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广西宾阳县宾阳中学2017-2018学年高一5月月考数学试题(含精品解析)


宾阳中学 2018 年春学期 5 月段考试题 高一数学
一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题四个选项中有且只有一个 正确.)
1. A. 【答案】B 【解析】分析:利用两角差的余弦函数和特殊角的三角函数值,即可求解. 详解:由 ,故选 B. ( B. ) C. D.

点睛:本题主要考查了三角函数的化简求值,其中熟记三角函数恒等变换的公式是解答的关键,着重考查 了推理与运算能力. 2. 已知向量 A. 【答案】B 【解析】分析:根据向量的坐标运算法则,即可得到结果. 详解:由向量 故选 B. 点睛:本题主要考查了向量的坐标表示与运算,其中熟记平面向量的坐标表示方法和向量的坐标运算法则 是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 3. 函数 A. C. 【答案】A 【解析】分析:根据要使偶次根式有意义只需偶次根式下大于等于零即可,再结合函数的图象即可求解. 详解:由题意,函数 满足 ,即 , , D. 的定义域是( B. ) ,则 , B. , C. ,则 D. ( )

结合三角函数的图象,可知在一个周期

上,满足条件的范围是

所以函数

的定义域为

,故选 A.

点睛:本题主要考查了函数的定义域的求解,其中解答中涉及到三角函数的图象与性质,以及三角不等式 的求解等知识点,着重考查了推理与运算能力,以及数形结合思想的应用. 4. 已知向量 A. B. , C. D. ,且 ,则 ( )

【答案】D 【解析】 D. 5. 已知向量 , 不共线, A. C. 且 与 同向 且 与 同向 B. D. , 且 与 反向 且 与 反向 .若 ,则( ) ,又 , ,解得 ,故选

【答案】D 【解析】分析:根据条件和向量共线的等价条件得 值即可. 详解:由题意,因为 解得 ,所以 ,所以 ,即 ,故选 D. ,得 , ,把条件代入利用向量相等列出方程,求出 和 的

点睛:本题主要考查了向量共线的等价条件,以及向量向量相等的应用,熟记向量的基本概念是解答的关 键,着重考查了推理与运算能力. 6. 已知 为第四象限的角, A. B. C. D. ,则 ( )

【答案】A 【解析】分析:利用二倍角的正弦与同角三角函数的基本关系式可得 可求得结果. ,再利用二倍角公式即

详解:由题意 所以 ,则

,平方得 , ,



因为 为第四象限角,所以 又由

,故选 A.

点睛:本题主要考查了三角函数的化简求值,其中涉及到三角函数的基本关系式和二倍角公式的应用,熟 记三角恒等变换的公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 7. 已知函数 A. B. C. D. 的最大值为 ,则常数 的值为( )

【答案】C 【解析】分析:先利用诱导公式和二倍角公式化简整理,整理函数的解析式,利用正弦函数的性质求解函 数的最大值的表达式,即可求解 的值. 详解:由题意



又因为函数的最大值为 ,所以

,解得

,故选 C.

点睛:本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用,解答中利用三角恒等变换的公式和辅助角公式化简 为 8. 已知 ( A. ) B. C. D. ,再利用三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 中, , , 所在平面内的一点 满足 ,则

【答案】A 【解析】试题分析:因为 = = , = ,故选 A. ,所以 , ,所以 =

考点:1、平面向量的加减法运算;2、平面向量的数量积运算.

9. 在 A.

中, B. C. D.

,则 等于(



【答案】C 【解析】分析:利用两角和的正切公式,求出 即可. 详解:由 则 因为 位三角形的内角,所以 , , ,所以 ,故选 C. 的三角函数值,求出 的大小,然后求出 的值

10. 将函数 A. B. C. D.

的图象向右平移 个单位长度,得到函数

的图象,则





【答案】B 【解析】分析:将函数进行化简,求出 解. 详解:由题意 将 所以 的图象向右平移 个单位,得 ,故选 B. , , 的解析式,结合三角函数点图象和性质,平移求出 ,即可求

点睛:本题主要考查了三角函数的图象和性质,以及三角函数的图象变换,其中利用三角函数恒等变换的 公式将函数进行化简是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题. 11. 已知向量 A. 【答案】C 【解析】分析:根据向量的数量积的运算,得到 值和最小值,得以求解. 详解:由题意,因为 , 表达式,利用三角函数的图象与性质,即可求解其最大 B. , C. , D. ,则 的取值范围是( )

所以 因为 当 当 所以 ,所以 时,即 时,即 的取值范围是 时, 时, ,故选 C. , ; ,



12. 已知函数 , A. 【答案】D 【解析】分析:根据两角和的正弦公式化简得 B. ,则 , , 的大小关系是( C. D.

