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三角形中的一个有趣的向量结论


2 0 1 4 年第 4 期 

福 建中学数学 

5  

+ 6 +   ≥ 3 , 求 证 ∑   2 南 + l f _ r   +   b   1 + 二   a b ≤   - r  
∑   2+  
参 考文 献  [ 1 】 侯典峰. 一道 伊 朗 国家 选 拔考试 题 的证 明 . 数 学通讯 ( 下 ), 2 0 1 0( 3 ):  
6 2 . 6 3  

2 01 0( 8 ) :6 1  

『 4 1 范花妹 , 秦庆雄 . 一道伊朗国家选拔考试题的再推广. 数学通讯 ( 下),  
2 0 1 0( 1 2 ) :5 6 — 5 7  

[ 5 ] 安 振 平 ,王峰 . 常 数化 参 凸显一 般—— 一 道伊 朗 国家选拔 赛 不等 式题 
的推 广 .中 学数学 ,2 0 1 3( 5 ) :7 9  

( 口 2 +6   1 +   日 6‘  
9 3  

[ 6 ] 杨路, 夏 壁灿 . 不 等 式机器 证 明与 自动 发现 . 北京 : 科学 出版 社 , 2 0 0 8 :  
1 】 7   1 4 2  

9 3  

[ 7 】 何灯 .3元 n次对称多项式的平方型分拆及其他 .佛山科学技术学院 
学报 ,2 0 1 0 ,2 8( 4 ) :5 1 - 5 7   [ 8 ] 何灯 . 一 类三 元对 称分 式 的平方 型分 拆及 其程 序实 现 .汕头 大学 学报 ,  
2 0 1 1 ,2 6( 1 ) :3 5 - 4 2  

[ 2 俨 泽芬, 厉倩. 一道伊朗国家选拔考试题的推广.中学数学研究, 2 0 1 0  
( 1 0 ) :4 6  

[ 9 ] 杨 路 .差 分代 换 与不 等 式机器 证 明 .广州 大学 学 报 ,2 0 0 6 ,5 ( 2 ):  
1 . 7  

[ 3 ] 王建荣,方明.一道伊朗国家选拔考试题的推广.数学通讯 ( 下),  

三 角形 中的一个 有趣 的 向量结论 
刘开明   福建省仙游金石中学 ( 3 5   1 2 0 0 )  
所 以点 P在 B C的 中线 A D上 ,  
且 一 P C =2 P D ,P A+P B=2 P D,  

在 高三复 习过程中,经常会看到三角形与向量  的综合题 .为此 ,王老师特地在文[ 1 ] 中对三角形 中   与重心、外心、 内心、垂 心有关的向量等式做 了研  究 ,得 出 了以下 四个 结论 :   ①若 P是 A A B C的重心,则  + 葡 + F - d: 0.  
②若 P是 A A B C的外心, 则s i n 2 A . 砀+ s i n 2 B . 丽 
+s i n2C .   :0.  

故  + P B+ P C=0.  

引理 2设点P是 A A B C内一点 , 则点 P是  c  
的重 心 营 伽c=   c=   口.  
证 明略 .  

定理 设 点 P是 A A B C内一点 ,且 ? P A+Y ? P B  
+ z ? P C=0,则  : Y: Z =   c :   c:   口.  

③若 P是 A A B C的内心,则 口 . — P A + b . 历 + c .  


0.  

证 明 如图 1 ,分 别延 长  , P B, P C至 A   , B   ,  

④若 P是 
+t a nC .   :0 .  

c的垂心,则 t a n A . P 一 A+ t a n B. 两 

c   ,使 得 P A   =x P A, P B   =y P B, P B   =z P C,   则  + 朋  +P C   :0   . P是  ~ BC   的重 心 ,  
且S  B   C   =S   P   c   =S 、 P   B , .  
1  

这 四个 结论 相 互 独 立 ,记 忆 麻 烦 .笔者 想 ,要 

是能把这几个结论统一成一个 ,那就完美了 .经过  番 研 究 ,笔 者 找 到 了 方法 ,现将 之 整 理 如下 ,供  读者共享 ,不足之处请指正.  


PB . PC . s i nZBPC 
, )  



S  



. . .  : . — —  。 . . . . . . , . — — — . . . . . .   . . . . . . .   .  . . . . . —.  

船 , . PC' . s i nZB' PC,  
2  


引理 1设点 尸是 A A B C内一点 , 则砀 + 丽+  


0   尸是 

c的重 心 。  

尸 . PC  l   l   PB' —C' P   — y z —   — x y — z‘  -  

证 明 先 证  +胎 +P C=0= = >P是 & d B C 的 重  心.? . ? P 一 A+ 两 +   =0’ . . . P 一 A+ 丽 =一   ,  
设A B的中点 为 D ,则  + P B:2 P D,  

f  S  B C:  . x. S  x y z  

.  

