取任何实数,角 ? ? 和 ? ? 的终 2 2
边总是关于 y 轴对称(见右图) ,他们的正弦值恒相 等.

? ? 这样我们就证明了等式 sin( ? x) ? sin( ? x) 对任意 x ?R 恒成立,也就证 2 2 ? 明了正弦曲线关于直线 x ? 对称. 2 ? ? 事实上,诱导公式 sin(? ? x) ? sin x 也可以由等式 sin( ? x) ? sin( ? x) 推 2 2 ? 出,即这两个等式是等价的.因此,正弦曲线关于直线 x ? 对称,是诱导公式 2
4

sin(? ? x) ? sin x ( x ?R)的几何意义.

阶段小结:我们从几何直观获得启发,又通过数据计算进一步检验,得出正 ? ? ? 弦曲线关于直线 x ? 对称可以用等式 sin( ? x) ? sin( ? x) ( x ?R)表示,通 2 2 2 过对这一等式的严格证明,证实了我们猜想的正确性 . 上述等式与诱导公式
sin(? ? x) ? sin x ( x ?R)的等价性,使我们对这一诱导公式有了新的理解.

第二阶段,抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴. 师生、生生交流,步步深入. 问题一: 正弦曲线还有其他对称轴吗?有多少条对称轴?对称轴方程形式有 什么特点? 可以发现, 经过图象最大值点和最小值点且垂直于 x 轴的直线都是正弦曲线 ? x ? ? k?( k ? Z) 的对称轴 (教师利用课件演示) , 则对称轴方程的一般形式为: . 2 ? 问题二:能用等式表示“正弦曲线关于直线 x ? ? k? ( k ? Z)对称”吗? 2 ? ? 根 据 前 面 的 研 究 , 上述 对 称 可 以 用 等 式 si n( ? k? ? x) ? si n( ? k? ? x) 2 2 ( k ? Z, x ?R)表示. 请学生证明上述等式,然后组织学生交流证明思路. ? ? ? 证 明 预 案 : sin( ? k? ? x) ? sin[? ? ( ? k? ? x)] ? sin( ? k? ? x ) 2 2 2 ? ? ? sin[ 2k? ? ( ? k? ? x)] ? sin( ? k? ? x) . 2 2 (二)对于正弦曲线中心对称性的研究 我们已经知道正弦函数 y ? sin x ( x ? R )是奇函数,即 sin(? x) ? ? sin x ( x ?R) ,反映在图象上,正弦曲线关于原点对称. 那么,正弦曲线还有其他对 称中心吗?请同学们参照轴对称的研究方法,小组合作进行研究. 第一阶段,对正弦曲线关于点 (? ,0) 对称的研究. 1.直观探索——从图象上探索在点 (? ,0) 两侧的函数值的变化规律. 2.数值检验——在 x ? ? 左右对称地选取一组自变量,计算函数值并列表整 理.

? ? x) ? ? sin( ? ? x) 对任意 x ?R 恒成立. 3.严格证明——证明等式 sin(
预案一:根据诱导公式 sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ,有 sin( ? ? x) ? sin[2? ? (? ? x)]
? ? sin(? ? x) .

? (? x) ? s i n x 和 sin(? ? x) ? ? sin x , 有 预案二:根据诱导公式 sin
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sin(? ? x) ? ? sin(? ? x) .

预案三: 根据正弦函数的定义, 在平面直角坐标系中, 无论 ? 取任何实数, 角 ? ? ? 和 ? ? ? 的终边总是关于 x 轴 对称(见右图) ,他们的正弦值互为相反数 . 事 实 上 , 等 式 s i n? ( ? x) ? ? s i n? ( ? x) 与 诱 导 公 式
s i n2 (? ? x) ? ? s i nx 是等价的 . 这样,正弦曲线关于点 (? ,0) 对称,是诱导公式
y

sin(2? ? x) ? ? sin x ( x ?R)的几何意义.

π-α

第二阶段,探索正弦曲线的其它对称中心. 请同学尝试解决下列三个问题: 1.归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式 .

O

1

x

π+α

正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为: (k? ,0) ( k ? Z) (教师利用课 件演示). 2.用等式表示“正弦曲线关于点 (k? ,0) ( k ? Z)对称”. 上述对称可以用等式 sin(k? ? x) ? ? sin(k? ? x) ( k ? Z, x ?R)表示. 3.证明归纳出的等式. (根据课堂情况可以由学生课后完成证明) 三、课堂小结 1.课堂小结 (1) 知识上:得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式, 研究了对称性的代数表示形式,并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究 的过程中,对诱导公式 sin(? ? x) ? sin x 与 sin(2? ? x) ? ? sin x ( x ?R)有了新的 理解,感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一 . (2)方法上:直观→抽象,特殊→一般,体验了观察—归纳—猜想—严格 证明的研究方法. 2.作业 ( 1)总结课上的研究过程和方法,尝试研究余弦函数图象的对称性,并 结合自己的研究过程和结论写出研究报告,与其他同学交流收获 . ( 2)找一个一般函数,如 y ? a ? sin x , a为常数且a ? R,研究它的图象及 对称性;并与正弦函数的图象及对称性进行比较 . ( 3 )思考:如何用等式表示函数 f ( x) 关于直线 x ? a 对称,以及关于点
( a, b) 对称?
1 的图象分别关于直线 y ? x 和直线 y ? ? x 对称 . x
6

( 4)尝试证明函数 y ?

【教学设计说明】 1.关于教学内容 正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的. 但是,在本 章第五节中, 借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质,并归 纳为四组诱导公式,其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称 性,奇偶性只是特殊的对称性.因此,本课时以正弦函数为例补充研究图象的对 称性,从函数图象的特征出发,引导学生利用计算器自主探索,并最终发现与诱 导公式的联系. 通过本课时的教学,可以使学生在进一步掌握图象特征的同时, 加深对正弦函数及其诱导公式的理解,既是对以前所学知识的梳理,也为后面进 一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础. 2.关于教学设计 本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法. 在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题, 引导学生从形象思维逐步过度 到抽象思维,突破教学难点. 教学设计流程图如下:
几何探索 实例分析 轴对称的研究 正弦曲线 的对称性 抽象概括 理论证明 几何探索 实例分析 中心对称的研究 抽象概括 数值检验 理论证明 数值检验

通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程,力求 使他们在掌握知识的同时,还能学会研究方法. 3.信息技术在教学中的作用 图形计算器作为学具,通过学生亲自动手,人人参与探索过程,帮助学生从 图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容,提高他们对图形和 数据信息的处理能力,培养信息素养.图形计算器和计算机相结合,力求使技术 更有效地为教学服务.

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