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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第五章 平面向量 第二课


数学

R B(理)

§5.2 向量的分解与向量 的坐标运算
第五章 平面向量

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.平面向量基本定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个 不平行 的向量,那么 该平面内的任一向量 a, 存在唯一 a2,使 a= a1e1+a2e2 . 的一对实数 a1,

其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 ,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1,e2}的分解式.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b= (x1+x2,y1+y2) ,a-b= λa= (λx1,λy1) ,|a|= (2)向量坐标的求法 ①一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标. → (x -x ,y -y ) ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= 2 1 2 1 , 2 2 → ? x - x ? + ? y - y ? 2 1 2 1 |AB|= .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
2 x1 +y2 1 .

知识回顾 理清教材

(x1-x2,y1-y2)



基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b ? x1y2-x2y1=0 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) ×(3) √ (4)√ (5) × (6) ×

解析

C D

(-3,-5)
1 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

在△ABC 中,点 P 2→ → 是 AB 上一点, 且CP= CA+ 3 1→ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 3 →= 与 CP 的交点为 M,又CM → ,试求 t 的值. tCP

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

在△ABC 中,点 P 2→ → 是 AB 上一点, 且CP= CA+ 3 1→ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 3 →= 与 CP 的交点为 M,又CM → ,试求 t 的值. tCP

→, → 为一 根据题意可选择AB AC → , CP → 线性表 组基底,将 CM → =tCP → 建立 示出来,通过CM 关于 t 的方程组,从而求出 t 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

在△ABC 中,点 P 2→ → 是 AB 上一点, 且CP= CA+ 3 1→ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 3 →= 与 CP 的交点为 M,又CM → ,试求 t 的值. tCP

2→ 1→ → ∵CP= CA+ CB, 3 3 → =2CA → +CB →, ∴3CP → -2CA → =CB → -CP →, 即 2CP
→ =PB →, ∴2AP 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠 近点 A),如图所示.

∵A,M,Q 三点共线, → =xCQ → +(1-x) CA → ∴设CM
x→ → =2CB+(x-1) AC,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

在△ABC 中,点 P 2→ → 是 AB 上一点, 且CP= CA+ 3 1→ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 3 →= 与 CP 的交点为 M,又CM → ,试求 t 的值. tCP

→ → → 而CB=AB-AC, x → x→ → ∴CM= AB+( -1) AC. 2 2 → → → 1→ → 又CP=AP-AC=3AB-AC, → =tCP → 可得,xAB → +(x 由已知CM 2 2 1→ → → -1) AC=t( AB-AC), 3

?x t ?2=3 ∴? ? x -1=-t ?2
思想方法

3 ,解得 t= . 4
练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

在△ABC 中,点 P 2→ → 是 AB 上一点, 且CP= CA+ 3 1→ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 3 →= 与 CP 的交点为 M,又CM → ,试求 t 的值. tCP

平面向量基本定理表明,平 面内的任意一个向量都可用 一组基底唯一表示,题中将 同一向量用同一组基底的两 种形式表示出来,因此根据 表示的“唯一性”可建立方 程组求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 → 1→ 如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一 3 3 2 → → → 点,若AP=mAB+ AC,则实数 m 的值为________ 11 . 11

→ |=y,|PN → |=x, 解析 设|BP 1→ x → → → → 则AP=AN+NP=4AC- BN, x+y y → → → → → AP=AB+BP=AB+ BN, x+y x → y → → ①×y+②×x 得AP= AB+ AC, x+y 4?x+y? y 2 8 3 令 = ,得 y= x,代入得 m= . 3 11 4?x+y? 11
基础知识 题型分类 思想方法

① ②

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知 A(1, -2), B(2,1), C(3,2),D(-2,3), → +2BD → -3BC →; (1)求AD → → → =3CA →, (2)设CM ,CN=-2BC → 及 M、N 点的坐标. 求MN

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知 A(1, -2), B(2,1), C(3,2),D(-2,3), → +2BD → -3BC →; (1)求AD → → → =3CA →, (2)设CM ,CN=-2BC → 及 M、N 点的坐标. 求MN
→、 →、 → (1)直接计算AD BD BC 的坐标,然后运算;

