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河北省献县宏志中学2012届高三数学理科仿真模拟25_图文


河北省献县宏志中学 2012 届高三数学理科仿真模拟卷 25

第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是满足题目要求的.

1.在复平面内复数 i ?1 对应的点位于 3?i

()

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

? ? 2.若集合 A ? ?1, 2,3? , B ? x ? R | x2 ? ax ?1 ? 0, a ? A ,当 A B ? B 时,实数 a 的值是





(A)2

(B)2 或 3

(C)1 或 2

(D)1 或 3

? ? 3.设 Sn 表示数列 an 前 n 项的和,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ( n ? N * ),则 a4 等于( )

(A)18

(B)20

(C)48

(D)54

4.设 m, n 是两条不同的直线,? , ? ,? 是三个不同的平面,下列四个命题中正确的序号是( )

① 若m ? ? , n //? ,则 m ? n

② 若? ? ? , ? ? ? ,则? // ?

③ 若m //?, n // ?,则m // n

④ 若?//? ,? //? ,m ? ? ,则m ? ?

(A)①的②

(B)②和③ (C)③和④ (D)①和④

5. 二项式 ?? 1 ? 2 x ??6 的展开式中,常数项是

?x

?

()

(A) 20

(B) ?160 (C)160 (D) ? 20

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( )
2
3 121
正视图

2
3 121
侧视图

俯视图

(A) 12? ? 24 (B) 6? ?12

(C) 6? ? 24 (D)12? ?12

? ? 7. .已知直线 l : x ? 3y ? 1 ? 0, 集合 A ? n | n ? 10, n ? N ? ,从 A 中任取 3 个元素分别作为圆方

程 (x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 中的 a、b、r ,则使圆心 (a,b) 与原点的连线垂直于直线的概率等于

() (A) 1 3

(B) 1 6

(C) 1 12

(D) 1 24

8.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 (x ? 2) f ?(x) ? 0, 又 a ? f (log 1 3)
2

b ? f ((1)0.3 ) 3

c ? f (ln 3) 则( ) (A) a ? b ? c (B) b ? c ? a 9.如右图所示,则向量 a ? b 等于
(A) ?2e1 ? 4e2
(B) ?4e1 ? 2e2
(C) e1 ? 3e2

(C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

e2 e1

b a

(D) ?e1 ? 3e2

10.已知函数

f

(x)

?

2sin ??x

???

(?

?

0) 的图像关于直线

x

?

? 3

对称,且

f

?? ?? 12

? ??

?

0

,则?

的最小值是 (



(A)2

(B)4

(C)6

(D)8

11.已知

A, B 是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 长轴的两个端点, M , N

是椭圆上关于 x 轴对

称的两点,直线 AM , BN 的斜率分别为 k1, k2 ,且 k1k2 ? 0.若 | k1 | ? | k2 | 的最小值为 1,则
椭圆的离心率( )

(A) 1 2

(B) 2 2

(C) 3 2

(D) 2 3

12.定义区间 (c, d ),[c, d ), (c, d ],[c, d ] 的长度均为 d ? c(d ? c) 已知实数 a ? b ,则满足

1 ? 1 ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为 (



x?a x?b

(A) 1

(B) a ? b

(C) a ? b

(D) 2

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出 n 的值是
开始

输入 p

n ?1,S ? 0

? 14.计算

3
(x

?

1 )dx

?

_______

1

x

S? p?


S

?

S

?

1 2n

n ? n?1


输出 n
结束

?x ? 4y ? 3 ? 0

15.已知 O 是坐标原点,

A(2,1)



P(x,

y)

满足

? ?

3x

?

5y

?

25

,则 OP

在 OA 方向上的投

?? x ?1 ? 0

影的最大值等于



16.在共有

2011

项的等比数列

?an ?

