高三总复习（第一轮）

一、复习 等差数列前n项和：
Sn ? a1 ? a2 ? ...? an?1 ? an ? ??
① ②

S n ? an ? an?1 ? ... ? a2 ? a1 ? ??
①+②

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ... ? (an?1 ? a2 ) ? (an ? a1 ) 2Sn ? n(a1 ? an )

n?a1 ? an ? Sn ? 2

? ??

倒序相加

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等比数列前n项和：
S n ? a1 ? a2 ? ... ? an?1 ? an

Sn ? a1 ? a1q ? ? ? ? ? a1q n?2 ? a1q n?1 ? ??

qSn ?
①? ②

a1q ? a1q 2 ? ? ? ? ? a1q n?1 ? a1q n

①

? ② ??

(1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n

当q≠1时 当q=1时

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q

Sn ? na1

错位相减：主要用于数列 ?an bn ? 前 n 项和，其中 ? ?an ? 、bn ? 分别是等差数列和等比数列。

归纳一、数列求和的思路：
1、先判断是否是等差数列，等比数列的求和，若是，则代公式，这就是公式法。 2、是否可转化为等差数列，或等比数列的求和，再代公式。 数列求和：1、公式法： 等差数列的前n项和公式

等比数列的前n项和公式

?n ?：求和公式
2

?n ?：求和公式
3

n(n ? 1)( 2n ? 1) sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 6 n 2 (n ? 1) 2 S n ? 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n 3 ? 4
2 2 2 2

n(n ? 1)d n(a1 ? an ) sn ? na1 ? ; 2 2 ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q (q ? 1) ? ? sn ? ? 1 ? q 1? q (q ? 1) ? na1 ?

sn ?

问题1、：例课本P129.6

已知?a ?，通项
n

an ? 2n ? 2n ? 1 ，求 S n

分析：观察
n

2 ?? 但 ? ??
练习：1、求和

an既不是等差数列也不是等比数列
等比数列

?? ?2n ? 1? ?

等差数列

? ??

分组转化法
n

Sn ? 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 11?? 1 ?? ??

2、数列

?a ? 的通项
n

an ? n2 ? n

，求前

n 项和。

问题2

求和：

Sn ? 1 ? 2x ? 3x 2 ? ? ? ? ? nxn?1 , ( x ? 1)
（错位相减）

分析：通项

an ? nxn?1 ? ?n?等差数列，?x n?1 ? ?? 等比数列

练习3 试卷：已知函数 f ? x ? ?

an?1 ? f ?an ? ?n ? N ? ?

x ，数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ， 3x ? 1

? ? （1）求证：数列 ? 1 ? 是等差数列

? an ? 2 x x xn ? ? ??? ? ，求 S n ?x? （2）记 S n ? x ? ? a1 a2 an 3a n ? 1 1 1 an ? ?3? （1）证明：由题意得 an ?1 ? 3an ? 1 a n ?1 an an
1 1 ? ? ?3 a n ?1 a n

?n ? 1?

?1? ? ? ? 是等差数列 ? an ?

1 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 （2）由（1）得 an

错位相减

xn ? x n ?3n ? 2? ? ?x n ? 等比数列，3n ? 2?等差数列 ?? 通项 bn ? ? an

Sn ?x? ? x ? 4x 2 ? 7x3 ? ? ? ? ? ?3n ? 5?x n?1 ? ?3n ? 2?x n

? ??

①

xSn ?x ? ?
①? ②

x 2 ? 4x3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? ?3n ? 5?x n ? ?3n ? 2?x n?1

? ?? ②

(1 ? x)Sn ?x? ? x ? 3x 2 ? 3x3 ? 3x 4 ? ? ? ? ? 3x n ? ?3n ? 2?x n?1
n(1 ? 3n ? 2) n(3n ? 1) ? 2 2

当 x ? 1时 S n ( x) ? 1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? ?3n ? 2? ?

3x 2 (1 ? x n?1 ) ? (3n ? 2) x n?1 当 x ? 1时 (1 ? x)S n ( x) ? x ? 1? x
(3n ? 2) x n ? 2 ? (3n ? 1) x n?1 ? 2 x 2 ? x S n ( x) ? (1 ? x) 2

注意：首末两项相减；讨论系数不为0；注意代等比数列求和公式。

练习4 （机动）求和：

Sn ?

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ??? ? n 2 4 8 2

an ? n2 ? 3n ? 2，求 ? 问题3 周末卷7、 ?an ? 、 bn ? 满足 an bn ? 1 ，

?b ? 的前10项和。
n

裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负项抵消剩下首项。

1 a 练习5 已知数列 ?an ? ， n ? ，求它的前 n项和。 1? 2 ? 3 ? ??? ? n

3、裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，在
?

求和时正负相互抵消，将前n项和变成若干少数项之和；
1 1 1 1 (1) ? [ ? ] an an ?1 d an an ?1 其中数列{an }为等差数列; (2) 1 an an ?1an ? 2 1 1 1 ? [ ? ] 2d an an ?1 an ?1an ? 2

如

其中数列{an }为等差数列; 1 1 (3) ? ( a ? b ); a ? b a ?b

问题4 解：

求和： Sn

1 ? Cn0 ? 2Cn ? 3Cn2 ? ? ? ? ? (n ? 1)Cnn

1 Sn ? Cn0 ? 2Cn ? 3Cn2 ? ? ? ? ? nCnn?1 ? (n ? 1)Cnn
1 Sn ? (n ? 1)Cnn ? nCnn?1 ? (n ? 1)Cnn?2 ? ? ? ? ? 2Cn ? Cn0

2Sn ? (n ? 2)(C ? C ? ? ? ? ? C ) ? (n ? 2)2
0 n 1 n n n

n

?Sn ? (n ? 2)2n?1

倒序相加

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（机动）其它：并项法，无穷递缩等比求和公式

例：

S100 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 99 ? 100
? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? ? ? (99 ? 100) ? ?50
? (1 ? 3 ? ? ? ? ? 99) ? (2 ? 4 ? ? ? ? ? 100)

法一： S100

法二： S100
练习： Sn

? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ? ? (?1) n?1 (2n ? 1)

归纳二： 分组转化法：转化为等差数列与等比数列和 （或差） 错位相减法：通项是等差数列与等比数列的 积 裂项相消法：通项是分式结构，分母、因式 成等差数列关系，可以把通项 写成两项之差 倒序相加法：把数列正写和倒写再相加

小结：数列求和的基本方法 首先，注意分析判断是否是等差数列或是等比数列， 是否可拆成等差列、等比数列之和或之差或之积。
再决定：1、公式法； 2、分组转化法； 3、错位相减法； 4、倒序相加法； 5、裂项相消法； 6、并项法。

作业：一、求和 S n
n a 1、 n ? 2 ? 2n ? 1

n 2、an ? nx

3、an ?
4、an ?

2n ? 1 2n

a1 ? 1, a2 ? 3 求数列 ?an ? 的通项公式，并求前 n

5、已知数列 ?log2 (an ? 1)?是一个等差数列，且
项和。

1 n(n ? 2)