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高二第一学期第二次月考文科数学试题


清远市第一中学 2012—2013 学年第一学期第二次月考 高二文科数学试题
命题人:陈玲 说明:本试卷共 4 页,20 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。解答必须在答题卷上 进行,写在试卷上的解答一律无效。选择题填涂用 2B 铅笔,主观题须用黑色字迹的钢笔 或签字笔作答。考试结束后只交答卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.命题“若 x2 ? y 2 ,则 x ? y ”的逆否命题是( A. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ” C. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ” 2.下列命题中的假命题是( ... A. ?x ? R,lg x ? 0 ) C. )

B. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ” D. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ”

B. ?x ? R, tan x ? 1

?x ? R, x3 ? 0


D. ?x ? R,2 x ? 0

3.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( A

1 3

B

3 3

C

1 2

D

3 2

4.给定空间中的直线 l 及平面 ? ,条件“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线

l 与平面 ? 垂直”的(
A 充分非必要条件. C 充要条件.

) B 必要非充分条件. D 既非充分也非必要条件. ) D. a ? b ? ?2 ab
2

5.若 a ? b ? 0 ,则下列结论中不恒成立的是( .... A. a ? b B.

1 1 ? a b

C. a ? b ? 2ab
2 2

6.已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 , a2=1 ,则 a= ( 1



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高二第二次月考文科数学试题

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

7.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 。若 a=c= 6+ 2 ,且

?A=75? ,则 b= (
A.2

) C. 4-2 3 D. 6- 2

B. 4+2 3

8.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则该椭圆 的标准方程是( ) B。

A.

x 2 y2 ? ?1 25 16 x 2 y2 y2 x 2 ?1 ? ? 1或 ? 25 16 25 16

x 2 y2 y2 x 2 ?1 ? ? 1或 ? 25 9 25 9

C.

D。椭圆的方程无法确定

9. 已知 a >0,设 P: y ? a x 是 R 上的单调递减函数;q:函数 g ( x) ? lg(2ax2 ? 2x ? 1) 的 值域为 R;如果“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,则 a 的取值范围是( A. ( ,1) )

1 2

B. ( , ??)
n

1 2

C. (0, ] ? [1, ??)

1 2

D. (0, ) )

1 2

10. 数列{an}满足 an+1+(-1) an =2n-1,则{an}的前 60 项和为( A.3690 B。3660 C。1845 D。1830

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上.

a 11.在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3, 6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ? __________
12.巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 .

3 ,且 G 上一点到 G 的 2

13.若△ABC 的面积为 3 ,BC=2,C= 60 ? ,则边 AB 的长度等于____________.

? x ? y ? 5 ? 0, ? , 且z ? 2 x ? 4 y 的最小值为-6,则常数 14. 已知 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 ?x ? y ? k ? 0 ?
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k= . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 12 分)已经函数 f ( x) ?

cos 2 x ? sin 2 x 1 1 , g ( x) ? sin 2 x ? . 2 2 4

(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x) 的图象经过怎样的变化得出? (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最小值,并求使 h( x) 取得最小值的 x 的集合。

16. (本小题满分 12 分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机 摸取 3 次,每次摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。

17.(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,∠APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD;

18. (本小题满分 14 分)某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年 共支出 12 万元, 以后每年支出增加 4 万元, 从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f (n) 表示前 n 年的纯利润总和(f(n)=前 n 年的总收入一前 n 年的总支出一投资额). (1)该厂从第几年开始盈利? (2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到 ...... 最大时,以 48 万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种 ..... 方案更合算?

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19.(本小题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,Sn ?
*

1 n ? 3 ? 1? ( n ? N* ),等差数列 2

{bn}中,bn>0( n ? N ),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an+bn}的前 n 项和 Tn. 20.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) 交椭圆于 A、B 两 ,l 个不同点。 错误!未找到引用源。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证:直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 C 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 A 8 C 9 A 1 0 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 3

x2 y2 ? ?1 12. 36 9

13.2

14. 0

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 第 4 页 共 8 页 高二第二次月考文科数学试题

1 1 ? 1 ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) sin 2( x ? ) -------3 分 ? 2 2 2 2 4 ? 所以要得到 f ( x ) 的图象只需把 g ( x) 的图象向左平移 个单位长度,再将所得的图象 4 1 向上平移 个单位长度即可。 -------6 分 4
解:(Ⅰ) f ( x ) ? (Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 1 1 2 ? 1 cos 2 x ? sin 2 x ? ? cos(2 x ? ) ? ,-------8 分 2 2 4 2 4 4

当且仅当 2 x ?

