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福建省宁德市普通高中2015届高三下学期毕业班第二次质量检查数学(文)试题Word版含解析


2015 年福建省宁德市普通高中毕业班第二次质量检查 数学(文科)试卷 第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项
是符合题目要求的.

1.已知集合 M ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , N ? {?2,?1,1,2} ,则 M ? N ?

A.{?2, ?1}

B.{1, 2}

C. {?2,1}

D.{?2, ?1,1, 2}

【答案】B

【解析】

? ? 试题分析:M ? x | x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?1,2?,?M ? N ? ?1,2???? 2,?1,1,2? ? ?1,2?,故答案

为 B.

考点:集合的交集的运算.

2.若 x ? R ,则“ 2x ? 1”是“ ?1? x ? 0 ”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析:由 2x ? 1得 x ? 0 ,由 x ? 0 不能推出 ?1? x ? 0 ,由 ?1? x ? 0 能达到 x ? 0 ,因

此 2x ? 1 是 ?1 ? x ? 0 的必要不充分条件,故答案为 B.

考点:充分条件、必要条件的判断. 3.某全日制大学共有学生 5400 人,其中专科生有 1500 人,本科生有 3000 人,研究生有 900

人. 现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为 180

人,则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取

A.55 人,80 人,45 人

B.40 人,100 人,40 人

C.60 人,60 人,60 人

D.50 人,100 人,30 人

【答案】D

【解析】

试题分析:专科生:本科生:研究生 ?1500: 3000: 900 ? 5:10: 3,抽取的专科生人数

180? 5 ? 50 人, 18

抽取的本科生人数180? 10 ? 100 人,抽取的研究生人数180? 3 ? 30 人,故答案为 D.

18

18

考点:分层抽样的应用.

4.经过圆 (x ? 2)2 ? y2 ? 1 的圆心且与直线 2x ? y ?1 ? 0 平行的直线方程是

A. 2x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 2y ? 2 ? 0 【答案】A

B. 2x ? y ? 4 ? 0 D. x ? 2y ? 2 ? 0

考点:直线的方程.

5.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列正确的是

A.若 m∥α ,n ? α ,则 m∥n

B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β

C.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

D.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α

【答案】D

【解析】

试题分析:对应 A,直线 m, n 可能平行,可能异面直线;对应 B,平面?, ? 可能相交;对应 C,

直线 m 与平面? 可能相交,也可能直线在平面内;对应 D,根据两条平行线中一条垂直这个

平面,另一条也垂直这个平面,正确,故答案为 D.

考点:空间中直线、平面的的位置关系.

6.已知 sin? ? 2 5 ,? ? (0, ?) ,则 tan 2? ?

5

2

A. ? 4 3

B. 4 3

【答案】A

C. ? 1 2

D. 2

【解析】

试题分析:由 sin ? ? 2 5 ,? ? ?? 0, ? ?? 得 cos? ? 1? sin2 ? ? 5 ,? tan? ? sin ? ? 2 ,

5

? 2?

5

cos?

?tan 2? ? 2 tan? ? ? 4 ,故答案为 A. 1? tan2 ? 3

考点:1、同角三角函数的基本关系;2、二倍角的正切公式.

7.下列函数中,既为奇函数又在 (0, ??) 内单调递减的是

A. f (x) ? xsin x

C.

f

(x)

?

1? 1?

ex ex

【答案】C

B.

f

(x)

?

?1
x2

D. f (x) ? x ? 3 x

考点:函数的奇偶性和单调性. 8.运行如图所示的程序,若输出 y 的值为 1,则可输入 x 的个.数.为

A. 0 C. 2 【答案】D 【解析】

B.1 D. 3

试题分析:当 x ? 0 时, y ? 2x ? 1,得 x ? 0 符合题意,当 x ? 0 时, y ? ?x3 ? 3x ,由图象

可知当 x ? 0 时,

y ? ?x3 ? 3x 与 y ? 1有两个交点,因此输出的 x 个数为 3,故答案为 D.