中,有等式

a1 a2

? ?

a3 a4

? ?

a5 a6

a2011 a2010

? a1006 成立;类比上述性质,

在共有 2015 项的等差数列?bn? 中,相应的有等式

成立.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.(本小题满分 12 分)

函数 f (x) ? Asin(?x ? ?) ( A ? 0,? ? 0,| ? |? ?) 部分图象如图所示.

2

1

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及解析式;

(Ⅱ)设 g(x) ? f (x) ? cos 2x ,求函数 g(x) 在区间 x ?[0, ?] 上 2
的最大值和最小值.

o?
6
?1 y

?? 3
x

18. (本小题满分 12 分)
甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A 、 B 、 C 三个社区参加社会实践,要求每个社区
至少有一名同学.
(Ⅰ)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率; (Ⅱ)设随机变量? 为四名同学中到 A 社区的人数,求? 的分布列和 E? 的值.
学。科。网 Z。X。X。K]
19. (本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的中点。 (Ⅰ)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (Ⅱ)点 M 在线段 PC 上, PM ? tPC ,试确定的值,使 PA // 平面 MQB ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若平面 PAD ? 平面 ABCD,且 PA ? PD ? AD ? 2 ,求二面角
M ? BQ ? C 的大小。

20. (本小题满分 12 分)
已知定义在 R 上的单 调函数 f (x) ,存在实数 x0 使得对于任意实数 x, y 都有关系

f (x0x ? x0 y) ? f (x0 ) ? f (x) ? f ( y) 成立

(Ⅰ)求 x0 的值

(Ⅱ)若

f (x0 ) ? 1,对于任意的正整数 n 有 an ?

f

1 (n)



bn

?

f

? ??

1 2n

? ??

?1,

学#科#网 Z#X#X#K]

设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ? anan?1 ;Tn ? b1b2 ? b2b3 ? bnbn?1 ,试比较 4Sn 和 3Tn 的大小

Z§xx§k

21. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

?b

?

0) 的离心率为

1 2

,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的

圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P(4, 0) , A , B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆

C 于另一点 E ,证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范
围.

选做题:
22.(本小题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图所示,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM,垂足为 P.
(1)证明:OM·OP=OA2;
(2)N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直 直线 ON,且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直 线 ON 于 K.证明:∠OKM=90°.

23.(本小题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

已知曲线

C

的极坐标方程是

ρ=2sinθ,设直线

l

的参数方程是???x=-3t+2 ??y=4t

(t 为参数),

试判断直线 l 和曲线 C 的位置关系.

24.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设 x,y,z∈(0,+∞),且 x+y+z=1,求1x+4y+9z的最小值.

一、选择题

参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

B

C

A

D

B

A

D

A

D

A

C

D

二、填空题:

13. 4

14. 4 ? ln 3

15. 12 5 5

? ? 16. b1 ? b3 ? b5 ? ? b2015 ? b2 ? b4 ? b6 ? ? b2014 ? b1008

三、解答题

17.解:(Ⅰ)由图可得 A ? 1 , T ? 2? ? ? ? ? , 2 3 62

所以T ? ? .

…………2 分

所以? ? 2 . 当 x ? ? 时, f (x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ?) ? 1 , Z*xx*k

6

6

因为| ? |? ? ,所以? ? ? .

2

6

…………5 分

所以 f (x) 的解析式为 f (x) ? sin(2x ? ?) . 6

……………………6 分

(Ⅱ) g(x) ? f (x) ? cos 2x ? sin(2x ? ? ) ? cos 2x 6

? sin 2x cos ? ? cos 2x sin ? ? cos 2x

6

6

? 3 sin 2x ? 1 cos 2x ? sin(2x ? ?) .

2

2

6

……………10 分

因为 0 ? x ? ? ,所以 ? ? ? 2x ? ? ? 5? .

2

6

66

当 2x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, g(x) 有最大值,最大值为;

62

3

当 2x ? ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g(x) 有最小值,最小值为 ? 1 .……12 分

66

2

18.