同理  c:一 1

. 

.  

从而 - P C= 2 P D ,. ? . P, C, D三点共线 ,即点 尸  

,  

X y Z  

在 B的中线上, 同理点 P在 B C的中线上 , 从而 P是 
A A B C的重 心 .  

S  A B: 
x y z  


S  

再证 P A+ 朋 + P C=0   P是 A A B C的重心 .   设A B的 中点为 D , ’ . ‘ P是 A A B C的重心 ,  

X  Y t   z: S  B C: S  A C  S   B.  

推 论 1如 图 2 ,设 点 P是 Z k 4 B C外 心 ,则 

6  
s i n 2 A厕 P A+ s i n 2 B. 两 + s i n 2 c.   :0.  

福建中学数 学  

2 0 1 4年第 4 期 

A. 一 1  
3  


. 一

1  
4  




三  
5  

D. — 4
—  

5  

解析 由   =   5   +   5   ,  
c,  

可得 砀 +  ( 葡 一 P 一 A ) +  (   一 N) -  
图2   图3  
^  ^  1  


图1  

证明 ‘ . ‘ P是 A A B C外 心 , . ? . P A=P B=P C,  
叉S  B c =  ? P B? P C? s i n Z B P C  
=   ?

=P A += P B 十  PC : 0 .   5   5   5  

由  :  

+  

,  

PB. PC . s i  

,  

可 得  + 专 (  一  ) +   (  ~ 一 Q A )  
:  +

S  A C=   ‘ PA ? PC ? s i n2 B,  
1 2  

三 两+  
3   4  

: 口

.  

s  A B=  ‘ PA ? PB ? s i n2 C ,  
‘ .

进而 由定理可 知 :  
:   =  +  +   ,  

.  

c:  

c:  

口=s i n2 A: s i n2 B: s i n2 C .  

由定理 可 得 :   s i n 2 A   P A+ s i n 2  . 两 + s i n 2 C.   :0.  

=  

推论 2设点 P是 

c内心, a , b , C 为 A, B, C  
?

: ‘   1 + ; +   1 =   1 ,  

=   .

的对边 ,贝 0 a ? P A+ b ? P B+C ? P C=0.  



. 

:  



  :  

选 D.  

推论 3设点 P是 A A B C 垂心,则 t a n A . P A 。 +  
t a nB . PB + t 一 a nC . PC : 0 一
. 

例 3 已 知 
若  =   否+  

c 中 A, B, C 的 对 边 分 别 为 
C, a, b依 次 成等   数 劢I .  

a} b, C。 I县   BC的 内 

上述结论在解题 中应用广泛 ,以下例说之.   例 1( 2 0 0 4 全国高中数学联赛一试 4 ) 设点 O在  A A B C的 内部 ,且有  + 2 0 B+ 3 0 C=0, 则z X A B C的 
面积 与 Z  ̄ t O C的面积 的 比为(   )  

,贝 0 x +y =  

解析 ’ . ’ , 是& d B C的内心 ,   Z i + 6 . Z   +c . I — C —:0.  
?
. . . 


- _ 。



 

又‘ . ‘  ,=x A B+y AC 
3  


A .2   B .三  
2  




3  

D.三  

x ( m— I A ) + y ( i C一  ) +I A   ( 1 一 X —  )  + x I B+y I C=0,  
一 '   一 ’  

解析 S  c :  D c = ( 1 + 2 + 3 ) : 2 = 3 , 选C 。  
例2 ( 2 0 1 1 年武汉大学 自主招生)设 P,Q是 

且C , a , b 依次成等差数列 ,   + Y = 2 ( 1 一   — Y ) ,  

z  ̄ 4 B C 内 的 两 点, 且一 A P : 导  + {  ,   = 要  
)   j 
1  

解得x +  = ÷. 故填 .  
参考文献  [ 1 ] 王 福利 .三 角形 的“ 心” 与 向量 .中学数 学 研究 ,2 0 1 3( 3上 ) :4 1 _ 4 2  

+ ÷   c, 则A A B P与  B Q的面积之比为 (   )  

G e o Ge b r a 软件 在高 中数学教学 中的应用举例 
张志勇  江苏省常州市第五 中学 ( 2 1 3 0 0 1 )   现代教育的方式、理念等等 .自然地 ,顺应时代潮  流 ,应用技术推动学生的数学学习,正成为每一个  数 学教 育工 作者 的重 要课 题 .     .

科学技术 的迅猛 发展 ,正对我们的社会交往 、   沟通交流、信息获取等产生着重大而深远的影响 ,   也 为 现代 教 育 注 入 了新 的 生机 和 活力 ,深 刻影 响着 


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