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函数综合应用(难点)解析版


抽象函数专题
1.已知函数 f ( x), 当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) . (1)求证: f ( x ) 是奇函数;(2)若 f (?3) ? a, 试用a表示f (24) . (1)证明:令 y ? ? x ,得 f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f (0) 令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? 2 f (0) ? f ? 0? ? 0 ∴ f ( x) ? f ( ? x) ? 0 f ( ? x) ? ? f ( x) ∴ f ( x ) 是奇函数。

(2)∵ f (24) ? f (3) ? f (21) ? 2 f (3) ? f (18) ?... ?8 f (3) 又∵ f (?3) ? a ? f (3) ? ?a ? f (24) ? ?8a 2.函数 f ( x ) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0;②对任意 x, y ? R ,有

1 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 . 3 (1)求 f (0) 的值;(2)求证: f ( x ) 在 R 上是单调减函数; 2 (3)若 a ? b ? c ? 0 且 b ? ac ,求证: f (a) ? f (c) ? 2 f (b) .
(1)解: ∵对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0, ∴令 x ? 0, y ? 2 得, f (0) ? [ f (0)] ? f (0) ? 1
2

(2)任取任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则令 x1 ?

1 1 p1 , x2 ? p2 ,故 p1 ? p2 3 3

∵函数 f ( x ) 的定义域为 R,并满足以下条件:①对任意 x ? R ,有 f ( x ) >0;②对任意 x, y ? R ,有

1 f ( xy) ? [ f ( x)]y ;③ f ( ) ? 1 3 1 1 1 p 1 p ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( p1 ) ? f ( p2 ) ? [ f ( )] 1 ? [ f ( )] 2 ? 0 3 3 3 3
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数. (3) 由(1) (2)知, f (b) ? f (0) ? 1 ,∴ f (b) ? 1 ∵ f (a) ? f (b ? ) ? ? f (b) ?b , f (c) ? ? b ?
a c

a b

a

? ?

c c? ? ? ? f (b) ?b b?
a ?c b

∴ f (a ) ? f (c) ? ? f (b) ? b ? ? f (b) ?b ? 2 [ f (b)] ∴2

,而 a ? c ? 2 ac ? 2 b ? 2b
2

? f (b)? b

a?c

?2

? f (b)? b

2b

? 2 f (b )

∴ f (a) ? f (c) ? 2 f (b) 3.已知函数 f(x)对任意实数 x,y,均有 f(x+y)=f(x)+f(y),且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1) =-2,求 f(x)在区间[-2,1]上的值域。 解:设 ∵ ∴ 在条件中,令 y=-x,则 ,即 ,∵当 , ,∴f(x)为增函数。 ,再令 x=y=0,则 f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故 ,∴ ,

f(-x)=f(x),f(x)为奇函数, ∴ f(1)=-f(-1)=2,又 f(-2)=2 f(-1)=-4,
∴ f(x)的值域为[-4,2]

4.已知函数 f(x)对任意

,满足条件 f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当 x>0 时,f(x)>2, 的解。 , ∵ 当 , ∴ , , 则

f(3)=5,求不等式
解 : 设

即 ∵ =3。∴

,∴f(x)为单调增函数。 , 又∵f(3)=5,∴f(1) ,∴ , 即 ,解得不等式的解为-1 < a < 3。

5. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,对任意实数 m, n 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 . (1)证明: f (0) ? 1, 且x ? 0时,f(x)>1 ;(2)证明: f ( x ) 在 R 上单调递减;
2 2 ( 3) 设 A= {( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1)} ,B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R },若 A

B = ? ,试确定 a 的取值

范围. (1)证明:令 m ? 0, n ? 1 ,则 f (0 ? 1) ? f (0) ? f (1) ∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ,故 f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? 1 ,∵当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 ∴当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x ? x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? (2)证明: 任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 ,则

f (0) 1 ? ?1 f (? x) f ( ? x)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 )
∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴0< 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1 ,故 f ( x2 ? x1 ) ?1 <0,又∵ f ( x1 ) ? 0, ∴ [ f ( x2 ? x1 ) ?1] f ( x1 ) ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴函数 f ( x ) 是 R 上的单调减函数. (3) ∵ A ? ( x, y ) f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) ? ( x, y ) f ( x ? y ) ? f (1)
2 2 2 2

?