考点:1、程序的应用;2、分段函数求值.

?x ?1

9.已知实数

x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

2

,若不等式

ax

?

y

?

3

恒成立,则实数

a

的取值范围为

??x ? y ? 2

A. (??,4] 【答案】B

B. (??, 3] 2

C.[ 3 , 2] 2

D.[2, 4]

【解析】

试题分析:不等式组表示的平面区域如图所示,不等式 ax ? y ? 3 恒成立,即 y ? ax ? 3 恒成

立,平面区域 ABC在直线 y ? ax ? 3上及上方,由图可知得 A?1,1? , B?2,0?, C?1,?1? 三点

?a ?1 ? 4

在直线上及上方,满足

??2a ? ??a ?1

3 ?

3

,得

a

?

3 2

,故答案为

B

考点:线性规划的应用. 10.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示,则此四棱锥的侧面积为

3

3

4 正视图

2

2

2

俯视图
第 10 题图

2 侧视图

A. 6 ? 4 5

B. 9 ? 2 5

C.12 ? 2 5

D. 20 ? 2 5

【答案】C

【解析】

试题分析:由三视图得几何体如图所示,平面 SAD ? 平面 ABCD,

SE ? AD, EF ? BC, BC ? SF ,

又 SA ? SD ? 3, AB ? CD ? EF ? 2 , AD ? BC ? 4,? SE ? 5 ,SF ? 5 ? 4 ? 3 ,侧 面 SAD的面积 2 5 ,侧面 SAB, SCD 的面积为 3,侧面 SBC 的面积 S ? 1 ? 4 ?3 ? 6 ,四棱锥
2 的侧面积12 ? 2 5 ,故答案为 C.

考点:由三视图求侧面积.

11.已知点 P 是 ?ABC 所在平面上一点, AB 边的中点为 D ,若 2PD ? 3PA ? CB ,

则 ?ABC 与 ?ABP 的面积比为

A. 3

B. 2

【答案】C

C.1

D. 1 2

【解析】

试题分析:由于点 D 是 AB 的中点,? PA ? PB ? 2PD ,因此 PA ? PB ? 3PA ? CB ,化简


2PA ? PC ,因此点 A 是 PC 的中点, ?ABC的面积和 ?ABP的面积相等,故答案为 C.
考点:平面向量数量积的应用.

12. O 为坐标原点, A, B 为曲线 y ? x 上的两个不同点,若 OA ? OB ? 6 ,则直线 AB 与圆

x2 ? y2 ? 4 的位置关系是 9

A. 相交

B. 相离

C. 相交或相切 D. 相切或相离

【答案】A

【解析】

? ? ? ? 试题分析:设 A t12,t1 ,B t22 , t2 ,OA?OB ? t12t22 ? t1t2 ? 6 ,解得 t1t2 ? 2( t1t2 ? ?3舍去),

k AB

?

t2 t22

? t1 ? t12

?

1 t2 ? t1

,直线 AB 与

y

轴的交点 ?0, b? ,则 t1 ? b
t12 ? 0

?

t1

1 ? t2

,解得 b

?

t1t2 t1 ? t2



直线

AB 方程

y

?

t1

x ? t2

?

t1t2 t1 ? t2

,整理得

x

? ?t1

? t2 ?y

?

2

?

0

,圆心 ?0,0?到直线

AB 的距离

2
d ? 1? ?t1 ? t2 ?2 ,由基本不等式得 t1 ? t2 ? 2 t1t2 ,由于 A, B 是不同两点,因此等号不能

成立,?t1 ? t2 ? 2

2 ,因此 d ?

2 ? 2 ,因此位置关系的相交,故答案为 A. 1?8 3

考点:直线与圆的位置关系.

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上)

13.复数 z ? i?1? 2i? ( i 为虚数单位),则 z ?

.

