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28-第二章 平面向量小结与复习(1)


复习课 第二章 平面向量(一)

教学目标
重 点: (1)理解向量的相关概念和向量的线性运算. (2)能利用有向线段和坐标法进行向量的线性运算. (3)理解平面向量基本定理,并会应用向量解决相关问题. 难 点:向量与数量的区别,向量共线的充要条件及应用,利用向量解决几何问题.

能力点:利用数形结合和转化的思想解决问题. 教育点:培养学生解决问题中思维的严密性. 自主探究点:利用向量解决几何问题. 易错点:向量共线的充要条件及应用.

学法与教具
1.学法:自主学习、合作探究 2.教具:多媒体,投影仪,三角板

一、 【知识结构】
概念 基本概念 表示方法 特殊的向量与关系 共线向量、相等(反)向量

零向量、单位向量

向 量

基本运算 (线性运 算)

加法 减法 数乘

共线定理 定理 平面向量基本定理
1

二、 【知识梳理】
(一)基本概念:
1.向量及其表示方法: (1)向量:既有大小又有方向的量. 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. (2)向量的表示方法:①图形表示:有向线段;②字母表示: a ? AB , | a |?| AB | ; ③坐标表示: a ? OA ,点 A 的坐标是 (x, y) ,则 a ? OA = (x, y) ;

?

?

?

?

? ? (x1 , y1 ) ,点 B 的坐标是 (x2 , y 2 ) ,则 a ? AB = (x2 ? x1 , y 2 ? y 2 ) . a ? AB ,点 A 的坐标是
2.两个特殊的向量: (1)零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行,

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? a ? a ? 0 ? a , ?0 ? 0 , 0 ? a ? 0 .
(2)单位向量:模为 1 个单位长度的向量.与非零向量 a 共线的单位向量 a ? ? ? 3.三种特殊的关系: (1)平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (3)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

a |a|

.

(二)基本运算(线性运算) : 运 算 图形语言 符号语言
?? ?

坐标语言
?? ?

OA + OB = OC

?? ?

?? ?

?? ?

记 OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y 2 ) 则 OA + OB = ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
?? ? ?? ?

加法与减法

OB - OA = AB

?? ?

?? ?

?? ?

AB ? OB - OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
?? ?

???

?? ?

OA + AB = OB

?? ?

?? ?

2

实数与向量 的乘积

?? ?

AB = ? a
??R

?

记a = (x, y) , 则? a = (?x, ?y)
?

?

3.基本定理(平面向量基本定理) : 如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量 a ,有且只有一对 实数 ?1 , ? 21 ,满足 a = ?1 e 1 + ?2 e 2 . 4.等价条件(共线向量定理) :如果有一个实数 ? 使 b ? ? a(a ? 0), 那么 b 与 a 是共线向量;反 之,如果 b与a(a ? 0) 是共线向量,那么有且只有一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y 2 ) ,则 a ∥ b ? b ? ? a ? x2 y 2 ? x2 y1 ? 0 .
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

三、 【范例导航】
题型一:向量的概念问题 例 1 下列命题中正确的个数是
.

(1)向量就是有向线段; (2)零向量没有方向; (3)若向量 a与b 同向,且 | a |?| b | ,则 a ? b ; (4)所有 的单位向量都相等; (5)向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A, B, C , D 必在同一条直线上;(6)若 a || b , (7)若 ? a ? 0 ,则 ? ? 0 . c || b ,则 a || c ;

【分析】准确把握向量的有关概念解答这些结论.(1)有向线段是向量的表示方法,所以向量不是有 向线段; (2)规定零向量的方向是任意的; (3)向量的模可以比较大小但是向量不可以比较大小; (4) 相等向量既要大小相等又要方向相同,而单位向量仅大小相等; (5)表示共线向量的有向线段所在直线
可能重合也可能平行;(6)零向量与任意向量平行并且方向任意,所以 a, (7)根据实数与 c 不一定平行; 向量的乘积的定义, ? a ? 0 时 a 可能是 0 .

【解答】正确的个数是 0 个. 【点评】平面向量中的基本概念比较多,正确理解这些概念是解决平面向量问题的基础,对于 这些概念都应该从“数”和“形”两个方面理解.
变式练习:1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由 ①任一向量与它的相反向量不相等;②四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ③一个向量方 向不确定当且仅当模为 0;④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同;⑤任意两个相等的非零向量的 始点与终点是一平行四边形的四顶点;⑥有相同起点的两个非零向量不平行.

