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云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第3讲


第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

第3讲

二项式定理

第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

1.二项式定理 (1)定理
0 n 1 n- 1 k n- k k n n * C a + C a b +?+ C a b +?+ C b ( n ∈ N n n n n (a+ b) = __________________________________________) .

n

(2)通项

Cna b 第 k+1 项为: Tk+ 1= ____________ .

k n- k k

(3)二项式系数
Cn (k= 0, 1, 2,?, n) . 二项展开式中各项的二项式系数为: ___________________
k

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

2.二项式系数的性质

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

1.辨明三个易误点
k n k k (1)通项 Tk+1=Cn a b 是展开式的第 k+1 项, 不是第 k 项.


(2)(a+b)n 与(b+a)n 虽然相同,但具体到它们展开式的某一 项时是不相同的, 所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的 位置不能颠倒. (3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系 数”等概念,注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含 符号,二项式系数仅指 Ck n(k=0,1,?,n).
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

2.二项展开式系数最大项的求法 如求 (a+ bx)n(a,b∈ R)的展开式系数最大的项,一般是采用 待定系数法,设展开式各项系数分别为 A1, A2,?, An+1,
? ?Ak ≥ Ak- 1, 且第 k 项系数最大,应用? 从而解出 k 来,即得. ?Ak ≥ Ak+ 1, ?

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

1. (2015· 高考陕西卷 )二项式(x+ 1) (n∈ N+ )的展开式中 x 的系数为 15,则 n= ( B ) A. 7 C. 5 B. 6 D. 4

n

2

r 解析: (x+ 1)n=(1+ x)n, (1+ x)n 的通项为 Tr +1= Cr x n ,令 r

= 2,则 C2 n= 15,即 n( n- 1) = 30.又 n>0,得 n= 6.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

7 1 ? 展开式的第 4 项等于 5,则 x 等于( B ) x - 2.已知? ? x? 1 1 A. B.- 7 7

C. 7

D.- 7

3 1 1 3 4? ? - 解析:由 T4= C7x ? =5 得 x=- ,故选 B. x? 7

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

10 2 10 3. 已知 (2- x) = a0+ a1 x+ a2 x +?+ a10 x , 则 a8 等于 ( A )

A. 180 C. 45
2 8 解析:由题意得 a8= C8 102 (- 1) = 180.

B.- 180 D.- 45

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

4.(选修23 P31例2(1)改编)(1+2x)7的展开式的第4项为 280x3 . ________
解析: (1+ 2x) 的展开式的第 4 项是
7 -3 3 T3 +1= C3 × 1 × (2 x ) 7 3 3 = C3 × 2 × x 7 7

= 35× 8x3 = 280x3.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

5 a 2 ? 的展开式中, x 的系数是- 10,则实数 x - 5.在二项式? ? x? 1 a 的值为 ________ .

解析: Tr +1= Cr5(x2 )5 -r·

r a ?- ? = (- a)rCr5· x10- 3r. ? x?

3 当 10- 3r= 1 时, r= 3,于是 x 的系数为(- a)3 C3 =- 10 a , 5

从而由已知得 a= 1.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

考点一

二项展开式中的特定项或特定项的系数 (高频考点 )

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点, 也是高考命题 的热点,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度不大, 多为容易题或中档题. 高考对二项式定理的考查主要有以下 三个命题角度: (1)求展开式中的某一项; (2)求展开式中的项的系数或二项式系数; (3)由已知条件求 n 的值或参数的值.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

5 a ? ? (1)(2015· 高考湖南卷 )已知 x- 的展开式中 ? ? x



3 x2的项的系数为

30,则 a= ( D ) B.- 3 D.- 6
6

A. 3 C. 6

n 1 ? ? (2)(2016· 山西省第三次四校联考 )若?x + 的展开式中 ? x x

含有常数项,则 n 的最小值等于( C ) A. 3 C. 5 B. 4 D. 6
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

5-2r - a 5-2r ?r r 5- r ? r r 2 [解析](1)Tr+1=C5( x) ·? ? =C5(-a) x ,由 = 2 ? x?

3 ,解得 r=1.由 C1 5(-a)=30,得 a=-6. 2
r 15 1 ? r 6 n-r? r 6n- r (2)因为 Tr+1=Cn(x ) =Cnx 2 ,当 Tr+1 是常数项 x x ? ?

时,6n-

15 5 r=0,即 n= r,故 n 的最小值为 5. 2 4

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

与二项展开式有关问题的解题策略 (1)求展开式中的第 n 项, 可依据二项式的通项直接求出第 n 项. (2)求展开式中的特定项,可依据条件写出第 r+1 项,再由 特定项的特点求出 r 值即可. (3)已知展开式的某项, 求特定项的系数, 可由某项得出参数 项,再由通项写出第 r+ 1 项,由特定项得出 r 值,最后求 出其参数 .

