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2019-2020年高考数学复习 第85课时 第十章 排列、组合和概率——二项式定理(2)名师精品教案


2019-2020 年高考数学复习 第 85 课时 第十章 排列、组合和概率——二

项式定理(2)名师精品教案

一.复习目标: 1.能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和.

2.能熟练地逆向运用二项式定理求和.

3.能利用二项式定理求近似值,证明整除问题,证明不等式.

二.课前预习:

1.的展开式中无理项的个数是

84

85

86

() 87

2.设 f (x) ? x5 ? 5x4 ? 10 x3 ?10 x2 ? 5x ? 1 ,则等于

()

3.如果1

?

2C

1 n

? 22 Cn2

?

?

?

2

n

C

n n

? 2187

,则 Cn0

?

C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

C

n n

? 128.

4.1 ?

1 2

Cn1

?

1 3

C

2 n

? ? ? (?1)n

n

1 ?

1

Cnn

=.

5.展开式中含的项为.

6.若 (1 ? 2x)100 ? a0 ? a1 (x ? 1) ? a2 (x ? 1)2 ? ? ? a100 (x ? 1)100 ,

则.

四.例题分析:



1.已知是等比数列,公比为,设 S n?

a1

?

a 2 C n1

?

a3C

2 n

???

a

Cn
n?1 n

(其中),且

S

1 n

?

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

C

n n

,如果存在,求公比的取值范围.

解:由题意,, Sn ? a1 ? a1qCn1 ? a1q 2Cn2 ? ? ? a1q nCnn ? a1 (1 ? qCn1 ? q 2Cn2 ? ? ? q nCnn ) ? a1 (1 ? q)n

(q ? 0)

∴ Sn

S

1 n

?

a1(1 ? q)n 2n

?

a1

(1

? 2

q

)

n

.如果存在,则或,

∴或,故且.

例 2.(1)求多项式 (3x 4 ? x3 ? 2x ? 3)102 ? (3x ? 5)4 ? (7x3 ? 5x ?1)67 展开式各项系数和.
(2)多项式 x1000 ? x ? (?x3 ? 2x 2 ? 2)1000 展开式中的偶次幂各项系数和与奇次幂各项系数
和各是多少?
解:(1)设 f (x) ? (3x4 ? x3 ? 2x ? 3)102 ?(3x ?5)4 ?(7 x3 ?5 x ?1) 67

? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ? an xn

(n ? N ) ,

其各项系数和为.

又∵ f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? an ? (3 ?1 ? 2 ? 3)102 ? (3 ? 5)4 ? (7 ? 5 ?1)67 ? 16 ? 3102 ,

∴各项系数和为.

(2)设 f (x) ? x1000 ? x ? (?x3 ? 2x 2 ? 2)1000 ? a0 ? a1 x ? ? ? a3001 x3001 ,

∴ f (1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a3001 ? 0 , f (?1) ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a3001 ? 2 ,故,,
∴展开式中的偶次幂各项系数和为 1,奇次幂各项系数和为-1.

例 3.证明:(1);

(2)

2C

0 2n

?

C

1 2n

?

2C

2 2n

? C23n

?

?

?

C

2 n ?1 2n

?

2C

2n 2n

? 3 ? 22n?1;

(3);(4)

C

1 n

?12

?

C

2 n

? 22

?

?

?

C

n n

? n2

?

n(n ? 1) ? 2n?2

由(i)知

小结:

五.课后作业:

1.若的展开式中只有第 6 项的系数最大,则不含的项为( )

462

252

210

10

2.用 88 除,所得余数是

()

0

1

8

80

3.已知 2002 年 4 月 20 日是星期五,那么天后的今天是星期



4.某公司的股票今天的指数是 2,以后每天的指数都比上一天的指数增加,则 100 天后这

家公司的股票指数约为 2.442(精确到 0.001).

5.已知 (3 ? 2x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ?a5 x5 ,则

(1)的值为 568;(2)| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? | a4 | ? | a5 |? 2882.

6.若和的展开式中含项的系数相等(,),则的取值范围为

7.求满足

C

0 n

? Cn1

?

2C

2 n

? 3Cn3

? ? ? nCnn

?

500

的最大整数.

原不等式化为 n·2n-1<499 ∵27=128,∴n=8 时,8·27=210=1024>500.
当 n=7 时,7·26=7×64=448<449. 故所求的最大整数为 n=7.

8.求证:

(C

0 n

)

2

?

(C

1 n

)

2

?

(C

2 n

)

2

?

?

?

(C

n n

)

2

?

C

2 2n

证明 由(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n,两边展开得:

比较等式两边 xn 的系数,它们应当相等,所以有:

9.已知(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中系数最大的 项.
∴ n=15 或 n=-16(舍) 设第 r+1 项与第 r 项的系数分别为 tr+1,tr ∴tr+1≥tr 则可得 3(15-r+1)>r 解得 r≤12 ∴当 r 取小于 12 的自然数时,都有 tr<tr+1 当 r=12 时,tr+1=tr


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