题型二:向量的线性运算问题 例 2 (1)已知平行四边形 ABCD ,则 AB ? AD ?
3

, AB ? AD ?

,

(2) AB ? AC ? CB ? BA ? (3) 已知 OM ? _________. (4)已知 OM ? (1 ? )OA ?

1 (OA ? OB ) ,则点 M 是 AB 的_______;若点 A ( 2,?5, ), B(1,?7) , 则 M 的坐标为 2 1 3 1 OB ,则 AM ? 3

AB

(5)已知 A(2,1), B(?3,?2) , AM ?

2 AB ,则点 M 的坐标为_______. 3

【分析】可以结合向量加减法的平行四边形法则和三角形法则作图解决(1) 、 (2)两题,并得出 (3) 、 (4)条件的几何意义,有利于解决问题. 题(5)可以用待定系数法设出点的坐标,也可以用向 量的坐标的意义,利用向量的几何意义表示结果. 【解答】 :(1) 在平行四边形 ABCD 中,由向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则得:

AB ? AD ?DB , AB ? AD ? AC .
(2)由向量加法的三角形法则得: AB ? AC ? CB ? BA ? AB ? ( AC ? CB) ? BA ? AB ?

AB ? AB ? 3AB
1 (OA ? OB ) 知,在平行四边形 OACB 中, M 是对角线 2 3 OC 的中点,所以也是对角线 AB 的中点.利用中点坐标公式得点 M 的坐标是 ( , - 6) . 2
(3)由向量加法的平行四边形法则和 OM ?
(4)由 OM ? (1 ? )OA ?

1 3

1 1 OB 得: OM ? OA ? ? (OA ? OB ) ,由向量减法的三角形法则可得: 3 3

1 1 AM ? ? BA ,即: AM ? AB . 3 3
(5)解法一:因为 AM ?

2 2 AB ,所以设 O 是坐标原点, OM ? OA ? (OB ? OA ) ,即: 3 3

OM ?

2 1 OB ? OA .又因为 A(2,1), B(?3,?2) ,所以 OA ? (2, .所以 1 ), OB ? (- 3, - 2) 3 3 2 1 2 1 4 4 OM ? OB ? OA ? ( - 3, - 2) ? (2,1) ? (- , - 1) ,所以点 M 的坐标是 ( ? ,?1) . 3 3 3 3 3 3

(x, y) ,因为 A(2,1), B(?3,?2) ,所以 AM ? ( x ? 2, y ? 1) , 解法二:设点 M 的坐标是

AB ? (?3 ? 2,?2 ? 1) ? (?5,?3) .又因为 AM ?

2 2 AB ,所以 ( x ? 2, y ? 1) ? (?5,?3) ,所以 3 3

10 ? 4 4 ?x ? 2 ? ? ? 3 ,解得 x ? ? , y ? ?1 .所以点 M 的坐标是 ( ? ,?1) . 3 3 ? ? y ? 1 ? ?2

4

【点评】给出这组题的目的是,在复习向量的线性运算时,巩固坐标运算和其相关的几何表示,并且要会 结合在一起使用.题(5)可以用待定系数法设出点的坐标,也可以用向量的坐标的意义,利用向量的几 何意义表示结果.
变式练习:在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD =
1 3

CA + ? CB ,则 ? =

.

2 答案: 3
题型三:向量的共线问题
例 3 设直角坐标平面上有三点 A, B, C , i , j 分别是坐标平面上 x 轴, y 轴正方向的单位向量,

若向量 AB = i -2 j , BC = i +m j ,那么是否存在实数 m ,使 A, B, C 三点共线? 【分析】可以假设满足条件的 m 存在,由 A, B, C 三点共线 ? AB ∥ BC ? 存在实数 ? ,使 AB = ? BC ,从而建立方程来探索.又由于给出了 i , j 分别是坐标平面上 x 轴, y 轴正方向的单位向量, 也可以用坐标法表示这个条件. 【解答】 :解法一:假设满足条件的 m 存在,由 A, B, C 三点共线,得 AB ∥ BC , ∴存在实数 ? ,使 AB = ? BC , 即: i -2 j = ? ( i +m j ) ,

?? ? 1 ? ??m ? ?2

∴ m ? ?2 .∴当 m ? ?2 时, A, B, C 三点共线.