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

1.(1)(2015· 高考全国卷Ⅰ )(x + x+ y) 的展开式 中, x y 的系数为 ( C ) A. 10 C. 30 B. 20 D. 60
5 2

2

5

? x- 1 ?8 3 ? (2)? 的展开式中的有理项共有 ________ 项. 4 ? 2 x?

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

解析: (1)法一:(x + x+ y) =[(x + x)+ y] , 含 y 的项为 T3= C5 (x + x) · y . 其中 (x + x) 中含 x 的项为 C3x · x= C3 x . 所以 x y 的系数为 C5 C 3 = 30.故选 C. 法二: (x2+ x+ y)5 为 5 个 x2+ x+ y 之积,其中有两个取 y,
2 1 两个取 x2,一个取 x 即可,所以 x5 y2 的系数为 C2 C 5 3 C 1= 30. 5 2 2 1 2 3 5 1 4 1 5 2 2 2 3 2

2

5

2

5

故选 C.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

-1 ?r ? ? x- 1 ?8 r 8-r (2)? 的展开式的通项为 T ·? 4 ? = ? +1=C8( x) r 4 2 x? ? ?2 x?
16-3r r 1 ?- ? Cr 4 x (r=0,1,2,?,8),为使 Tr+1 为有理项,r 8 ? 2?

必须是 4 的倍数,所以 r=0,4,8,故共有 3 个有理项,分
0 1 1?4 4 35 0 4 4 ? ? ? 别是 T1=?-2? C8x =x ,T5=?-2? C8x= x,T9= 8 8 1 1 -2 ?- ? C8 ? 2? 8x =256x2.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

考点二 二项式系数或各项系数和
n 2 ? 的展 x + (1)(2016· 辽宁省五校高三联考 )若? 2 ? x ?

开式中只有第六项的二项式系数最大, 则展开式的常数项是 ( B ) A. 360 B. 180 C. 90 D. 45 (2)(2016· 安徽省“江南十校”联考 )若(x+ 2+m )9= a0+ a1(x

+ 1)+ a2(x+ 1)2+?+ a9(x+ 1)9,且(a0 + a2+?+ a8 )2- (a1 + a3+?+ a9) = 3 ,则实数 m 的值为( A. 1 或- 3 C. 1
2 9

A)
B.- 1 或 3 D.- 3
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

[解析](1)展开式中只有第 6 项的二项式系数最大,则展开式 总共 11 项,所以 n=10,通项为 Tr+1=Cr 10( x)
5 r r 5- r C102 x 2 ,所以 10-r
r 2 ? 2 = ·? ?x ?

r=2 时,常数项为 180.

(2)令 x=0,得到 a0+a1+a2+?+a9=(2+m)9,令 x=-2, 得到 a0-a1+a2-a3+?-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39, 即 m2+2m=3,解得 m=1 或-3.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

本例 (2)变为:若(x+ 2+m )9 = a0+ a1 (x- 1)+ a2 (x- 1) +?+ a9(x- 1) , 且 (a0+ a2+?+ a8 ) - (a1+ a3+? -1或-5 2 9 + a9) = 3 ,则实数 m 的值为_____________.
2 9 2

解析:令 x= 2,得到 a0+ a1+ a2 +?+ a9= (4+m ) ,令 x= 0, 得到 a0 - a1+ a2- a3+?- a9=(m+ 2) , 所以有 (4+m) (m + 2) = 3 ,即 m + 6m+ 5= 0,解得 m=-1 或- 5.
9 9 2 9 9

9

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

赋值法的应用 (1)形如 (ax+ b)n, (ax2+ bx+ c)m(a, b, c∈ R)的式子求其展 开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令 x=1 即可. (2)对形如 (ax+ by)n(a, b∈ R)的式子求其展开式各项系数之 和,只需令 x= y= 1 即可. (3)若 f(x)= a0+ a1 x+ a2 x2+?+ anxn, 则 f(x)展开式中各项系 数 之 和 为 f(1) , 奇 数 项 系 数 之 和 为 a0 + a2 + a4 + ? = f( 1)+ f(- 1) ,偶数项系数之和为 a1 + a3 + a5 +?= 2 f( 1)- f(- 1) . 2
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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

n 3 ? 的展开式中,各项系数 x + 2.(1)在二项式? ? x?

之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 A+ B= 72,则 n

3 = ________ .
(2)若 (1+ 2x)n(其中 n∈ N 且 n≥ 6)的展开式中 x3 与 x4 项的二

672x5 . 项式系数相等,则系数最大的项为 ________

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

解析:(1)(赋值法)由题意可知,B= 2n,令 x= 1,得 A= 4n, 由 A+ B= 72,得 4 + 2 = 72,即 2 = 8,n= 3. (2)由于 x 与 x 项的二项式系数相等,则 n= 7,所以 Tk +1
k = Ck (2 x ) , 7 k k k+ 1 k+ 1 ? C 2 ≥ C , 13 ? 7 7 2 16 ? 由 k k ≤ k≤ ,所以 k= 5,所以系数最 k- 1 k- 1 得 ?C7 2 ≥ C7 2 , 3 3 ? 3 4 n n n

大的项为 C7 (2x) = 672x .