【答案】 ? 2 ? i
【解析】

试题分析: z ? i?1? 2i? ? ?2 ? i ,? z ? ?2 ? i .

考点:共轭复数的概念.

14.在区间 (0, 4) 内任取一个实数 x ,则使不等式 x2 ? 2x ? 3 ? 0 成立的概率为

.

【答案】 3 . 4
【解析】

试题分析:在区间 ?0,4? 内任取一个实数 x ,试验全部结果构成的长度为 4 ,不等式

x2 ? 2x ?3 ? 0得

?1 ? x ? 3,满足题意的 0 ? x ? 3 ,满足不等式的 x 的长度是 3,不等式 x2 ? 2x ? 3 ? 0 成立

的概率为
P?3. 4
考点:利用几何概型求随机事件的概率.

15.关于 x 的方程 log2 x ? a ? 0 的两个根为 x1, x2 (x1 ? x2 ) ,则 2x1 ? x2 的最小值为

.

【答案】 2 2

【解析】
试题分析:方程 log2 x ? a ? 0 的两个根 x1, x2 ?x1 ? x2 ? ,则函数 y ? a 与函数 y ? log2 x 的
交点有两个,由图可知,0 ? x1 ? 1,x2 ? 1,因此 log 2 x1 ? ?a ,? x1 ? 2?a ,?log2 x2 ? a , 得 x2 ? 2a , 因此 2x1 ? x2 ? 2 ? 2?a ? 2a ? 21?a ? 2a ? 2 21?a ? 2a ? 2 2 ,因此 2x1 ? x2 的最小值 2 2 .

考点:1、方程的根和函数的零点;2、基本不等式的应用.

16.已知函数

f (x) ? asin x ? cos x

(a ? R) ,且

f (x) ?

f

(

?? )

恒成立.

给出下列结论:

22

3

①函数

y

?

f

(x)

在 [0,

?? ]

上单调递增;

3

②将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 ? 个单位,所得图象对应的函数为偶函数; 3

③若 k ? 2 ,则函数 g(x) ? kx ? f (2x ? ? ) 有且只有一个零点. 3

其中正确的结论是

.(写出所有正确结论的序号)

【答案】①③

【解析】

试题分析:由于 f ?x? ? f ?? 2? ?? ,得 f ?? 2? ?? 为最大值, f ?? 2? ?? ? 3 a ? 1 ? a2 ?1 ,平

?3?

?3?

?3? 2 2

方化简得

? ? a ? 3 2 ? 0 ,得 a ? 3 ,因此 f ?x? ? 3 sin x ? cos x ? 2sin?? x ? ? ?? ,当 0 ? x ? 2? 时,

22

?2 6?

3

? ? x ? ? ? ? ,因此①对;将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 ? 个单位,所得图象对应的函

6 26 2

3

数为

y

?

2 s in ??? 12

?? ?

x

?

? 3

?? ?

?

? 6

? ? ?

?

2 sin?? ?

1 2

x

?

2? 3

?? 不是偶函数,②错;当 k ?

?

2 时,

g?x? ?

kx

?

2

sin

? ??

1 2

?? ?

2x

?? 3

?? ? ?

? 6

? ??

?

kx? 2sin

x



g??x?

?

k

?

2 cos

x

?

0 ,不恒等于

0,函



g?x? ? kx? 2sin x 在 R 上单调递增, g?0? ? 0 ,故③正确,答案为①③.

考点:1、函数的单调性和奇偶性;2、函数的零点. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)

已知等比数列{an} 的前 n 项和 Sn ? 2n ? r .

(1)求实数 r 的值和{an} 的通项公式;

(2)若数列{bn} 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? log2 an?1 ,求 bn .

? ? ? ? 【答案】(1) an ? 2n?1 n ? N *

;(2) bn

?

1 2

n2

?

1 2

?1

n? N*

.

又 b1 ? 1符合上式,

∴ bn

?

1 n2 2

?