解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时到

A

社区为事件

EA

,那么

P(EA )

?

A22 C42 A33

?1, 18

即甲、乙两人同时到 A 社区的概率是 1 . 18

……………4 分

(Ⅱ))随机变量? 可能取的值为 1,2.

……………6 分

事件“? ? i (i ? 1, 2) ”是指有个同学到 A 社区,

则.

P(?

? 1) ?

C41C32 A22 C42 A33

?

2 3

P(? ? 2) ? C42 A22 ? 1 C42 A33 3

所以? 的分布列是

……………8 分

?

1

2

2

1

P

3

3

E? ? 1? 2 ? 2 ? 1 ? 4 . 3 33

……………10 分 ……………12 分

19.解:(Ⅰ)连 BD,四边形 ABCD 菱形, ∵AD⊥AB, ∠BAD=60° △ABD 为正三角形, Q 为 AD 中点, ∴AD⊥BQ ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,AD⊥PQ
又 BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面 PQB, AD ? 平面 PAD
∴平面 PQB⊥平面 PAD

……………4 分

(Ⅱ)当 t ? 1 时, PA // 平面 MQB 3
下面证明,若 PA // 平面 MQB ,连 AC 交 BQ 于 N

由 AQ // BC 可得, ?ANQ ∽ ?BNC ,? AQ ? AN ? 1 BC NC 2
PA // 平面 MQB , PA ? 平面 PAC ,平面 PAC 平面 MQB ? MN ,? PA // MN

PM ? AN ? 1 即: PM ? 1 PC ?t ? 1

PC AC 3

3

3

……………8 分 (Ⅲ)由 PA=PD=AD=2, Q 为 AD 的中点,则 PQ⊥AD。 又平面 PAD⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥平面 ABCD,
以 Q 为坐标原点,分别以 QA、QB、QP 所在的直线为 x, y, z 轴,建立如图所示的坐标系,
则各点坐标为 A(1,0,0),B( 0, 3, 0 ),Q(0,0,0),P(0,0, 3 )

设平面 MQB 的法向量为 n ? (x, y,1) ,可得 Z§xx§k

??n ?QB ?

?0

,

PA

//

MN

,?

??n ?

?

QB

?

0

,解得

n

?

(

3, 0,1)

??n ? MN ? 0

??n ? PA ? 0

取平面 ABCD 的法向量 m ? (0, 0,1) cos ? m, n ?? 1 , 故二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60°
2

……………12 分

20.解:(Ⅰ)令 x ? y ? 0 ,则得 f (0) ? f (x0 ) ? 2 f (0) ,? f (x0 ) ? ? f (0)

令 x ? 1, y ? 0 ,得到 f (x0 ) ? f (x0 ) ? f (1) ? f (0) ,? f (1) ? ? f (0) …………2 分

故有 f (x0 ) ? f (1) ,由于函数 f (x) 为单调函数,? x0 ? 1 …………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ?1,

?

f

(n ?1)

?

f

(n) ? 2 ,

f

(n)

?

2n ?1, an

?

1 …………6 分 2n ?1

f

(1)

?

f

?1 ?? 2

?

1? 2 ??

?

f

? ??

1 2

? ??

?

f

? ??

1 2

? ??

?

1



f

?1? ?? 2 ??

? 0 , b1

?1,

f

? ??

1 2n

? ??

?

f

? ??

1 2n?1

?

1 2n?1

? ??

?

2f

?1 ?? 2n?1

? ??

?

1

,即

2bn

?1

? bn

,?bn

?

? ??

1 2

n?1
? ??

…………8



Sn

?

1 1? 3

?

1 3?5

?

?

(2n

1 ?1)(2n

? 1)

?

1 2

???1 ?

1 3

?

1 3

?

1 5

?

1 2n ?1

?

1 2n ?1

? ??

?

n 2n ?1

Tn

?

? ??

1 2

? ??

?

? ??

1 2

3
? ??

?

? ??