(2)根据向量的坐标相等列 方程求点 M,N 的坐标.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知 A(1, -2), B(2,1), (1)∵A(1,-2),B(2,1),C(3,2), C(3,2),D(-2,3),
D(-2,3),

→ +2BD → -3BC →; (1)求AD → =(-2-2,3-1)=(-4,2), BD → → → =3CA →, (2)设CM ,CN=-2BC → → 及 M、N 点的坐标. 求MN
BC=(3-2,2-1)=(1,1),

→ =(-2-1,3+2)=(-3,5), ∴AD

→ + 2 BD → - 3 BC → = ( - 3,5) + ∴ AD 2(-4,2)-3(1,1) = (-3-8-3,5 +4-3)=(-14,6).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华

→ =3CA → ,CN → =-2BC →, (2) ∵ CM 【例 2】 已知 A(1, -2), B(2,1), → = CN → - CM → = - 2 BC →- ∴ MN

C(3,2),D(-2,3),

→ =-2BC → +3AC →, 3CA

→= → → → 由 A 、 B 、 C 、 D 点坐标可得 AC (1)求AD+2BD-3BC; → → → =3CA → , (3,2)-(1,-2)=(2,4). (2)设CM ,CN=-2BC

→ 及 M、N 点的坐标. 求MN

→ =-2(1,1)+3(2,4)=(4,10). ∴MN
设 M(xM,yM),N(xN,yN).

→ =3CA →, 又CM

→ -OC → =3(OA → -OC → ), ∴OM
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知 A(1, -2), B(2,1), C(3,2),D(-2,3),

∴(xM, yM)- (3,2)= 3[(1 ,- 2) -(3,2)]=(-6,-12).

∴xM=-3,yM=-10,

→ +2BD → -3BC →; ∴M(-3,-10). (1)求AD → → 又 CN =- 2 BC , → → =3CA,CN → =-2BC →, (2)设CM → 及 M、N 点的坐标. 求MN

→ -OC → =-2BC →, 即ON

∴(xN,yN)-(3,2)=-2(1,1),
∴xN=1,yN=0, ∴N(1,0).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 已知 A(1, -2), B(2,1), C(3,2),D(-2,3), → +2BD → -3BC →; (1)求AD → → → =3CA →, (2)设CM ,CN=-2BC → 及 M、N 点的坐标. 求MN

向量的坐标运算主要是利 用加、减、数乘运算法则 进行.若已知有向线段两 端点的坐标,则应先求出 向量的坐标,解题过程中 要注意方程思想的运用及 正确使用运算法则.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
→ 跟踪训练 2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB= → =b,CA → =c,且CM → =3c,CN → =-2b, a,BC (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → 的坐标. (3)求 M、N 的坐标及向量MN

解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ?-6m+n=5, ∴? ? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, 解得? ? ?n=-1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
→= 跟踪训练 2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB → =b,CA → =c,且CM → =3c,CN → =-2b, a,BC (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → 的坐标. (3)求 M、N 的坐标及向量MN
→ =OM → -OC → =3c, (3)设 O 为坐标原点,∵CM → =3c+OC → =(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). ∴OM → =ON → -OC → =-2b, 又∵CN → =-2b+OC → =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴ON

∴N(9,2). → =(9,-18). ∴MN
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 向量共线的坐标表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】

(1)已知梯形 ABCD,

其中 AB∥CD,且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2), 则点 D 的坐标为________. (2)已知向量 a=(3,1), b=(1,3), c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k= ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 向量共线的坐标表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】

(1)已知梯形 ABCD,

其中 AB∥CD,且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2), 则点 D 的坐标为________. (2)已知向量 a=(3,1), b=(1,3), c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k= ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

(1) 根据向量共线列式求 相关点的坐标;
(2)根据向量共线求参数.

