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2018版高中数学北师大版选修1-1课件:第二章 2.1 抛物线及其标准方程_图文


第二章 §2 抛物线 2.1 抛物线及其标准方程 学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程. 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物线 标准方程问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 抛物线的定义 思考1 如图,在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,将一条拉链 AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下 边一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直 角边贴在直线EF上,在拉链D处放置一支粉笔, 上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线.这是 一条什么曲线,由画图过程你能给出此曲线的 定义吗? 答案 思考2 抛物线的定义中,l能经过点F吗?为什么? 答案 不能,若 l 经过点 F ,满足条件的点的轨迹不是抛物线,而是 过点F且垂直于l的一条直线. 梳理 (1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 相等 的点 的集合叫作抛物线. (2)焦点: 点F . (3)准线: 直线l . 知识点二 抛物线的标准方程 思考1 抛物线方程中p有何意义?抛物线的开口方向由什么决定? 答案 p是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线的方程中一次项决定 开口方向. 思考2 抛物线标准方程的特点? 答案 (1)原点在抛物线上;(2)对称轴为坐标轴;(3)p为大于0的常数, 其几何意义表示焦点到准线的距离;(4)准线与对称轴垂直,垂 p 足与焦点关于原点对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于 . 2 思考3 已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口 方向? 答案 一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正, 则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上.焦点确定, 开口方向也随之确定. 梳理 抛物线的标准方程有四种类型 图形 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦点坐标 准线方程 ?p ? ? ? , 0 ? ? 2 ? ? ? p ? ? ? - , 0 ? ? 2 ? ? ? p? ? ? 0 , ? ? 2 ? ? ? p? ? ? 0 ,- ? ? 2 ? ? p x=-2 p x=2 p y=-2 p y=2 题型探究 类型一 抛物线定义的解读 例1 A.圆 2 |x-y+3| 方程 ?x+3? +?y-1? = 表示的曲线是 答案 2 2 2 解析 B.椭圆 C.线段 D.抛物线 2 |x-y+3| ?x+3? +?y-1? = , 2 它表示点M(x,y)与点F(-3,1)的距离等于点M到直线x-y+3=0的 距离,且点F(-3,1)不在直线上. 根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线. 反思与感悟 根据式子的几何意义 ,利用抛物线的定义,可确定点的轨迹,注意 定义中“点F不在直线l上”这个条件. 跟踪训练1 若动圆与圆(x-2)2+y2=1相外切,又与直线x+1=0相切, 解析 抛物线 答案 则动圆圆心的轨迹是________. 由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x+1=0的距离大1, 故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线, 其方程为y2=8x. 类型二 抛物线的标准方程及求解 命题角度1 抛物线的焦点坐标或准线方程的求解 例2 已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程. (1)y2=-6x; 解答 由方程y2=-6x,知抛物线开口向左, p 3 2p=6,p=3,2=2, 3 3 所以焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2. (2)3x2+5y=0; 解答 5 将 3x +5y=0 化为 x =-3y, 2 2 知抛物线开口向下, 5 5 p 5 2p=3,p=6,2=12, 5 5 所以焦点坐标为(0,-12),准线方程为 y=12. (3)y=4x2; 解答 1 将 y=4x 化为 x =4y, 2 2 知抛物线开口向上, 1 1 p 1 2p=4,p=8,2=16, 1 1 所以焦点坐标为(0,16),准线方程为 y=-16. (4)y=ax2(a≠0). 解答 2 2 1 1 1 抛物线方程 y=ax 可化为 x =ay,当 a>0 时,2p=a,p=2a, 1 1 故焦点坐标是(0,4a),准线方程是 y=-4a. 1 1 当 a<0 时,2p=-a,p=-2a, 1 1 故焦点坐标是(0,4a),准线方程是 y=-4a. 1 1 综上,抛物线 y=ax 的焦点坐标(0,4a),准线方程为 y=-4a. 2 引申探究 1.将例2(4)的方程改为y2=ax(a≠0)结果如何? 答案 a a 焦点是(4,0),准线方程是 x=-4. 2.将例2(4)的方程改为x2=ay(a≠0),结果如何? 答案 a a 焦点是(0,4),准线方程是 y=-4. 反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判 断抛物线的对称轴和开口方向 .一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴) 是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向. 跟踪训练2 则p为 答案 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切, 解析 A.2 B.1 2 1 C.2 1 D.4 p 注意到抛物线 y =2px 的准线方程为 x=-2, 曲线x2+y2-6x-7=0, 即(x-3)2+y2=16, 它表示圆心为(3,0),半径为4的圆. ?p ? ? ? + 3 由题意得?2 ?=4. ? ? p 又 p>0,因此有2+3=4,解得p=2,故选A. 命题角度2 求抛物线的标准方程 例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2); 解答

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