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高等数学课件D74空间曲线_图文


第四节

第七章

空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影

8/2/2019

高等数学

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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组

例如,方程组

S2
G(x, y, z) ? 0

L

S1
F(x, y, z) ? 0

z

表示圆柱面与平面的交线 C.

2C

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o 1y
x
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又如,方程组

z

表示上半球面与圆柱面的交线C.

ay

x

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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.

例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令? ? ? t , b ? v ?

M o
x? y

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上升高度 h ? 2? b, 称为螺距 .
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为

(2) 将第二方程变形为

故所求为

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例2. 求空间曲线 ?: 时的旋转曲面方程 .
解:
转过角度? 后到点

绕 z 轴旋转
点 M1绕 z 轴旋转, 则

这就是旋转曲面满足的参数方程 .

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例如, 直线

绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为

消去 t 和 ? , 得旋转曲面方程为

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又如, xoz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为

说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如

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三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线 C 的一般方程为

消去 z 得投影柱面

z

则C 在xoy 面上的投影曲线 C?为

C

???H

(x, y) ? z?0

0

y

消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程

???R(

y, z) ? x?0

0

消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程

x
???T

(

C?
x, z) ? y?0

0

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例如,

C

:

?

? ?x

2

?

x2 (y

? y2 ? 1) 2

? ?

z2 ?1 (z ?1)2

?

1

在xoy 面上的投影曲线方程为

? ? ?

x

2

?

2

y z

2 ?2 ?0

y

?

0

z

C

o

1y

x

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又如,

上半球面

和锥面

所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在

xoy 面上的投影曲线所围之域 .

二者交线

z

在 xoy 面上的投影曲线

所围圆域: x2 ? y2 ? 1, z ? 0.

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Co 1 y
x
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内容小结
? 空间曲线 ? 求投影曲线

三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)

思考与练习
P324 题 1,2,7(展示空间图形)

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答案: P324 题1
x ?1
(1)
y?2
z

z ? 4 ? x2 ? y2
(2)
y?x?0
z

oo

2y

1

x

o

2y

x

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(3) x2 ? z2 ? a2 x2 ? y2 ? a2
z a oa
x

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y
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P324 题2 (1)
y ? 5x ?1 y ? x?3

z

y ? 5x ?1

y ? x?3 o

y

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P324 题2(2)

z

x2 ? y2 ?1 49

y?3

2 x 思考: 对平面 y ? b

3y

交线情况如何?

交线情况如何?

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P325 题 7

z

z

ay x

ay x

???xz2??0y2 ? ax

?x2 ? z2 ? a2 (x ? 0, z ? 0) ? ?y?0

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作业 P324 3,4,5,6, 8

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第五节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 求曲线

绕 z 轴旋转的曲面与平面

x ? y ? z ? 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.

解:? 旋转曲面方程为 z ? x2 ? y2 ,它与所给平面的

交线为

?z ? x2 ? y2 ??x ? y ? z ? 1

此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为

此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为

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?x ? y ? x2 ? y2 ?1 ??z ? 0
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