5

5

5

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

考点三 二项式定理的应用 设 a∈ Z, 且 0≤ a< 13, 若 51 则 a=( D ) A. 0 C. 11 B. 1 D. 12
2 016

+a 能被 13 整除,

0 2 016 1 2 015 [解析]512 016+a=(52-1)2 016+a=C2 52 - C 52 016 2 016 015 2 +?+C2 × 52 × ( - 1) 2 016 015 2 016 2 +C2 × ( - 1) 016 016

+a.因为 52

016 2 016 能被 13 整除,所以只需 C2 × ( - 1) +a 能被 13 整除, 2 016

即 a+1 能被 13 整除,所以 a=12.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

(1)利用二项式定理解决整除问题时, 关键是进行合理地变形 构造二项式, 应注意: 要证明一个式子能被另一个式子整除, 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一 个式子整除即可. (2)求余数问题时,应明确被除式 f(x)与除式 g(x)(g(x)≠ 0), 商式 q(x)与余式的关系及余式的范围.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

3.求证: 3n>(n+ 2)· 2n- 1 (n∈ N*, n>2).

证明: 因为 n∈ N* ,且 n>2, 所以 3n= (2+ 1)n 展开后至少有 4 项. (2+ 1) = 2 + Cn· 2 + 1>2 + n· 2
n n n- 1 n n 1 n- 1

+?+ Cn · 2+ 1≥ 2 + n· 2
n- 1

n- 1

n

n- 1

+ 2n

= (n+ 2)· 2
*



故 3 >(n+ 2)· 2

n- 1

(n∈ N , n>2).

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

交汇创新 ——与二项式定理有关的交汇问题 (2016· 湖 北 省 黄 冈 中 学 调 研 ) 设 函 数 f(x) = 1 ? ? ?? - 2x? , x< 0, ? ?x 则 x> 0 时, f[f(x)]表达式的展开式中的 ? ?- x, x≥ 0,
6

-160 . (用数字作答 ) 常数项为 ________

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

6 1 ? ? [解析] 根据题意得:当 x>0 时, f[f(x)]= - + 2 x , ? x ?

1 6 -r r 6 -r r r- 3 所以其通项为 Tr+ 1= C6 (- x- ) · (2x2)r= Cr ( - 1) 2x , 6 2 当 r= 3 时,得到 f[f(x)]表达式的展开式中的常数项为 C3 6× (- 1)6- 3× 23=- 160.

1

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题,解 决本题的关键是当 x>0 时, 将 f[f(x)]的表达式转化为二项式. (2)二项式定理作为一个工具, 也常与其他知识交汇命题, 如 与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等.因此在一些 题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识,其解题 的关键点是它们的交汇点,注意它们的联系.

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

n 1 x- ? 1.(2016· 东北三省 三校一联 )设二项式 ? ? 2?

(n∈ N )展开式的二项式系数和与各项系数和分别为 an,bn, a1 + a2+?+ an 则 =( C ) b1 + b2+?+ bn A. 2
n-1

*

+3

B. 2(2 D. 1

n-1

+ 1)

C. 2n+1

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

n 1 x- ? (n∈ N* )展开式的二项式系数和为 2n, 解析:二项式? ? 2? n n n 1 1 1 ? =? ? ,所以 a = 2n, b =? ? ,所以 1 - 各项系数和为? n n ? ? ? 2 ? ?2 ? 2 2×( 1- 2n) n+ 1 a1 + a2+?+ an 1- 2 2 -2 n+1 = = = 2 ,故选 C. n b1 + b2+?+ bn 1 ? ?1 ? ? 1 × ?1-? ? ? 1- n 2 2 2 1 1- 2

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

5 ? 2 1 2.(2016· 邢台摸底考试)已知 a=? cos xdx,则?ax2 - ? ? x? ?- π 2

π

-40 . 的二项展开式中 x 的系数为 ________

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第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布

?2 5 5 1 1 ? 2 2 ? = ?2x - ? 的展开 ax - 解析:依题意得 a= sin x? π = 2,? ? x? ? x? - ? 2
式的通项
r 2 5- r Tr+ 1= C5 ·(2x ) · r 1 5 -r r 10- 3r ?- ? = Cr · 2 · ( - 1) · x . 5 ? x?

π

2 3 令 10- 3r= 1 得 r= 3.因此所求系数等于 C3 × 2 × ( - 1) =- 40. 5

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