1 2

2 n ?1
? ??

?

2 3

? ?1 ? ??

? ??

1 4

n
? ??

? ? ??

…………10



4Sn

? 3Tn

?

4n ? 2n ?1

2

?? ??1 ????

?

? ??

1 4

?n ??

? ? ??

? ? ??

?

2

?? ?????

1 4

?n ??

?

1? 2n ?1???

4n ? (1? 3)n ? 2n ?1?4Sn ? 3Tn ? 0

故有?4Sn ? 3Tn

…………12 分

21.解:(Ⅰ)由题意知 e ?

c a

?

1, 2

所以 e2

?

c2 a2

?

a2 ? b2 a2

?

1 .即 a2 4

?

4 b2 . 3

又因为 b ? 6 ? 3 ,所以 a2 ? 4 , b2 ? 3 . 1?1

故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1. 43

…………4 分

(Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k(x ? 4) .

? y ? k(x ? 4),



? ?

x

2

?? 4

?

y2 3

? 1.

得 (4k 2 ? 3)x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 .



设点 B(x1, y1) ,E(x2 , y2 ) ,则 A(x1, ? y1) .直线 AE 的方程为 y ?

y2

?

y2 x2

? ?

y1 x1

(

x

?

x2

)





y

?

0 ,得

x

?

x2

?

y2 (x2 ? x1) y2 ? y1

.将

y1

?

k ( x1

? 4) ,

y2

?

k ( x2

?

4)

代入,

整理,得 x ? 2x1x2 ? 4(x1 ? x2 ) .



x1 ? x2 ? 8

由①得

x1

?

x2

?

32k 2 4k 2 ? 3



x1x2

?

64k 2 4k 2

?12 ?3

代入②

整理,得 x ? 1 .

所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1, 0) .

…………8 分

(Ⅲ)当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? m(x ?1) ,且

? y ? m(x ?1),

M (xM , yM )



N (xN , yN )

在椭圆

C

上.由

?

? x2 ?? 4

?

y2 3

? 1.



(4m2 ? 3)x2 ? 8m2 x ? 4m2 ?12 ? 0 .

易知 ?

?

0 .所以 xM

?

xN

?

8m2 4m2 ?

3



xM

xN

?

4m2 ?12 4m2 ? 3



yM

yN

?

?

9m2 4m2 ?

3



则 OM

? ON

?

xM

xN

?

yM

yN

?

? 5m2 ?12 4m2 ? 3

?

?

5 4

?

33 4(4m2 ? 3)



因为 m2

?

0 ,所以 ? 11 4

?

?

33 4(4m2 ? 3)

?

0

.所以 OM

? ON

?[?4, ?

5). 4

当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 .解得 M (1, ? 3) , N (1, ? 3) .

2

2

此时 OM ?ON ? ? 5 .所以 OM ?ON 的取值范围是[?4, ? 5] .

4

4

…………12 分

22.证明:(1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM. 又因为 AP⊥OM,在 Rt△OAM 中,由射影定理知,OA2=OM·OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线,BN⊥OK, 同(1),有 OB2=ON·OK,又 OB=OA, 所以 OP·OM=ON·OK,即OONP=OOMK. 又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK, 故∠OKM=∠OPN=90°. 23.解:将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程得 x2+y2-2y=0,故知曲线 C 为圆, 其圆心坐标为(0,1),半径 r=1. 将直线 l 的参数方程化为普通方程得:4x+3y-8=0. 由于圆心到直线 l 的距离 d=|3×412+-382|=1=r, 故直线 l 与圆 C 相切. 24.解:由 x+y+z=1 可知1x+4y+9z=(x+y+z)(1x+4y+9z). 由柯西不等式得(x+y+z)(1x+4y+9z)≥(1+2+3)2=36. 当且仅当1x=2y=3z,即 x=16, y=13,z=12时,等号成立. 所以,1x+4y+9z的最小值为 36.


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