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四川省遂宁市2014-2015学年高一数学下学期期末统考试题(新)


四川省遂宁市 2014-2015 学年高一数学下学期期末统考试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,满 分 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签 字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴 是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题 用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应 框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后 ,将答题卡收回。

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求) 1. 数列

2 3 4 5 、? 、 、 ? ,?的一个通项公式是 3 9 27 81 n ?1 3n n 3n
B. ( ?1)
n ?1

A. (?1) n

n ?1 3n
n ?1

C. ( ?1)

n

D. (?1)

n 3n

2.

sin 750 的值等于

A.

6? 2 4 3? 2 4

B.

6? 2 4 3? 2 4

C.

D.

3.

已知 a ? (2,1) , b ? ( x, ?2) ,若 a ? b ,则 x = A. -4 B. -1 C. 1 D.4

r

r

r

r

4.

在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 ? A. 58 已知 x ? (? B. 88 C. 143 D. 176

5.

?
2

,0),cos x ?

4 ,则 tan 2 x ? 5
-1-

A.

7 24

B. ?

7 24

C.

24 7

D. ?

24 7

6.

已知 a ? 0, ?1 ? b ? 0, 则有

A. ab ? ab ? a
2

B. ab ? ab ? a
2

C. ab ? a ? ab 7. 函数 y ? 3 x ?
2

2

D. a ? ab ? ab

2

6 的最小值是 x ?1
2

A.3 2-3 C.6 2

B.-3 D.6 2-3

8.

在 ?ABC 中, cos(2 B ? C ) ? 2sin A sin B ? 0 ,则 ?ABC 的形状为

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.不确定

9.

如图设 P, Q 为 ?ABC 内的两点,且 AP ?

uuu r

r 1 uuu r 2 uuu AB ? AC , 5 5

uuu r 2 uuu r 1 uuu r AQ ? AB ? AC , 则 ?ABP 的面积与 ?ABQ 的面积之比为 3 4
A.

4 5 1 4

B.

1 5 1 3

C.

D.

1 0. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 g 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,若 S n ? A. 1

1 2 2 gan ? 4 ? 1 ,令 bn ? an ?1 , Sn 2 an
m ? 对任意 n ? N 恒成立,则整数 m 的最大值为 16
B. 2

C .

3

D.

4
-2-

第Ⅱ卷(非选择题,满分 100 分) 注意事项: 1.请用蓝 黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 不等式

x?2 ? 0 的解集是 ▲ x ?1

?4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? 12. 不等式组 ? x ? 0 ,表示的平面区域内的整点坐标是 ?y ? 0 ?

? 13. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 ?ABC 的面积 S=



14.已知数列 ?an ? 是等差数列,若它的前 n 项和 Sn 有最小值,且 自然数 n 的值为 ▲

a11 ? ?1 ,则使 Sn ? 0 成立的最小 a10

c, C 所对的边 分别为 a、b、 15. ?ABC 中,角 A、B、
①若 sin A ? sin B ,则 B ? A ; ②若 ?ABC 最小内角为 ? ,则 cos ? ?

1 2
-3-

③存在某钝角 ?ABC ,有 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ; ④若 2aBC ? bCA ? cAB ? 0 ,则 ?ABC 的最小角小于 其中正确的命题是 ▲ (写出所有正确命题的序号)

uuu r

uu r

uu u r

r

? ; 6

三、解答 题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ▲ 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 P 2 ? ? ?1, 2 ? , 1 ? ? 3, 2 ? ,向量 P (Ⅰ)若 (p1 +k p2 ) ∥ (2 p2 ? p1 ) ,求实数 k 的值 (Ⅱ)求 p1 在 p2 方向上的投影 ▲

u r

u u r

uu r

uu r

uu r uu r

uu r

uu r

18. (本小题满分 12 分) 已知 cos ?? ? ? ? ?

1 3 , cos ?? ? ? ? ? 5 5

(Ⅰ)求 tan ? tan ? 的值 (Ⅱ)若 ? ? ? ? ? 0, ? ? , ? ? ? ? ? ?

? 3 ? ? , 0 ? ,求 cos 2? 的值 ? 2 ?


