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2016高考数学二轮专题复习 数学思想方法的贯通应用 第4讲 转化与化归思想-求解数学问题最常用的方法课件 文


?第二部分

提能增分篇

突破一 数学思想方法的贯通应用

第4讲 转化与化归思想——求解数学 问题最常用的方法

1.转化与化归思想的含义 (1)化归思想,就是在处理问题时,把较复杂的问题,通过某 种途径的转化归结为一类常规且比较容易解决的问题, 最终解决 原问题. (2)转化与化归包括:①新知识向旧知识的转化;②复杂问题 向简单问题的转化;③局部与整体的相互转化;④特殊与一般的 相互转化;⑤等式与不等式的相互转化;⑥正面与反面的转化.

2.转化与化归思想应遵循以下五个原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我 们运用熟悉的知识、经验来解决. (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问 题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和 依据. (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符 合数与形内部所表示和谐统一的形式,或者转化命题,使其推演 有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.

(4)直观化原则: 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来 解决. (5)正难则反原则: 当问题正面讨论遇到困难时, 可考虑问题 的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.

3.转化与化归思想中常见的转化方法 (1)直接转化法: 把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或 基本图形问题. (2)换元法: 运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本 问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系,通过互相变换获得转化途径.

(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题, 达到化归的目的. (5)特殊化方法: 把原问题的形式向特殊化形式转化, 并证明 特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法: “构造”一个合适的数学模型, 把问题变为易于 解决的问题. (7)坐标法: 以坐标系为工具, 用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定.

(9)参数法: 引进参数, 使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结 果看做集合 A, 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U, 能过解决全集 U 及补集?UA 获得原问题的解决, 体现了正难则反 的原则.

一、具体与抽象、特殊与一般的转化 [典例 1] (2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和

为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

[审题策略] (1)利用 an+1=Sn+1-Sn 的关系构造方程组可得 到证题的结论. (2)根据等差数列的定义,由所给出的递推关系求出 a1,a2, a3 的值,利用 2a2=a1+a3 可先确定 λ 的取值,再回归到一般性 的证明求解中.

解:(1)证明:由题设知, anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减,得 an+1(an+2-an)=λan+1, 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设知,a1=1,a1a2=λS1-1, 解得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. 故 an+2-an=4,

由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1= 4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列.

名师说法 当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、 分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,然后推广 到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过 程,这就是特殊化的化归策略. 数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时 需要把一般问题化归为特殊问题, 有时需要把特殊问题化归为一 般问题.

[即时应用] 1.(2015· 东北三省三校联合模拟)设双曲线的一个焦点为 F, 虚轴的一个端点为 B ,焦点 F 到一条渐近线的距离为 d ,若 |FB|≥ 3d,则双曲线离心率的取值范围是( A.??1, 2?? C.(1,3]
? ?

)

B.?? 2,+∞?? D.[ 3,+∞)

?

?

答案:A

x2 y2 ? ? 解析:不妨设双曲线方程为a2-b2=1??a>0,b>0??,则准线方 b ? bc ? 2 2 2 2 ? ? FB 程为 y=± x , b + c ,所以 d = = b ,所以 b + c ? ?= a a2+b2 c ≥ 3b,得 c ≥2 c -a ?,所以 e=a≤ 2.又因为 e>1,所以 e∈
2
? ? ?

2

2? ?

? ? ?

1, 2??.故选 A.

?

二、数与形、平面与空间的转化 [典例 2] (2015· 江西南昌一模) 如图 AC 是圆 O 的直径,B,D 是圆 O 上两点,AC=2BC= 2CD=2,PA⊥圆 O 所在的平面,PA= 3,点 M 在线段 BP 上, 1 且 BM=3BP.

(1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求异面直线 BP 与 CD 所成角的余弦值.
解:(1)证明:如图,作 ME⊥AB 于 E,连接 CE,∴ME∥AP. ①

∵AC 是圆 O 的直径,AC=2BC=2CD=2, ∴AD⊥DC,AB⊥BC, ∴∠BAC=∠CAD=30° ,

∠BCA=∠DCA=60° ,AB=AD= 3, 1 1 3 3 BE BM=3BP,∴BE=3BA= 3 ,tan∠BCE=BC= 3 , ∴∠BCE=∠ECA=30° =∠CAD,∴EC∥AD. 又 ME∩CE=E,PA∩DA=A, ∴平面 MEC∥平面 PAD,CM?平面 MEC, CM?平面 PAD. ∴CM∥ 平面 PAD.