1 n ?1 2

(n ? N?)

.

······················

12 分

考点:1、由 Sn 得 an ;2、等差数列、等比数列的通项公式和前 n 项和公式.
18.(本小题满分 12 分) 某中学刚搬迁到新校区,学校考虑,若非.住.校.生.上学路上单程所需时间人均超过 20 分钟, 则学校推迟 5 分钟上课. 为此,校方随机抽取 100 个非住校生,调查其上学路上单程所

需时间(单位:分钟),根据所得数据绘制成如下频率分布直方图,其中时间分组为[0,10) ,

[10, 20) ,[20,30) ,[30, 40) ,[40,50] .
(1)求频率分布直方图中 a 的值;

(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟 5 分钟上课; (3)若从样本单程时间不小于 30 分钟的学生中,随机抽取 2 人,求恰有一个学生的单程
时间落在
[40,50] 上的概率.

【答案】(1) 0.015;(2)不需要推迟 5 分钟;(3) P ? 3 . 5
【解析】
试题分析:(1)解决频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的关系,这些数据中,

频率

比较明显的有组距、

,间接的有频率,小长方形的面积,合理使用这些数据,再结合两

组距

个等量关系:小长方形的面积等于频率,小长方形的面积之和等于 1,因此频率之和为 1;(2) 平均数是频率分布直方图的重心,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形 底边中点的横坐标;(3)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包 含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式计算,当基本事件总数较少时,用列举 法把所有的基本事件一一列举出来,要做到不重不漏,有时可借助列表,树状图列举,当基 本事件总数较多时,注意去分排列与组合. 试题解析:(1)时间分组为 [0,10) 的频率为 1?10(0.06 ? 0.02 ? 0.003 ? 0.002) ? 0.15 , ················· 2 分

∴ a ? 0.15 ? 0.015 , 10
所以所求的频率直方图中 a 的值为 0.015 . ················· 3 分
(2)100 个非住校生上学路上单程所需时间的平均数: x ? 0.15? 5 ? 0.6 ?15 ? 0.2 ? 25 ? 0.03? 35 ? 0.02 ? 45 ············· 4 分

? 0.75 ? 9 ? 5 ?1.05 ? 0.9 ?16.7 . ······························· 5 分
因为16.7 ? 20 , 所以该校不需要推迟 5 分钟上课. ···················· 6 分

(3)依题意满足条件的单程所需时间在[30, 40) 中的有 3 人,不妨设为 a1, a2 , a3 , 单程所需时间在[40,50] 中的有 2 人,不妨设为 b1, b2 ,··········· 7 分 从单程所需时间不小于 30 分钟的 5 名学生中,随机抽取 2 人共有以下10 种情况: (a1, a2 ) , (a1, a3 ) , (a1, b1) , (a1, b2 ) , (a2 , a3 ) , (a2 , b1) , (a2 , b2 ) , (a3, b1) , (a3, b2 ) , (b1, b2 ) ; ····················· 10 分

其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50] 中的有以下 6 种:

(a1, b1) , (a1, b2 ) , (a2 , b1) , (a2 , b2 ) , (a3 , b1) , (a3, b2 ) ; ········ 11 分 故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50] 中的概率 P = 6 = 3 . ····· 12 分
10 5

考点:1、频率分布直方图的应用;2、利用古典概型求随机事件的概率.

19.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? 2sin(?x ? ?) (? ? 0, ? ? ?) 在一个周期内的图象如图所示, 2

其中 M ( ? , 2) , N ( ? , 0) .

12

3

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a ? 13, c ?3, f( A) ? 3 ,求 ?ABC 2
的面积.

y M

N

O

x

【答案】(1) f ?x? ? 2 sin?? 2x ? ? ?? ;(2) 3 3 .
? 3?

