伤城文章网 > 高考 > 2018版高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5

2018版高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5


3.2 均值不等式 1.了解均值不等式的证明过程. 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点) 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点) [基础·初探] 教材整理 1 均值不等式 阅读教材 P69~P71,完成下列问题. 1.重要不等式 如果 a,b∈R,那么 a +b ≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”). 2.均值不等式 ab≤ 2 2 a+b 2 (1)均值不等式成立的条件:a>0,b>0; (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 a+b 2 ,几何平均数为 ab; (2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对任意 a,b∈R,a +b ≥2ab,a+b≥2 ab均成立.( 4 (2)若 a≠0,则 a+ ≥2 2 2 ) a a· =4.( a 2 4 ) ?a+b? .( (3)若 a>0,b>0,则 ab≤? ? ? 2 ? (4)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 2 ) ) a+b 2 ≥ ab成立的条件是相同的.( ) (5)若 ab=1,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为 2.( 2 2 【解析】 (1)×.任意 a,b∈R,有 a +b ≥2ab 成立,当 a,b 都为正数时,不等式 a +b≥2 ab成立. 1 4 (2)×.只有当 a>0 时,根据均值不等式,才有不等式 a+ ≥2 a a· =4 成立. a 4 ?a+b? . (3)√.因为 ab≤ ,所以 ab≤? ? 2 ? 2 ? a+b (4)×.因为不等式 a +b ≥2ab 成立的条件是 a,b∈R;而 2 2 2 a+b 2 ≥ ab成立的条件是 a, b 均为非负实数. (5)√.因为 a>0,b>0,所以 a+b≥2 ab=2,当且仅当 a=b=1 时取等号,故 a+b 的 最小值为 2. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ 教材整理 2 均值不等式的应用 阅读教材 P70 例 1~P71 例 3,完成下列问题. 用均值不等式求最值的规律 (1)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值. (2)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个正数的积为定值,一定存在两数相等时,它们的和有最小值.( (2)若 a>0,b>0 且 a+b=4,则 ab≤4.( (3) 当 x>1 时 , 函 数 f(x) = x + 2 1 ≥2 x-1 ) ) x x-1 , 所 以 函 数 f(x) 的 最 小 值 是 x x-1 .( ) ) ) (4)如果 log3m+log3n=4,则 m+n 的最小值为 9.( 1 + (5)若 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为 .( 16 【解析】 (1)√.由均值不等式求最值条件可知. (2)√.因为 ab≤ a+b 4 2 = =2,所以 ab≤4. 2 1 (3)×. 因 为 当 x>1 时 , x - 1>0 , 则 f(x) = x + 1≥2 x-1 = (x - 1) + 1 x-1 + x- 1 +1=3. x-1 1 当且仅当 x-1= x-1 ,即 x=2 时,函数 f(x)的取到最小值 3. 2 (4)×.因为由 log3m+log3n=4,得 mn=81 且 m>0,n>0,而 所以 m+n≥18,当且仅当 m=n=9 时, m+n 2 ≥ mn=9, m+n 取到最小值 18. ?x+4y? =?1? =1,所以 x·y≤ 1 . (5)√.因为 x,y∈R ,而 4xy≤? ? ? ? 16 ? 2 ? ?2? 4 + 2 2 1 1 当且仅当 x=4y,即 x= ,y= 时取等号. 2 8 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ [小组合作型] 利用均值不等式比较代数式的大小 (1)已知 a,b,c 是两两不等的实数,则 p=a +b +c 与 q=ab+bc+ca 的大 小关系是______. (2)给出下列命题: 1 ①若 x∈R,则 x+ ≥2; 2 2 2 x ②若 a>0,b>0,则 lg a+lg b≥2 lg a·lg b; 1 ③若 a<0,b<0,则 ab+ ≥2; ab ④不等式 + ≥2 成立的条件是 x>0 且 y>0.其中正确命题的序号是________. 【精彩点拨】 (1)由于 p 是平方和的形式,而 q 是 a,b,c 两两乘积的和,联想均值 不等式求解. (2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件. 【自主解答】 (1)∵a,b,c 互不相等, ∴a +b >2ab,b +c >2bc,a +c >2ac. ∴2(a +b +c )>2(ab+bc+ac). 即 a +b +c >ab+bc+ac,亦即 p>q. 1 (2)只有当 x>0 时,才能由均值不等式得到 x+ ≥2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y x x y x x· =2,故①错误;当 a>0, x 3 1 b>0 时,lg a∈R,lg b∈R,不一定有 lg a>0,lg b>0,故 lg a+lg b≥2 lg a·lg b不 1 一定成立,故②错误;当 a<0,b<0 时,ab>0,由均值不等式可得 ab+ ≥2 ab ab· =2, ab 1 故③正确;由均值不等式可知,当 >0, >0 时,有 + ≥2 与 y 同号即可,故④错误. 【答案】 (1)p>q (2)③ y x x y y x x y y x · =2 成立,这时只需 x x y

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