(2)如图,过点 A 作平行于 BC 的直线交 CD 的延长线于 G,

作 BF∥CG,连接 PF, 则∠PBF 为异面直线 BP 与 CD 所成的角,令∠PBF=θ.

AF=1,PB= 6,BF=2,PF=2. PB2+BF2-PF2 6+4-4 6 cos θ= = =4. 2PB· BF 2 6×2 6 故异面直线 BP 与 CD 所成角的余弦值为 4 .

名师说法 (1)本题主要考查了线线、线面、面面平行的定义、性质与判 定,解题的关键是掌握线性平行、线面平行、面面平行的相互转 化. (2) 考查了两条异面直线所成的角的转化方法 ——作平行线 化空间角为平面角.

[即时应用] 2. (2015· 江西师大附中期末)圆锥 PO 如图①所示, 图②是它 的主视图. 已知圆 O 的直径为 AB, C 是圆周上异于 A, B 的一点, D 为 AC 的中点.





(1)求该圆锥的侧面积 S; (2)求证:平面 PAC⊥平面 POD; (3)若∠CAB=60° , 在三棱锥 A-PBC 中, 求点 A 到平面 PBC 的距离.

解:(1)由主视图可知圆锥的高 PO= 2,圆 O 的直径为 AB =2,故半径 r=1. ∴圆锥的母线长 PB= PO2+OB2= ? 2?2+12= 3, ∴圆锥的侧面积 S=πrl=π×1× 3= 3π. (2)证明:连接 OC,∵OA=OC,D 为 AC 的中点, ∴OD⊥AC.∵PO⊥圆 O,AC?圆 O,∴PO⊥AC. 又 OD∩PO=O, ∴AC⊥平面 POD.又 AC?平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 POD.

(3)∵AB 是直径,∴∠ACB=90° ,又∠CAB=60° ,∴S△CAB 3 3 2 2 = 2 ,V= 3 利用等体积法可求出距离 d= 3 .

三、函数、方程与不等式之间的转化 [典例 3] (2014· 银川模拟)已知函数 f(x)=x2+bsin x-2(b∈ R),F(x)=f(x)+2,且对任意实数 x,恒有 F(x-5)=F(5-x), (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x 在区间(0,1)上单调, 求实数 a 的取值范围; 1 (3)函数 h(x)=ln(1+x2)-2f(x)-k 有几个零点?

[审题策略]

(1)由 F(x-5)=F(5-x)可知 F(x)为偶函数,故

可确定 b 的取值. (2)由不等式恒成立可转化为 a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2+ 2x)在(0,1)上恒成立,故可构造函数求最值确定 a 的范围. (3)结合函数单调性确定出极值,由数形结合可求得结论.

解:(1)由题设,得 F(x)=x2+bsin x, ∵F(x-5)=F(5-x),∴F(-x)=F(x), ∴x2-bsin x=x2+bsin x, ∴bsin x=0 对于任意实数 x 恒成立,

∴b=0,故 f(x)=x2-2. (2)由(1)得,g(x)=f(x)+2(x+1)+aln x=x2+2x+aln x, a 故 g′(x)=2x+2+x (x>0),又 g(x)在(0,1)上单调, 只需 g′(x)≥0 或 g′(x)≤0 在(0,1)上恒成立即可,

即 2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 恒成立, ∴a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立. 记 μ(x)=-(2x2+2x),0<x<1,可知-4<μ(x)<0, ∴{a|a≥0 或 a≤-4}. 1 (3)令 y=ln(1+x )-2f(x),
2

?x+1?x?x-1? 2x 则 y′= -x=- . 1+x2 1+x2 令 y′=0,则 x=-1,0,1,列表如下.

x y′ y

(-∞, -1) + 单调 递增

-1 0 极大值 1 ln 2+2

(-1, 0) - 单调 递减

0 0 极小 值1

(0,1) + 单调 递增

1 0 极大值 1 ln 2+2

(1, +∞) - 单调 递减

1 ∴k>ln 2+2时,无零点; 1 k<1 或 k=ln 2+2时,有两个零点; k=1 时,有三个零点; 1 1<k<ln 2+2时,有四个零点.

名师说法 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决 方程、 不等式的问题需要函数的帮助, 解决函数的问题需要方程、 不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式间的转化与化归 可以将问题化繁为简, 常常将不等式的恒成立问题转化为函数的 最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题; 将方程的求解问题转化为函数的零点问题、 两个函数图象的交点 问题等.

[即时应用] 3 . 设 函 数 f(x) = x - 1 , 对 任 意
2

?3 ? ?x? x ∈ ?2,+∞? , f ?m? - ? ? ? ?