【解析】

试题分析:(1)求函数 f ?x? ? Asin??x ?? ??A ? 0,? ? 0?的解析式时, A 比较容易得出,困
难的是确定待定系数?和? 的值,常用如下方法;(2)一是由? ? 2? 即可求出? 的值;确定?
T 的值,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0 ,则令 ?x0 ? ? ? 0

(或?x0 ? ? ? ? ),即可求出? ;(3)二是代入点的坐标,利用一些已知点坐标代入解析式,

再结合图形解出?和? ,若对 A,? 的符号或对? 的范围有要求,则可利用诱导公式进行变换

使其符合要求;(4)在解决三角形的问题中,面积公式 S ? 1 absin C ? 1 bcsin A ? 1 acsin B

2

2

2

最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

试题解析:(1)由图像可知:函数 f (x) 的周期 T ? 4 ? (? ? ? ) ? ? , ····· 1 分 3 12

∴ ? ? 2? ? 2 . ···························· 2 分 ?

又 f (x) 过点 ( ? , 2) , 12

∴ f ( ? ) ? 2sin(? ? ?) ? 2 , sin(? ? ?) ?1 ,················ 3 分

12

6

6

∵ ? ? ? , ? ? ? ?(? ? , 2? ) ,

26

33

∴ ? ? ? ? ? ,即? ? ? . ························ 4 分

6

2

3

∴ f (x) ? 2sin(2x ? ? ) .························· 5 分 3

(2)∵ f ( A) ? 2sin(A ? ? ) ? 3, 即 sin(A ? ? ) ? 3 ,

2

3

32

又 A?(0,? ), A ? ? ?(? , 4? ) 3 33

∴ A ? ? ? 2? ,即 A ? ? . ······················· 7 分

33

3

在 ?ABC 中, A ? ? , a ? 13,c ? 3 , 3
由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , ················· 8 分

∴13 ? b2 ? 9 ? 3b ,即 b2 ? 3b ? 4 ? 0 , 解得 b ? 4 或 b ? ?1(舍去). ····················· 10 分



S?ABC

?

1 bcsin 2

A?

1 ? 4? 3? sin ?

2

3

?

3

3 . ················

12 分

考点:1、利用函数图象求函数解析式;2、三角形的面积. 20.(本小题满分 12 分)
如图四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB// CD ,
?ABC ? 90? ,且 CD ? 2, AB ? BC ? PA ?1, PD ? 3 .
(1)求三棱锥 A ? PCD 的体积; (2)问:棱 PB 上是否存在点 E ,使得 PD // 平面 ACE ?若存在,求出 BE 的值,并加以
BP 证明;若不存在,请说明理由.
P

A

B

D

C

【答案】(1) 1 ;(2)棱 PB 上存在点 E ,当 BE ? 1 时, PD // 平面 ACE .

3

BP 3

【解析】

试题分析:(1)解决立体几何的有关问题,空间想象能力是非常重要的,但新旧知识的迁移

融合也很重要,在平面几何的基础上,把某些空间问题转化为平面问题来解决,有时很方便;

(2)证明两个平面垂直,首先考虑直线与平面垂直,也可以简单记为“证面面垂直,找线面

垂直”,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似,掌握化归与转化
思想方法是解决这类题的关键,利用棱锥的体积公式V ? 1 Sh 求体积;(3))证明线面平行常 3
用方法:一是利用线面平行的判定定理,二是利用面面平行的性质定理,三是利用面面平行

的性质.

试题解析:(1)取 CD 中点 G ,连接 AG ,

P

A

B

D

G

C

CD ? 2AB, AB // CD,

? AB // GC, AB ? GC, ? 四边形 AGCB 为平行四边形, ??AGD ? ?DCB ? ?ABC ? 900 在 Rt?AGD 中, AG ? BC ? 1, DG ? 1 CD ? 1,
2 ? AD ? AG2 ? DG2 ? 1 ? 1 ? 2, ···················· 1 分

?PD2 ? 3, PA2 ? AD2 ? 1? 2 ? 3, PD2 ? PA2 ? AD2 , ??PAD ? 900 , 即 PA ? AD, ······················ 2 分

平 面PAD ? 平 面ABCD,平 面PAD 平 面ABCD ? AD ?PA ? 平 面ABCD ·························· 3 分

S?ACD

?