, 其中 为实数, 且 )

对任意

恒成立, 记



,结合题意求得

,得到函数

,由此利用三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性加以计算,即可得到求解. 详解:由题意,函数 因为 即 由此可得 对任意实数恒成立,所以 ,解得 ,即 , , 是 , 的最大值, ,

由三角函数的图象与性质,可得

,故选 D. 的解析式,利用三角

点睛:本题主要考查了三角函数值的比较大小问题,其中根据题设条件,得到函数

函数的诱导公式和三角函数的性质是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与计 算能力.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置上)
13. 已知向量 , 满足 【答案】 . ,所以 , ,所以 ,所以 . , ,再利用向量的夹角公式,即求解. ,则向量 , 的夹角等于__________.

【解析】分析:由 详解:由题意 则 又由

点睛:本题主要考查了相交的数量积的运算和向量的夹角公式的应用,熟记向量的运算公式是解答的关键, 着重考查了推理与运算能力. 14. 已知向量 , 的夹角为 【答案】 . ,由 在 上的投影为 ,即可求解. , .若 ,则 在 上的投影为__________.

【解析】分析:因为向量 和 的夹角为 详解:因为向量 和 的夹角为 所以 在 上的投影为 又由 所以 在 上的投影为 ,所以 . , ,

,解得



点睛:本题主要考查了 在 上的投影的计算,以及向量的数量积的运算等知识点,解答中注意认真审题,对 立向量的条件合理运算,同时熟记向量的化简、运算公式是解答的关键,着重考查了推理与计算能力. 15. 【答案】 . __________.

【解析】分析:利用两角和差的三角公式,把非特殊角转化为特殊角,化简即可求解答案. 详解:由题意

点睛:本题主要考查了三角函数化简求值问题,以及两角和差的余弦函数的应用,解答中关键是非特殊角 转化为特殊角,互相约分求解,着重考查了推理与运算能力. 16. 在平面直角坐标系 且 下性质: ①该函数的值域为 ; ,定义: 中,已知任意角 以坐标原点 为顶点, 轴的正半轴为始边,若终边经过 ,称“ ”为“正余弦函数”.对正余弦函数 ,

,有同学得到以

②该函数的图象关于原点对称; ③该函数的图象关于直线 对称;

④该函数为周期函数,且最小正周期为 ; ⑤该函数的单调递增区间为 .

上述性质正确的是__________. (填上所有正确性质的序号) 【答案】①④⑤. 【解析】分析:根据“正余弦函数”的定义得到函数 分别进行判断即可得到结论. 详解:①中,由三角函数的定义可知 所以 ②中, ③中,当 ④中, ⑤中,因为 得 时, ,所以 , ,所以是正确的; ,所以函数关于原点对称是错位的; ,所以图象关于 对称是错误的; ,然后根据三角函数的图象与性质

,所以函数为周期函数,且最小正周期为 ,所以是正确的; ,令 ,即函数的单调递增区间为 , ,所以是正确的,

综上所述,正确命题的序号为①④⑤. 点睛:本题主要考查了函数的新定义的应用,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中根据函数的 新定义求出函数 的表达式是解答的关键,同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础,

着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 已知两个不共线的向量 , ,满足 并判断此时向量 与向量 【答案】 , , 与 是否垂直. 垂直.



,它们的夹角为 .求

的最小值及对应的实数 的值,

【解析】分析:由题意,根据向量的运算得 最小值及对应的 的值,又由 详解:∵ ∴ ∴当 ∵ ∴ 与 垂直. 时, 取最小值,最小值为 . , , , ,即可得到 与 垂直.

,利用二次函数的性质即可求解

点睛:本题主要考查了向量的垂直关系的判定,以及向量的数量积的运算,其中解答中利用向量的数量积 的运算,转化为二次函数求最值是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题. 18. 已知向量 , , .