解法二:假设满足条件的 m 存在,根据题意可知: i ? (1,0) , j ? (0,1)

( 1,0) -( 2 0,1 ) ? ( 1, - 2) ( 1,0) ? m(0,1) ? (1, m) , ∴ AB = i -2 j ? , BC = i +m j ?
由 A, B, C 三点共线,即 AB ∥ BC ,得 ∴当 m ? ?2 时, A, B, C 三点共线. 【点评】向量共线定理给出的是个等价条件,注意题目中给出的条件是哪一方,能推出什么样的结 论,一般利用向量解决三点共线问题的理论依据是共线定理 .本题给出了 i , j 分别是坐标平面上 x 轴,

1 ? m ? 1 ? (?2) ? 0 ,解得 m ? ?2 .

y 轴正方向的单位向量,可以考虑坐标形式表示向量共线定理.
5 },y ?{ 2, 4, 6, 8 } ,则满足条件的不共线的向量共有 变式练习:已知向量 a ? { x, y } ,其中 x ?{ 1, 2, 4,
_________对.

答案:12 题型四:平面向量基本定理的应用 例 4 在 ?ABC 中,点 M 在 BC 边上且满足 CM ? 3MB ,设 AB ? a, AC ? b, 试用向量 a, b 表示向 量 AM .
5

【分析】作图分析,将所要表示的向量放在三角形中考虑向量加减法的三角形法则. 【解答】 :因为 BC ? AC ? AB ? b ? a ,又 CM ? 3MB ,所以 BM ? 所以 AM ? AB ? BM ? a ?

1 1 BC ? (b ? a) , 4 4

1 1 3 (b ? a) ? b ? a 4 4 4

【点评】由平面向量的基本定理知:同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的 线性组合,表示时注意数形结合,利用向量加减法法则即可解题. 变式练习:在 ?ABC 中, H 为 BC 上异于 B, C 的任一点,点 M 为 AH 的中点,若

AM ? ? AB ? ? AC ,求 ? ? ? 的值.
答案:

1 2

四、 【解法小结】

1.数学思想: 本章用到的数学思想方法主要有数形结合的思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想. 2.数学方法: 本章涉及到许多数学方法,例如:例 2 求点的坐标时用到待定系数法,例 3 求参数时列方程的方 法等.
五、 【布置作业】 必做题: 1.下列命题正确的是( ) A.若 | a |? 0 ,则 a ? 0 C.若 a || b ,则 | a |?| b | B.若 | a |?| b | ,则 a ? b 或 a ? ?b D.若 a ? 0 ,则 ? a ? 0

2.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(?2,1) 、 B(?1,3) 、 C (3,4) ,则顶点 D 的坐标为( ) A. (1,2) B. ( 2,2) C. (2,1) D. (?2,?2)

3.设 | a |? m(m ? 0) ,与 a 反向的单位向量是 b0 ,则 a 用 b0 表示为 A. a ? mb0 B. a ? ?mb0 C. a ?

1 b0 m

D. a ? ?

1 b0 m

4. D, E, F 分别为 ?ABC 的边 BC, CA, AB 上的中点,且 BC ? a , CA ? b ,下列命题中正确命题的个 数是( ) ① AD ? ?

1 1 1 1 a ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b ;④ AD ? BE ? CF ? 0 。 2 2 2 2
B.2 个 C.3 个
6

A.1 个

D.4 个

5.化简: CE ? AC ? DE ? AD =__________。 6.如图,设 O 为 ?ABC 内一点, PQ ∥ BC ,且

? ? ? ? ? OB ? b , OC ? c ,试用 a , b , c 表示 OP, OQ .
答案: 1-4 D, B, B, D t) a +t b 5 0;

? PQ ? t , OA ? a , BC

6 OP =(1-t) a +t b , OQ =(1-

选做题:1.(2012 年高考(广东文) )若向量 AB ? ?1,2? , BC ? ? 3,4? ,则 AC ?
A. ? 4,6 ? B. ? ?4, ?6? C. ? ?2, ?2? D. ? 2, 2 ?





2.(2012 年高考(大纲文) ) ?ABC 中, AB 边的高为 CD , CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则

AD ? (



1 1 a? b 3 A. 3
六、 【教后反思】

2 2 a? b 3 B. 3

3 3 a? b 5 C. 5

4 4 a? b 5 D. 5

本节课知识点覆盖全面,注重基础,严控难度;在教学过程中注意引导学生从数学的角度理解分析 问题、把握问题,特别强调自主地、独立地分析、研究,有利于培养学生阅读理解、分析和解决实际问 题的能力;有利于培养学生的用数学意识.但是由于时间问题,在课堂上未能指导学生做好解题后的反

思,总结解题规律,在以后教学中应该适当改变.

7


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