? ?

?

由(2)知, f ( x ) 是 R 上的减函数,∴ x 2 ? y 2 ? 1 ∵B={ ( x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R }= 又∵ A

?? x, y ? ax ? y ? 2 ? 0, a ? R?

B ? ?,

∴方程组 ?

? x2 ? y 2 ? 1 ?ax ? y ? 2 ? 0

无解,即直线 ax ? y ? 2 ? 0与单位圆x2 ? y 2 ? 1 的内部无公共点



2 a ?1
2

? 1 ? a2 ? 3 ? ? 3 ? a ? 3 ,故 a 的取值范围是- 3 ? a ? 3

6. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x) ? x2 ? x)) ? f ( x) ? x2 ? x . (1)若 f (2) ? 3, 求f (1); 又f (0) ? a, 求f (a); (2)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式. (1)∵对任意 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x) ? x ? x)) ? f ( x) ? x ? x ,且 f (2) ? 2
2 2

∴ f ( f (2) ? 2 ? 2) ? f (2) ? 2 ? 2, 则f (1) ? 1
2 2 2 2 2 ∵ f (0) ? a ,∴ f ( f (0) ? 0 ? 0) ? f (0) ? 0 ? 0 = a ? 0 ? 0 ? f(a)=a

(2) ∵对任意 x ? R ,函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x) ? x2 ? x)) ? f ( x) ? x2 ? x ,有且仅有一个实数 x0 ,使得

f ( x0 ) ? x0
∴对任意 x ? R ,有 f ( x) ? x2 ? x ? x0 上式中,令 x ? x0 ,则 f ( x0 ) ? x02 ? x0 ? x0 ∵ f ( x0 ) ? x0 ,故 x0 ? x02 ? 0 ? x0 ? 0或x0 ? 1
2 2 2 若 x0 ? 0 ,则 f ( x) ? x ? x ? 0 ,则 f ( x) ? x ? x ,但方程 x ? x ? x 有两个不相同的实根与题设茅盾,

故 x0 ? 0

若 x0 ? 1 ,则 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,则 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,此时方程 x2 ? x ? 1 ? x ? ( x ?1)2 ? 0 有两个相等 的实根,即有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ∴ f ( x) ? x ? x ?1? x ? R ?
2

函数的综合应用
1. (2013 年高考安徽 (文) ) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ?

x ? 1 时. f ( x) ? x(1 ? x) ,

则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.
【答案】 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

2. (2013 年高考四川卷(文) ) lg 5 ? lg 20 的值是___________.
【答案】1 3.(2013 年上海高考数学试题(文科) )方程 【答案】 log3 4 4. ( 2013 年高考安徽(文) ) 函数 y ? f ( x ) 的图像如图所 示 , 在区间

9 ? 1 ? 3x 的实数解为_______. 3 ?1
x

? a, b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数
( )

x1 , x2 ,

, xn ,使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? x1 x2
B. ?2,3, 4?

?

f ( xn ) ,则 n 的取值范围为 xn
C. ?3, 4? D. ?3, 4,5?