(1)若 与 的夹角为 ,求 的值; (2)设 【答案】(1) (2) . , . ,求得 , , ,化简得 ,得 . , 的最小值为 ,即可得到实数 的取值范围. ,根据题意得 ,即可求解 的值; ,若存在 . ,使不等式 成立,求实数 的取值范围.

【解析】分析: (1)依题意, 因为 ,所以 ,得

(2)依题意,化简得 详解: (1)依题意, 由 因为 ,即 ,所以

(2)依题意,

, ,



,∴

,故

的最小值为 .



所以实数 的取值范围是

点睛:本题主要考查了向量的数量积的运算,以及三角函数的性质的应用,其中熟记三角函数的图象与性 质和向量的运算公式是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题. 19. 已知函数 (1)求 函数的解析式; , . . 的最小正周期为 ,求得 ,再由 ,求得 ,即可得到函数 ,求 的值. ,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,且经过点 .

(2)若角 满足 【答案】(1) (2) 或

【解析】分析: (1)由已知, 的解析式; (2)由 详解: (1)由已知, 又∵ 所以 (2)∵ 即 ∴ ∵ , ,∴ 或 . ,即 . ,得 , ,得

,化简得 ,

,即可求解答案.

的最小正周期为 ,∴ ,∴ ,



点睛:本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用,熟记三角函数的图象与基本性质是解答的关键,着 重考查了推理与运算能力. 20. 已知向量 ,向量 , ,求:

(1)

的最小正周期及单调区间; ,使角 , 是方程 的最小正周期等于 , . . ,在利用三角函数的图象与性质,即可求解函数 的两不等实根?若存在求内角 的大小,若不存在说明理由. ,

(2)是否存在 【答案】(1) 单调减区间为

的单调递增区间为

(2) 对任意整数 ,不可能存在 , 满足方程 【解析】分析: (1)由题意,化简得 的最小正周期和单调区间; (2)由 , 详解: (1) ∴ 由 由 的单调递增区间为 单调减区间为 (2)由 ∴ 得 ∵ 或 , , ,即 或 , , . , , . 的最小正周期等于 . ,得 ,得 , ,即 , ,解得 或

,再根据

,即可得到结论. ,

, ,

∴对任意整数 ,不可能存在 , 满足方程

点睛:本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用,以及三角方程的求解,其中根据三角函数的图象与 性质,正确求解三角方程的解,作出合理判断是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以 及推理与计算能力,试题有一定的难度,属于中档试题. 21. 如图所示,在 中, , , 与 相交于点 ,设 , .

(1)试用向量 , 表示 (2)过点 作直线 【答案】(1) (2)证明见解析.

; , 于点 , .记 , ,求证: 为定值.

,分别交线段 .

【解析】分析: (1)由 , , 三点共线,设 ,列出方程组,即可求解 (2)由 , , 三点共线,设 由(1)可求得 , ,即可得到 为定值. 的值,得到结论;

,由 , , 三点共线,可设



详解: (1)由 , , 三点共线,可设 由 , , 三点共线,可设 ,





,解得







. , , ,

(2)∵ , , 三点共线,设 由(1)知 ∴ , ,∴

为定值.

点睛:本题主要考查了平面向量的共线定理的应用,以及平面向量的线性运算,其中根据三点共线,合理 设出向量,列出方程组求解是解答本题的关键,同时要熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答向量 问题的基础,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题. 22. 已知函数 的图象是由函数 的图象经如下变换得到:先将 图象上所有点的纵坐标伸长到

原来的 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图象向右平移 个单位长度.

(1)求函数

的解析式,并求其图象的对称轴方程; 在 内有两个不同的解 、 .

(2) 已知关于 的方程 (i)求实数 的取值范围; (ii)证明: 【答案】(1) (2)(i) , .

的对称轴方程为

.

,(ii)证明见解析. 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 的图像,故 ,从而函数

【解析】解法一: (1)将 的图像,再将

的图像向右平移 个单位长度后得到

图像的对称轴方程为 (2)1) (其中 依题意, 2)因为 所以 当 当 时, 时, 是方程 , 在区间 ) 内有两个不同的解 在区间 . 当且仅当 ,故 m 的取值范围是 .

内有两个不同的解,

所以 解法二: (1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为 所以 当 当 所以 时, 时, 是方程 , 在区间 . 内有两个不同的解,

于是

考 点 : 1 、 三 角 函 数 图 像 变 换 和 性 质 ; 2 、 辅 助 角 公 式 和 诱 导 公 式.


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