?
4

? 2k? ? ? (k ? z ) 时 h( x) 取得最小值

1? 2 2 ,-------10 分 4
-------12 分

此时对应的 x 的集合为 ? x x ? k? ? ?

? ?

3? ? , k ? z? 。 8 ?

16. (本小题满分 12 分) 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红)(红、黑、黑)(黑、红、红) 、 、 、 、 (黑、红、黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 -----------6 分 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红)(黑、红、红) 、 、 事件 A 包含的基本事件数为 3 由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P( A) ? 17.(本小题满分 14 分) 证明: (1)连接 AC, ∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴AC 必经过 F 又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP ----- 3 分 ------2 分

3 ----------12 分 8

∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内, ∴EF∥面 PAD --------5分

(2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD, 面 PAD ? 面 ABCD=AD, 第 5 页 共 8 页 高二第二次月考文科数学试题

∴CD⊥面 PAD, 又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD

--------- 8 分 -----------10 分

又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线, ∴AP⊥面 PCD 又 AP ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD 18. (本小题满分 14 分) 解:由题意知 f ( n) ? 50 n ? [12 n ? -------12 分 ----------14 分

n(n ? 1) ? 4] ? 72 2

? ?2n 2 ? 40n ? 72 ??????3 分
(1)由 f (n) ? 0,即 ? 2n 2 ? 40n ? 72 ? 0, 解得2 ? n ? 18 ????6 分 由 n ? N * 知,从经三年开始盈利.??????????7 分 (2)方案①:年平均纯利润

f ( n) 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 16 n n

当且仅当 n=6 时等号成立. 故方案①共获利 6×16+48=144(万元) ,此时 n=6.??????10 分 方案②: f (n) ? ?2(n ? 10) ? 128. 当 n=10, f (n) max ? 128.
2

故方案②共获利 128+16=144(万元) ????????12 分 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年, 故选择第①种方案更合算. ??????????14 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (1)a1=1,an=Sn-Sn-1=3 ,n>1, ∴an=3 ( n ? N ),
n-1 n-1

????3 分 ????4 分

*

∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴a1=1,a2=3,a3=9,在等差数列{bn}中, ∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. ????5 分 ????6 分

又因 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列,设等差数列{bn}的公差为 d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0( n ? N ),
*

????8 分

∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1=3. 第 6 页 共 8 页 高二第二次月考文科数学试题

∴bn=2n+1( n ? N ).
*

????10 分

(2)由(1)知 ∴Tn=a1+b1+a2+b2+?+an+bn =(a1+a2+?+an)+(b1+b2+?+bn) ????12 分

?

1 ? 3n n ? 3 ? 2n ? 1? ? 1? 3 2
????14 分

3n 1 ? ? n 2 ? 2n ? . 2 2
解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?a ? 2b ?a 2 ? 8 ? ? 则? 4 解得? 2 1 ?b ? 2 ?a2 ? b2 ? 1 ? ?
x2 y2 ? ? 1 ?????????????????4 分 ∴椭圆方程为 8 2
(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=

1 2

? l的方程为: y ?

1 x ? m ?????????????????5 分 2

1 ? ?y ? 2 x ? m ? ? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0 ????????????7 分 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0,

解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0.......... .......... .......... .......... .......... ......... 分 8
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 ?10 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4 ????????11 分
2

????????????9 分

第 7 页 共 8 页

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则 k1 ?

y1 ? 1 y 2 ?1 , k2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

而 k1 ? k 2 ?

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? ? 0.......... .......... .......... .......... .......... 13分 .... ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? k1 ? k 2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.????????14 分

第 8 页 共 8 页

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