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浙江省台州市2012届高三数学期末质量评估试题 理 新人教A版


台州市

2011 学年 第一学期

高三年级期末质量评估试题 学(理科)
2012.01



本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. Ⅰ 选择题部分(共 50 分) 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么 棱柱的体积公式
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么 柱的高
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱 棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 锥的高 n?k k k 棱台的体积公式 Pn ? k ? ? Cn p ?1 ? k ? , ? k ? 0,1,2, , n ? 球的表面积公式 S ? 4? R 2 球的体积公式 V ? ? R3 底面积, 其中 R 表示球的半径 符合题目要求. ) 1.若 cos ? ? (A)
4 3
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

?

?

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下
h 表示棱台的高

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

1 , 则 cos 2? ? 3
(B) ?

1 3

1 3

(C)

7 9

(D) ?

7 9

2.在复平面内,复数 (A)第一象限

i 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

3.“ 2 ? 2 x ? 3 ”是“ x ? 2 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? ? x y x2 y2 ? ? 4. 已知集合 A ? ?( x, y ) ? ? 1, x, y ? R ? , B ? ?( x, y) ? ? 1, x, y ? R? ,则 3 2 9 4 ? ? ? ?
A ? B 中元素个数为
1

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

5. 若如图的程序框图输出的 y ? 4 ,可输入的 x 的值的个数为 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

6.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面, 下列命题中正确的是 (A)若 m ∥ ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ⊥ ? (B)若 m ∥ ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ∥ ? (C)若 m ∥ ? , n ? ? , m ∥ n ,则 ? ⊥ ? (D)若 m ∥ ? , n ? ? , m ∥ n ,则 ? ∥ ?
(第 5 题)

y = 2x - 4

? y ? ?2 x, ? 7. 设实数 x, y 满足 ? y ? x, 则 y ? 4 | x | 的取值范围是 ? y ? x ? 4, ?
(A) ?? 8,?6? (B) [?8,4] (C) [?8,0]
y

(D) ?? 6,0?

8. 已知右图是下列四个函数之一的图象,这个函数是

x ?1 x ?1 x ?1 (B) f ( x) ? ln x ?1 1 1 ? (C) f ( x) ? x ?1 x ?1 1 1 ? (D) f ( x) ? x ?1 x ?1
(A) f ( x) ? ln

-1

O

1

x

(第 8 题)

9.有 9 名翻译人员,其中 6 人只能做英语翻译,2 人只能做韩语翻译,另外 1 人既可做英 语翻译也可做韩语翻译. 要从中选 5 人分别接待 5 个外国旅游团,其中两个旅游团需要 韩语翻译,三个需要英语翻译,则不同的选派方法数为 (A)900 10. 已知 (ax ? b)
2n

(B)800

(C)600

(D)500

* (n? N , 常数 a ? b ? 0 ) . ? a2n x 2n ? a2n?1 x 2n?1 ? ? ? a2 x 2 ? a1 x ? a0

设 Tn ? a0 ? a2 ? ? ? a2n , 则下列关于正整数 n 的不等式中, Rn ? a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 , 解集是无限集的是
2

(A) Tn ? Rn

(B) Tn ? 1.1Rn

(C) Rn ? 0.9Tn

(D) Rn ? 0.99Tn

Ⅱ 非选择题部分(共 100 分) 二、填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 将答案直接答在答题卷上指定的位置) 11. 要得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象, 可将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 12. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体 的体积是 .
2 2

π 3

个单位.