4m2f(x)≤f(x - 1) + 4f(m) 恒 成 立 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ________.
? 答案:? ?-∞,- ? ? ? 3? ? ? 3 ? ∪ ,+∞ ? ? 2? ? ? 2 ?

?x? 解析: 解法一: 不等式化为 f(x-1)+4f(m)-f?m?+4m2f(x)≥0, ? ?
2 x 即(x-1)2-1+4m2-4-m2+1+4m2x2-4m2≥0,

? ? 1 2 2 整理得?1-m2+4m ?x -2x-3≥0, ? ?

2x +3 1 2 因为 x >0,所以 1-m2+4m ≥ x2 .
2

?3 ? 2x+3 设 g(x)= x2 ,x∈?2+∞?. ? ?

?3 ? 1 2 于是题目化为 1-m2+4m ≥g(x),对任意 x∈?2,+∞?恒成 ? ?

立的问题.
?3 ? 2x+3 为此需求 g(x)= x2 ,x∈?2,+∞?的最大值. ? ?

1 2 设 u=x ,则 0<u≤3. 函数 g(x)=h(u)=3u +2u 2 u=3处取得最大值.
2

? 2? 在区间?0,3?上是增函数,因而在 ? ?

?2? 4 2×2 8 h?3?=3×9+ 3 =3, ? ?

1 8 2 所以 1-m2+4m ≥g(x)max=3, 整理得 12m4-5m2-3≥0,即(4m2-3)(3m2+1)≥0, 3 3 所以 4m -3≥0,解得 m≤- 2 或 m≥ 2 ,
2

因此实数 m 的取值范围是
? ? ? ? ? 3 ? ,+ ∞ ?. 2 ?

? m∈? ?-∞,- ?

3? ? ∪ 2? ?

解法二:不等式化为

?x? f(x-1)+4f(m)-f?m?+4m2f(x)≥0, ? ?

2 x 即(x-1)2-1+4m2-4-m2+1+4m2x2-4m2≥0,

? ? 1 2 2 整理得?1-m2+4m ?x -2x-3≥0. ? ?



? ? 1 2 2 F(x)=?1-m2+4m ?x -2x-3. ? ?

由于 F(0)=-3<0,则其判别式 Δ>0, 因此 F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点,
?3 ? ?3? 所以为使 F(x)≥0 对任意 x∈?2,+∞?恒成立, 必须使 F?2?为 ? ? ? ?

最小值, 1 ? 2 1 - + 4 m >0, 2 ? m 即实数 m 应满足? ? ? ?F?3?≥0, ? ?2?

3 解得 m2≥4, 因此实数 m 的取值范围是
? ? ? ? ? 3 ? ,+ ∞ ?. 2 ? ? m∈? ?-∞,- ?

3? ? ∪ 2? ?

四、正与反的相互转化 [典例 4] 若对于任意 t∈[1,2],函数 g(x)=x
3

?m ? +? 2 +2?x2- ? ?

2x 在区间 (t,3) 上总不为单调函数,则实数 m 的取值范围是 ________.
? 37 ? 答案:?- 3 ,-5? ? ?

解析:g′(x)=3x2+(m+4)x-2,若 g(x)在区间(t,3)上总为 单调函数,则①g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0 在(t,3) 上恒成立. 2 由①得 3x +(m+4)x-2≥0,即 m+4≥x -3x 在 x∈(t,3)上
2

2 恒成立,∴m+4≥ t -3t,t∈[1,2]恒成立,则 m+4≥-1, 即 m≥-5;

2 由②得 m+4≤x -3x 在 x∈(t,3)上恒成立, 2 37 则 m+4≤3-9,即 m≤- 3 . ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为 37 - 3 <m<-5.

名师说法 否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再 取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形, 则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单,因此,间接法多 用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.

[即时应用] 4. 已知函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1, 在区间[-1,1] 上至少存在一个实数 c 使 f(c)>0 ,则实数 p 的取值范围是 ________.
? 3? 答案:?-3,2? ? ?

解析:设所求 p 的范围为 A,则?IA={p|在[-1,1]上函数 f(x) =4x2-2(p-2)x-2p2-p+1≤0},注意到函数的图象开口向上,
2 ? ? ?? ?f?1?=-2p -3p+9≤0, ∴?IA=?p?? 2 ? f ? - 1 ? =- 2 p +p+1≤0 ? ? ??

? ? ? ? ?

? ? ? 3 ? ? = p p≤-3或p≥2 ? ? ?

? ? ?, ? ? ? ? ?. ? ?



? ? ? 3 ? ? - 3 < p < A= p 2 ? ? ?


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