19. (本小题满分 12 分) 2015 年 6 月 1 日约 21 时 28 分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭 遇龙卷风翻沉。如图所示,A,B 是江面上位于东西方向相距 ( 千米 的两个观测点。现位于 A 点北偏 5 3+ 3) 东 45 ,B 点北偏西 60 的客船东方
? ?

之星(D 点)发出求救信号,位
-4-

于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距 20 3 千米的 C 点的救援船立即前往营救,其 航行速度为 30 千米每小时, 该救援船到达 D 点需要多长时间? ▲ 20. (本小题满分 13 分) 已知二次函数 f ? x ? 的二次项系数为 a ,且不等式 f ? x ? ? ?2x 的解集是 ?1,3? (Ⅰ)若方程 f ? x ? ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ? x ? 的解析式 (Ⅱ)若 f ? x ? 的最大值为正实数,求 a 的取值范围 ▲ 21. (本小题满分 14 分)
n * 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 3g2 ? 4 n ? N

?

?

?

(Ⅰ)求证:数列 ? (Ⅱ)设 Tn 为数列 (Ⅲ)设 Cn ?

? an ? 是等差数列 n ? ?2 ?

?Sn ? 4?

的前 n 项和,求 Tn

? 3n ? 5? 2n?1 ,数列
an an?1

?cn ? 的前 n 项和为 Qn ,求证: Qn ? 5


2

-5-

遂宁市高中 2017 级第二学期教学水平监测

数学试题参考答案及评分意见

一、选择题(5′×10=50′) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 B 9 A 10 C

二、填空题(5×5=25 分) 11、 (?1, 2] 三、解答题 16、 (12 分) 解(I) ? 12、 (?1, ?1) 13、

15 3 4

14、20

15、②④

?a3 ? a1 ? 2d ? ?6 ?a1 ? ?10 ?? ?d ? 2 ?a6 ? a1 ? 5d ? 0

??????4 分

? an ? 2n ?12(n ? N*)
(II) b2 ? a1 ? a2 ? a3 ? ?24 设等比数列 {bn } 的公比为 q , q ?

??????6 分

b2 ?3 b1

??????8 分

Sn ?
17. (12 分)

b1 (1 ? q n ) ?8(1 ? 3n ) ? ? 4 ? 4 ? 3n 1? q 1? 3

??????12 分

解(I) p1 ? k p2 ? (3 ? k , 2k ? 2)

u u r

uu r

uu r u u r 2 p2 ? p1 ? (?5, 2)
又 Q ( p1 ? k p2 ) //(2 p2 ? p1 ) 则 (3 ? k ) ? 2 ? (2k ? 2) ? (?5) ? 0

??????2 分

u u r

uu r

uu r u u r

??????4 分 ??????6 分

u u r uu r u u r u u r uu r uu r uu r p1 ? p2 5 (II) p1 在 p2 方向上的投影为 p1 ? cos ? p1 ? p2 ? ? uu ??????12 分 r ? 5 p2
18、 (12 分) 解(I) cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

k ? ?2

1 5



-6-

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 2 5 1 由①-②得 sin ? sin ? ? 5 1 由④/③得 tan ? tan ? ? 2
由①+②得 cos ? cos ? ? (II)∵ cos(? ? ? ) ? 又∵ cos(? ? ? ) ? ③ ④

3 5



??????2 分

?????? 4 分 ??????6 分

1 2 6 且 0 ? ? ? ? ? ? 得 sin(? ? ? ) ? 5 5

3 3? 4 ? ? ? ? ? 0 得 sin(? ? ? ) ? ? ?????8 分 且? 5 2 5

cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ??????10 分

?
19、 (12 分)

3?8 6 25

??????12 分

解:由题意知 AB ? 5(3 ? 3)(km)

?DBA ? 90? ? 60? ? 30?,?DAB ? 90? ? 45? ? 45?

??ADB ? 180? ? (45? ? 30? ) ? 105?
在?DAB中,由正弦定理得 DB AB ? sin ?DAB sin ?ADB

??????2 分

? DB ?

AB? sin ?DAB 5(3 ? 3) ? sin 45? ? ? 10 3(km) sin ?ADB sin105?

