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高中数学第一章集合与函数概念1.3.1第2课时函数的最大小值教案117071825


1.3.1 第 2 课时 函数的最大(小)值 1.知识与技能 (1)了解函数的最大(小)值; (2)了解闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)在[a,b]上必有最大、最小值;了解函数的最值可能存 在的位置; (3)掌握用图象法、单调性法求函数的 最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程与方法 (1)在学习过程中,观察、归纳、表述、交流、合作,最终形成认识; (2)培养学生的数学能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. 3.情感、态度与价值观 (1)认识事物之间的区别和联系,体会事物的变化是有规律的唯物主义思想; (2)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 重点:函数最大(小)值的定义、函数的最值可能存在的位置及用图象法和单调性法求闭区间上 的连续函数的最值. 难点:最值的理解及其求解方法. 重难点的 突破:以学生熟知的二次函数为切入点,采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略. 利用数形结合思想,层层深入,通过学生自主观察、讨论、探究得出最值定理;同时,借助多媒体的直 观演示,帮助学生理解,并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导,师生互动、讲练结合,从而突出 重点、突破难点. 求函数值域的七种方法 函数的值域是函数的三要素之一,求函数的值域是深入学习函数的基础,它常涉及多种知识的综 合应用,下面通过例题讲解,多方探寻求值域的途径. 1 一、直接法(从自变量 x 的取值范围出发,推出 y=f(x)的取值范 围) 【例 1】 求函数 y= 解:因为 故函数 y= ≥0,所以 +2 的值域. +2≥2. +2 的值域为[2,+∞). 2 二、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如 F(x)=af (x)+bf(x)+c 的函数的值域问题,均可 使用配方法) 【例 2】 求函数 y=-x +4x+2(x∈[-1,1])的值域. 解:y=-x +4x+2=-(x-2) +6. 因为 x∈[-1,1],所以 x-2∈[-3,-1], 所以 1≤(x-2) ≤9. 所以-3≤-(x-2) +6≤5, 即-3≤y≤5. 故函数 y=-x +4x+2(x∈[-1,1])的值域为[-3,5]. 三、分离常数法(分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法) 2 2 2 2 2 2 【例 3】求函数 y= 的值域. 解:y= =- , 因为 ≠0,所以 y≠- . 故函数 y= 的值域为 . 四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域, 如 y=ax+b± (a,b,c,d 均为常数,且 a≠0)的函数常用此法求解 ) 2 【例 4】 求函数 y=2x+ 的值域. 解:令 t= (t≥0),则 x= , 所以 y=-t +t+1=- 2 . 因为当 t= ,即 x= 时,ymax= ,无 最小值, 所以函数 y=2x+ 的值域为 . 五、函数的单调性法(确定函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性) 【例 5】 求函数 y=x+3的值域. 随 x 的增大而增大,所以函数 解:因为当 x 增大时,1-3x 随 x 的增大而减小,- y=x+3- 在定义域 上是增函数. 所以 y≤ +3- . 故函数 y=x+3- 的值域为 . 六、利用有界性(利用某些函数的有界性求得所求函数的值域) 【例 6】 求函数 y= 的值域. 2 解:由函数的解析式可知,函数的定义域为 R,对函数进行变形可得(y-1)x =-(y+1). 因为 y≠1,所以 x =- 2 (x∈R). 3 所以解得-1≤y<1. ≥0, 故函数 y= 的值域为{y|-1≤y<1}. 七、数形结合法(利用函数图象求解函数值域) 【例 7】 求函数 y=|x+1|+|x-1|的值域. 解:由 y=|x+1|+|x-1|, 得 y= 图象如图所示. 故函数的值域为[2,+∞). 4

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