13.“如果数列 ?an ? ?an ? 0? 是等比数列,那么 ?lg an ?必为等差 数列”,类比这个结论,可猜想:如果数列 ?bn ? 是等差数列, 那么 .
2 正视图

2 2 侧视图 2 (第 12 题) 2 俯视图

2

14. 一个袋中有大小、 质地相同的标号为 1,2,3 的三个小球.某人做 如下游戏:每次从袋中摸一个小球,记下标号然后放回,共 摸球 3 次.若拿出球的标号是奇数,则得 1 分,否则得 0 分, 则3 次所得分数之和的数学期望是
2



y2 x ? y 2 ? 1 与双曲线 x 2 ? ? 1 的一个交点, F1 , F2 是椭圆的左右焦点, 4 2 则 cos?F1 PF2 ? . ? 2 1 ?? x ? x, x ? 0, 16.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? kx 有三个零点,则 k 的取值范围为 2 ? ? ln(x ? 1), x ? 0,
15.已知点 P 是椭圆 . 17 .如图,扇形 AOB 的弧的中点为 M ,动点 C , D 分别在线段
B M

?AOB ? 120? , OA, OB 上, 且 OC ? BD . 若 OA ? 1 , 则 MC ? MD
D

的取值范围是



O

C

A

三、解答题(本题共 5 题,共 72 分;要求写出详细的演算或推理过程) 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

(第 17 题)

? 3 sin x ? cos x?cos x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在△ ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, S 为△ ABC 的面积. 若

f ( A) ?

1 , a ? 2 3 , S ? 2 3 ,求 b, c . 2

3

19. (本题满分 14 分) 已知数列 {an } , ?bn ?满足: a1 ? ( n ? N ).
*

b 1 1 , a 2 ? 1 , a n ?1 ? a n ? a n ?1 (n ? 2) ; a n ? n 2 4 2n

(Ⅰ)计算 b1 , b2 , b3 ,并求数列 ?bn ? , {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对于任意的 n ? 3 ,都有 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?

? an .
P

20. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, CP, CA, CB 两两垂直 且相等,过 PA 的中点 D 作平面 ? ∥ BC ,且 ? 分别交
D

PB, PC 于 M , N ,交 AB, AC 的延长线于 E , F .
(Ⅰ)求证: EF ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 AB ? 2 BE ,求二面角 P ? DM ? N 的余弦值.
A M B E

N C F

第 20 题

21.(本题满分 15 分) 如图,在 y 轴右侧的动圆⊙ P 与⊙ O1 : ( x ? 1) ? y ? 1外切,并与 y 轴相切.
2 2

(Ⅰ)求动圆的圆心 P 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ) 过点 P 作⊙ O2 :( x ? 1) ? y ? 1的两条
2 2

y

切线,分别交 y 轴于 A, B 两点,设 AB 中点为

M ?0, m? .求 m 的取值范围.
A M O2 O B O1

P

x

第 21 题

22. ( 本 题 满 分

15

分 )

已 知 函 数

f ( x) ?

ln(1 ? x) . x

(Ⅰ)证明:若 x ? 1, 则 f ( x) ? ln 2 ; (Ⅱ)如果对于任意 x ? 0, f ( x) ? 1 ? px 恒成立,求 p 的最大值.
4

… … … … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … …

台州市

高三年级期末质量评估试题 数 学(理)答题卷 2012.01 三 20 21 22 24 总 分

2011 学年 第一学期

题 号 得 分





班级_______________________ 姓名________________________ 准考证号_____________________________

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 题号 答案 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.________________________ 13. 14.________________________ 16. 15. 17. 12.________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.

学校________________________

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效

1

19.

20.

P

D N A C M B E F

第 20 题

2

21.
y

P A M O2 O B O1 x

第 21 题

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效
3

22.

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效
4

台州市

2011 学年 第一学期

高三年级期末质量评估试题

理科数学答案及评分标准 一、 选择题 DBABD 二、 填空题 CBCAD

11 .

? 6

12 .

14 . 2
说明:第 11 题可填 k? ?

16 3 1 15. ? 3

13. 10bn 为等比数列
16. ?

? ?

?
6

?1 ? ,1? ?2 ?

17. ? , ? ?8 2 ?

?3 1 ?

(k ? N ) 中的任何一个值;

第 13 题的数列可以填 a 三、 解答题 18 题 (Ⅰ) f ( x) ?