??????6 分

又?DBC ? ?DBA ? ?ABC ? 30? +(90? ? 60?) =60?
在?DBC中,由余弦定理得: CD2 ? BD2 ? BC 2 ? 2BD?BC ? cos ?DBC
? 300 ? 1200 ? 2 ?10 3 ? 20 3 ? 1 ? 900 2

??????7 分

?CD ? 30(km)
则需要的时间t ?(小时) 1 答:该救援船到达D点需要1小时。
20、 (13 分)

??????11 分 ??????12 分

-7-

解(I)∵ f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 (1,3) 设 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) 且 a ? 0 由 f ( x) ? 6a ? 0 得 ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0 有两个相等的根: ??????2 分

? ? [?(2 ? 4a)]2 ? 4a ? 9a ? 0
1 由 a ? 0 舍去 a=1 5 1 6 3 ? f ( x) ? ? x 2 ? x ? 5 5 5
解得 a=1 或 a ? ? (II)由 f ( x) ? ax2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a

??????4 分

??????6 分

a?0
??????8 分

? a( x ?

1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 ) ? a a

f ( x) max ? ?

a 2 ? 4a ? 1 a

??????10 分

? a 2 ? 4a ? 1 ?0 ?? ? a ? ?2 ? 3 或 0 ? a ? ?2 ? 3 ??????12 分 a ? ?a ? 0 ?
故当 f ( x ) 的最大值为正实数时,a 的取值范围是 (??, ?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0) ??????13 分 21、 (14 分) 解(I)证明:当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 3 ? 21 ? 4,a1 ? 2

? S n ? 2a n ? 3 ? 2 n ? 4 (1) ? ? n ?1 n ?1 ? ? Sn ?1 ? 2a ? 3 ? 2 ? 4(n ? 2) (2)
由(1)-(2)两边同除以 2 得
n

an an ?1 3 ? ? (n ? 2) 2n 2n ?1 2
??????4 分

?{

an 3 } 是以 1 为首项, 为公差的等差数列。 n 2 2
n?1

(II)由(I)知 an ? (3n ?1)2

(n ? N*)

Sn ? 2 ? (3n ?1) ? 2n?1 ? 3 ? 2n ? 4
? (3n ? 4) ? 2n ? 4

Sn ? 4 ? (3n ? 4) ? 2n
-8-

Tn ? (?1) ? 21 ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? L ? (3n ? 4) ? 2n ① 2Tn ? (?1) ? 22 ? 2 ? 23 ? 5 ? 24 ? L ? (3n ? 4) ? 2n?1 ②
由①-②错位相减得:

?Tn ? (?1) ? 21 ? 3 ? (22 ? 23 ? 24 ? L ? 2n ) ? (3n ? 4) ? 2n?1
? ?2 ? 3 ? 22 (1 ? 2n ?1 ) ? (3n ? 4) ? 2n ?1 1? 2
??????9 分

Tn ? 14 ? (3n ? 7) ? 2n?1 (n ? N*)

(III) Cn ?

3n ? 5 1 2(3n ? 2) -(3n-1) 1 2 1 1 ? n= ? n ?( ? )? n (3n ? 1)(3n ? 2) 2 (3n ? 1)(3n ? 2) 2 3n ? 1 3n ? 2 2

?

1 1 1 1 ? n ?1 ? ? n 3n ? 1 2 3n ? 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 +L ? ? n ?1 ? ? n 2 2 5 2 5 2 8 2 8 2 3n ? 1 2 3n ? 2 2 1 1 1 ? ? ? (n ? N *) ??????11 分 2 3n ? 2 2n 1 1 1 1 ? n ? n ?1 令 f ( n) ? 则 f (n ? 1) ? 3n ? 2 2 3n ? 5 2 Qn ?

f (n ? 1) 1 3n ? 2 1 3 ? ? (1 ? ) ?1 f ( n) 2 3n ? 5 2 3n ? 5
f (n ? 1) ? f (n) f (n) 对 n ? N * 递减
1 f (1) ? 10
则 Qn ?

(Qn ) min ? 2 5

1 1 4 2 ? ? ? 2 10 10 5
??????14 分

-9-


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