A. ?2,3?

【答案】B 5.(2013 年高考陕西卷(文) )设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有





A.[-x] = -[x] B.[x +
【答案】D

1 1 ] = [x] C.[2x] = 2[x] D. [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2 2

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 6.(2013年高考课标Ⅰ卷(文) )已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0
( )

A. (??, 0]
【答案】D

B. (??,1]

C. [?2,1]

D. [?2, 0]

7.(2013 年高考天津卷(文) )已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a 满

足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2





? 1? A. [1, 2] B. ? 0, ? ? 2? 【答案】C

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. (0, 2]

8.(2013 年高考陕西卷(文) )设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (



A. loga b· logc b ? logc a C. loga (bc) ? loga b oga c
【答案】B

B. loga b· loga a ? loga b D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c
2

9.(2013 年高考浙江卷(文) )已知 a.b.c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4 )>f(1),则





A.a>0,4a+b=0 【答案】A

B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0

D.a<0,2a+b=0

10.(2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大
值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则 A ? B ? ( A. a ? 2a ? 16
2



B. a ? 2a ? 16
2

C. ?16

D. 16

【答案】C 11.(2013 年高考四川卷(文) )设函数

f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若存在 b ? [0,1] 使
( C. [e,1 ? e] D. [0,1] )

f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是
A. [1, e] B. [1,1 ? e]

【答案】A 12.(2013 年湖北(文) )x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为





A.奇函数 【答案】D

B.偶函数

C.增函数

D.周期函数

13.(2013 年高考天津卷(文) )设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 ,

则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)
【答案】A

( B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0



14.(2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数

f ? x ? ? ln
C. 1

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2?
D. 2

?



A. ? 1
【答案】D

B. 0

15.【2012 高考山东文 12】设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ? x2 ? bx .若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象有且仅有两 x

个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 (A) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (C) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (B) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 (D) x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

【答案】B 【解析】方法一:在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,要想满足条件,则有如图

, 做 出 点 A 关 于 原 点 的 对 称 点 C, 则 C 点 坐 标 为 (? x1,? y1 ) , 由 图 象 知

? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 B.
方法二:设 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不同零点 x1 , x2 . 由

2 2 2 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 ,因为 F (0) ? 1 ,故必有 F ( b) ? 0 由 3 3 3
此得 b ?

33 2 2 3 ,比较系数得 ? x1 3 4 ? 1 ,故 2) 2 . 不妨设 x1 ? x2 ,则 x2 ? b ? 3 2 . 所以 F ( x) ? ( x ? x 1 )( x ? 2 3

x1 ? ?

1 1 x ?x 13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此知 y1 ? y2 ? ? ? 1 2 ? 0 ,故答案为 B. x1 x2 x1 x2 2 2

? 1, x ? 0 ?1,x为有理数 ? , 则 f ( g (? )) 的值为 16.【2102 高考福建文 9】设 f ( x) ? ? 0, x ? 0 , g ( x) ? ? ?0,x为无理数 ?? 1x ? m ?
A 1 【答案】B. B 0 C -1
1

D

?

17. 【2102 高考北京文 5】函数

1 f ( x) ? x 2 ? ( ) x 的零点个数为 2
(C)2 (D)3

(A)0 【答案】B

(B)1

18.【2012 高考天津文科 4】已知 a=2 ,b=

1.2

??
1 2

-0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 C)b<a<c (D)b<c<a

(A)c<b<a 【答案】A

(B)c<a<b

19 . 【 2102 高考北京文 14 】 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2

x

? 2 ,若 ?x ? R , f ( x) ? 0 或

g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________。
【答案】 (?4,0)

20.【2012 高考天津文科 14】已知函数 y

?

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值

范围是 . 【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 2 。

21.(2013 年高考安徽(文) )设函数

f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .

(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.
【答案】解:(1)令 f ( x) ? x ? - 1 ? a )x ? ?a ( ??0
2

解得 x1 ? 0 (2) k ? ? 0,1?

x2 ?

a a a ? ? ? I 的长度 x2 - x1 ? ? I ? ?x | 0 ? x ? 2 2? 1? a 1 ? a2 1? a ? ?
由 (1) I ?

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2

a 1 ? a2

I'?
I1 ?

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减. (1 ? a 2 ) 2
1- k 1 ? ?1- k ?
2

?

1? k 1- k I2 ? 2 2 1? ( 1 ? k) 2 ? 2k ? k

I min ?

1- k 2 ? 2k ? k 2

22.【2012 高考江苏 17】如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1

千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发 20

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

【答案】解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。


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