? ? (a ? 0, a ? 1) 中的任意一个.
bn

? 3 sin x ? cos x?cos x ?
?

3 1 ? cos 2 x 3 1 1 sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

1 ) ? ,????????????????????????? 4 分 6 2 1 所以, f ( x) 的最小正周期为 ? ,最大值为 . ?????????????????? 6 分 2 1 ? ? (Ⅱ)由 f ( A) ? 得 sin( 2 A ? ) ? 1 ,又 0 ? A ? ? , A ? , ??? 8 分 2 6 3 由 a ? 2 3 , S ? 2 3 利用余弦定理及面积公式得 2 ? ? 2 2 b ? c ? 2 bc ? cos ? 2 3 , ? ? 3 ??????????????????????? 12 分 ? ? 1 bc sin ? ? 2 3. ? 3 ?2
即 f ( x) ? sin( 2 x ?

?

?

解之得 b ? 4, c ? 2 或 b ? 2, c ? 4. ?????????????????????? 14 分 19 题 (Ⅰ) b1 ? 1, b2 ? 4, b3 ? 7. 将 an ? ?????????????????????? 3 分

bn?1 ? bn?1 ? 2bn 可见,数列 ?bn ? 是等差数列. ???????????????? 5 分
由 b1 ? 1, b2 ? 4 知其公差为 3,故

1 1 1 1 ? bn , a n ?1 ? n ?1 ? bn ?1 , a n ?1 ? n ?1 ? bn ?1 代入 a n ?1 ? a n ? a n ?1 中化简得: n 4 2 2 2

bn ? 3n ? 2. ??????????????????????????????? 6 分
2 n a n ? 3n ? 2 ? a n ? 3n ? 2 . ?????????????????????? 7 分 2n
5

(Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n . 则

Sn ?

1 4 7 3n ? 2 ? 2 ? 3 ??? , 2 2 2 2n 1 1 4 3n ? 5 3n ? 2 Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ,??????????? 9 分 2 2 2 2n 2

相减可得:

1 1 3 3 3 3n ? 2 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 3 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 4 3n ? 2 2 ? ? ? n ?1 . 1 2 2 1? 2 3n ? 4 Sn ? 4 ? ,??????????????????????????? 12 分 2n 19 * ? 2 ,故当 n ? 3 时 可见,对于任意的 n ? N ,总有 S n ? 4. 但 a1 ? a 2 ? a 3 ? 8 a4 ? a5 ? ? ? an ? 2 ? a1 ? a2 ? a3 . ????????????????????14 分
20 题 (Ⅰ)证明:由 BC ? PC, BC ? AC 可知: BC ? 平 PAC ;?????????? 3 分 又因为平面 ? ∥ BC ,平面 AEF 过 BC 且与平面 ? 交于 EF ,所以 EF ∥ BC .?? 6 分 故 EF ? 平面 PAC . ?????????????????????????? 7 分

(Ⅱ)以 CA, CB, CP 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,并设 BC ? 2 .则

A(2,0,0) , B(0,2,0) , P(0,0,2) ;
设平面 PAB 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由 n1 ? PA ? 0 , n1 ? PB ? 0 可求得
z P

n1 ? (1,1,1) ,????????????????? 10 分 D(1,0,1) , E (?1,3,0) , F (?1,0,0).
设平面 DEF 的法向量 n2 ? ( x, y, z) , 由 n2 ? DE ? 0 , n2 ? FE ? 0 可得
D

N x A M B y E C F

n2 ? (?1,0,2) ,??????????? 13 分
cos n1 , n2 ? n1 ? n2 n1 ? n2 ? 15 . 15

二面角 P ? DM ? N 的余弦值为

15 . ???????????????? 14 分 15
6

注:几何解法相应给分. 21 题 (Ⅰ)由题意,点 P 到点 (1,0) 的距离等于它到直线 x ? ?1 的距离,故 ? 是抛物线,方程为

y 2 ? 4 x ( x ? 0 ).??????????????????????????? 5 分
2 2 注:由 ( x ? 1) ? y ? x ? 1 化简同样给分;不写

y

x ? 0 不扣分.
(Ⅱ)设 P(

t2 , t) ( t ? 0 ) ,切线斜率为 k , 则切线 4

P A M O2 O B O1 x

方程为 y ? t ? k ( x ?