1 CD ? 2

AG

? 1,

························

4分

?VA?PCD ? VP?ACD ··························· 5 分

?

1 3

?

S?ACD

?

PA

? 1 ?1?1 ? 1 . ···························· 6 分

3

3

(2)棱 PB 上存在点 E ,当 BE ? 1 时, PD // 平面 ACE . ·········· 7 分 BP 3

P

E

A

B

O

D

C

证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 OE .
∵ AB // CD,CD ? 2AB ∴ BO ? AB ? 1 , ··························· 8 分
OD CD 2
∴ BO ? 1 ,又 BE ? 1 BD 3 BP 3
∴ BO ? BE , BD BP
∴ OE // DP, ····························· 10 分

又 OE ? 面ACE,PD ? 面ACE, ?PD // 面ACE . ···························· 12 分 考点:1、求三棱锥的体积;2、直线与平面平行的判定. 21.(本小题满分 12 分)
已知点 A(? 2,0), B( 2,0) ,动点 E 满足直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ? 1 . 2
(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程;
(2)设过点 F ?1, 0? 的直线 l1 与曲线 C 交于点 P,Q ,记点 P 到直线 l2 : x ? 2 的距离为 d .
①求 PF 的值; d
②过点 F 作直线 l1 的垂线交直线 l2 于点 M ,求证:直线 OM 平分线段 PQ .

? ? 【答案】(1) x2 ? y2 ? 1 x ? ? 2 ;(2) PF ? 2 ,证明略.

2

d2

【解析】

试题分析:(1)设 E 点的坐标 ?x, y?,根据题意列方程找到 x, y 之间的关系式,注意范围;(2)

设椭圆的方程,若焦点明确,设椭圆的标准方程,结合条件用待定系数法求出 a2,b2 的值,若

不明确,需分焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况讨论;(3)解决直线和椭圆的综合问题时注意:

第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,

点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消

去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式 ? :计算一元二次方程根.第四步:

写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.

试题解析:(1)设 E(x, y) ,

依题意得

kEA ? kEB

?

y x?

?y 2 x?

2

??1, 2

(x ? ?

2) ,············

1分

整理得 x2 ? y2 ? 1 , 2

∴动点 E 的轨迹 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 (x ? ? 2) . ············ 3 分 2

(2)① F(1,0) ,设 P(x1, y1), 则

y12

?1?

x12 2

,

·············· 4 分

∴ | PF | ? (1? x1)2 ? y12 ························ 5 分

d

2 ? x1

?

1?

2x1

?

x12

?1?

x12 2

2 ? x1

?

1 2

( x1

?

2)2

2 ? x1

? 2 . ······························· 7 分 2

y P
OF Q

M x

②依题意,设直线 PQ : x ? my ?1, Q(x2 , y2 ) ,

?x ? my ? 1

联立

? ?

x2

?? 2

?

y2

?1

, 可得 (2 ? m2 ) y2 ? 2my ?1 ? 0 , ··············

8分

显然

?

?

0,

y1

?

y2

?

?

2

2m ? m2

,

······················

9分

所以线段

PQ

的中点 T

坐标为

( 2

2 ? m2

,

2

?m ? m2

),

···············

10 分

又因为 FM ? l1, 故直线 FM 的方程为 y ? ?m(x ?1) ,

所以点 M 的坐标为 (2, ?m) , 所以直线 OM 的方程为: y ? ? m x,
2

··················· 11 分

因为

T

(

2

2 ? m2

,

2

?m ? m2

)

满足方程

y

?