t2 ) ,即 4

kx ? y ? t ?

kt ? 0 .?????????? 6 分 4

2

由题意, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1的圆心 (?1,0) 到切线的距离

?k ?t ?

kt 2 4

1? k 2

? 1 ,?????????????????????????? 8 分
2 2 2 2 2

两边平方并整理得: t (t ? 8)k ? 8t (t ? 4)k ? t ? 1 ? 0 .???????? 9 分 该方程的两根 k1 , k 2 就是两条切线的斜率,由韦达定理: k1 ? k 2 ?

8t (t 2 ? 4) . ① t 2 (t 2 ? 8)

??????????????????????????????????? 11 分 另一方面,在 y ? t ? k1 ( x ?

t2 t2 ) , y ? t ? k 2 ( x ? ) 中令 x ? 0 可得 A, B 两点的纵坐标 4 4


y1 ? t ?

y ? y2 t2 t2 t2 ? t ? (k1 ? k 2 ) , k1 , y 2 ? t ? k 2 ,故 m ? 1 2 8 4 4
4t ? t ?8
2

??????????????????????????????????? 13 分 将①代入②,得 m ?

4 8 t? t

,?????????????????? 14 分

故 m 的取值范围是 ?

2 2 ?m? , m ? 0. 2 2
7

?????????????? 15 分

22 题

x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x ) / 1 ? x (Ⅰ)函数 f ( x ) ? 的导函数为 f ( x) ? , x x2
在 ?0,??? 上考虑函数 g ( x ) ?

????1 分

x 1 1 ? ln(1 ? x) ,由 g / ( x) ? ? ? 0, 2 1? x (1 ? x) 1 ? x

可知 g ( x) 单调递减,结合 g (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ,所以, f / ( x) ? 0 ,

f ( x) ?

ln(1 ? x ) 在 ?0,??? 单调递减 .??????????????????? 3 分 x

? f (1) ? ln 2 ,

? 若 x ? 1, 则 f ( x) ? ln 2. ????????????????????????? 5 分
(Ⅱ) 要使得对任意 x ? 0, f ( x) ? 1 ? px 即

ln(1 ? x) ? 1 ? px 恒成立,首先由熟知的不 x

等式 ln(1 ? x) ? x 知 p ? 0 ????????????????????????? 7 分 令 h( x) ? ln( 1 ? x) ? x ? px ,则只要 h( x) ? 0 恒成立.???????????? 8 分
2

以下在 ?0,??? 上考虑 h( x) .

h / ( x) ?

1 ? 1 ? 2 px ? 1? x

? 2 px( x ?

2 p ?1 ) 2p .??????????????? 10 分 1? x

这里 p ? 0 ,故若 2 p ? 1 ? 0 ,则在区间 ? ? 0,?

? ?

2 p ? 1? / ? 内, h ( x) ? 0 , h( x) 单调递减,但 ? 2p ?

? 2 p ? 1? h(0) ? 0, 所以在区间 ? ? 0,? 2 p ? ? 内, h( x) ? 0 ,这与题意不符;???????12 分 ? ?
/ 反之,若 2 p ? 1 ? 0 ,则当 x ? 0 时恒有 h ( x) ? 0 , h( x) 单调递增,但 h(0) ? 0, 所以对任

ln(1 ? x) ? 1 ? px 恒成立. ?????????????14 分 x 1 综上所述, 使得对任意 x ? 0, f ( x) ? 1 ? px 恒成立的最大的 p ? ? . ???????15 分 2
意 x ? 0, h( x) ? 0 ,也就是
8

9


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