?

m 2

x,

故 OM 平分线段 PQ. ························· 12 分

考点:1、求轨迹方程;2、直线与椭圆的综合问题. 22.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? ln x ? 1 a(x ?1) ( a ?R ). 2
(1)若 a ? ?2 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若不等式 f (x) ? 0 对任意 x ?(1, ??) 恒成立.
①求实数 a 的取值范围;

②试比较 ea?2 与 ae?2 的大小,并给出证明( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ).

【答案】(1) y ? 2x ? 2 ;(2) a ? 2 , ea?2 ? aa?2 .
【解析】
试题分析:(1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?1, f ?1??处的切线方程,注意这个点的切点,

利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??1?,从而求出直线方程;(2)若可导函数 f ?x? 在指

定的区间 D 上单调递增(减),求参数问题,可转化为 f ??x? ? 0 ? f ??x? ? 0?恒成立,从而构

建不等式,要注意“=”是否可以取到;(3)利用导数方法证明不等式 f ?x? ? g?x?在区间 D 上

恒成立的基本方法是构造函数 h?x? ? f ?x?? g?x? ,然后根据函数的单调性,或者函数的最值

证明函数 h?x? ? 0 ,其中一个重要的技巧就是找到函数 h?x?在什么地方可以等于零,这往往

就是解决问题的一个突破口,观察式子的特点,找到特点证明不等式. 试题解析:(1) a ? ?2 时, f (x) ? ln x ? x ?1 , f ?(x) ? 1 ?1, ······· 1 分
x ?切点为 (1,0) , k ? f ?(1) ? 2 ······················ 3 分 ?a ? ?2 时,曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2x ? 2 . ······ 4 分

(2) f (x) ? ln x ? 1 a(x ?1) , 2
? f ?(x) ? 1 ? a ? 2 ? ax , ······················· 5 分 x 2 2x

①当 a ? 0 时, x ?(1, ??) , f ?(x) ? 0 , ? f (x) 在 (1, ??) 上单调递增, f (x) ? f (1) ? 0 , ? a ? 0 不合题意. ·························· 6 分

②当

a

?

2



0

?

2

? 1,

时,

f

?(x)

?

2

?

ax

?

?

a(x

?

2) a

?

0



(1, ??)

上恒成立,

a

2x

2x

? f (x) 在 (1, ??) 上单调递减,有 f (x) ? f (1) ? 0 ,

? a ? 2 满足题意. ·························· 7 分

③若 0 ? a ? 2 即 2 ? 1, 时,由 f ?(x) ? 0 ,可得1 ? x ? 2 ,由 f ?(x) ? 0 ,可得 x ? 2 ,

a

a

a

? f (x) 在 (1, 2) 上单调递增,在 ( 2 , ??) 上单调递减,

a

a

? f ( 2) ? f (1) ? 0 , a

? 0 ? a ? 2 不合题意. ························· 9 分 综上所述,实数 a 的取值范围是[2, ??). ················· 10 分

当 a ? 2 时,“比较 ea?2 与 ae?2 的大小”等价于“比较 a ? 2 与 (e ? 2)ln a 的大小”

设 g(x) ? x ? 2 ? (e ? 2)ln x (x ? 2)

则 g?(x) ?1? e ? 2 ? (x ? 2) ? e ? 0,

x

x

? g(x) 在 [2, ??) 上单调递增, ····················· 12 分

g(e) ? 0, 当 x ?[2,e) 时 , g(x) ? 0, 即 x ? 2 ? (e ? 2)ln x ,?ex?2 ? xe?2 当 x ?(e, ??) 时 , g(x) ? 0 ,即 x ? 2 ? (e ? 2)ln x ,?ex?2 ? xe?2

综上所述,当 a ?[2,e) 时, ea?2 ? ae?2 ; 当 a ? e 时, ea?2 ? ae?2 ; 当 a ?(e, ??) 时, ea?2 ? ae?2 . ······················ 14 分 考点:1、导数的几何意义;2、函数单调性的应用;3、利用导数证明不等式.


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