题型分类·深度剖析
题型三 向量共线的坐标表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】

(1)∵在梯形 ABCD 中, DC=2AB, → =2AB →. 其中 AB∥CD,且 DC=2AB, ∴DC
设点 D 的坐标为(x,y), 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2), → =(4,2)-(x, 则DC y)=(4-x,2-y), → =(2,1)-(1,2)=(1,-1), 则点 D 的坐标为________. AB

(1)已知梯形 ABCD,

(2)已知向量 a=(3,1), b=(1,3), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),
即(4-x,2-y)=(2,-2),

c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k= ________.
基础知识 题型分类

? ?4-x=2 ∴? ? ?2-y=-2

? ?x=2 ,解得? ? ?y=4



故点 D 的坐标为(2,4).
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 向量共线的坐标表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】

(1)已知梯形 ABCD,

其中 AB∥CD,且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2),

(2) 依题意得 a - c = (3,1) - (k,7)=(3-k,-6),
又∵(a-c)∥b,

则点 D 的坐标为________. (2)已知向量 a=(3,1), b=(1,3), c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k= ________.
基础知识 题型分类

3-k -6 故 1 = 3 ,
∴k=5.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 向量共线的坐标表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】

(1)已知梯形 ABCD,

其中 AB∥CD,且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2),

(2) 依题意得 a - c = (3,1) - (k,7)=(3-k,-6),
又∵(a-c)∥b,

3-k -6 (2)已知向量 a=(3,1), b=(1,3), 故 1 = 3 ,

(2,4) . 则点 D 的坐标为________

c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=

∴k=5.

5 ________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 向量共线的坐标表示
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 3】

(1)已知梯形 ABCD,

(1)两平面向量共线的充要条件 有两种形式:①若 a= (x1,y1), b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条 件 是 x1y2 - x2y1 = 0 ; ② 若 a∥b(a≠0),则 b=λa.
判定两向量平行, 也可以由平行

其中 AB∥CD,且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2),

(2,4) . 则点 D 的坐标为________

(2)已知向量 a=(3,1), b=(1,3), (2)向量共线的坐标表示既可以 c=(k,7),若(a-c)∥b,则 k=
求参数. 当两向量的坐标均非零 时, 也可以利用坐标对应成比例 来求解.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

5 ________.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为 实数,(a+λb)∥c,则 λ 等于 ( B ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 → =(3,-4),OB → =(6,-3),OC → =(5-m,-3 (2)已知向量OA -m),若点 A、B、C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是 ________.
解析 (1)∵a=(1,2),b=(1,0),

∴a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2), 由于(a+λb)∥c,且 c=(3,4),

1 ∴4(1+λ)-6=0,解得 λ=2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为 实数,(a+λb)∥c,则 λ 等于 ( B ) 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 → =(3,-4),OB → =(6,-3),OC → =(5-m,-3 (2)已知向量OA -m),若点 A、B、C 能构成三角形,则实数 m 满足的条件是

1 m≠ . ________ 2

→ → → (2)因为OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m), → → 所以AB=(3,1),BC=(-m-1,-m). → 与BC → 不共线, 由于点 A、B、C 能构成三角形,所以AB

3 1 1 → → 而当AB与BC共线时,有 = ,解得 m= , 2 -m-1 -m 1 故当点 A、B、C 能构成三角形时实数 m 满足的条件是 m≠ . 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列5 忽视平行四边形的多样性致误
典例:(12 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0), (1,-5),求第四个顶点的坐标.

易错分析

规范解答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列5 忽视平行四边形的多样性致误
典例:(12 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0), (1,-5),求第四个顶点的坐标.

易错分析

规范解答

温 馨 提 醒

此题极易出现思维定势,认为平行四边形只有一种情形,在解题 思路中出现漏解.实际上,题目条件中只给出平行四边形的三个 顶点,并没有规定顺序,可能有三种情形.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列5 忽视平行四边形的多样性致误
典例:(12 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0), (1,-5),求第四个顶点的坐标.

易错分析


规范解答

温 馨 提 醒

如图所示,设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y). 2分 → =BC → ,而AD → =(x+1,y), ①若四边形 ABCD 为平行四边形,则AD
1 1 1

→ =(-2,-5). BC
? ?x+1=-2, ? ?x=-3, → → 5分 由AD1=BC,得? ∴? ∴D1(-3,-5). ? ? y =- 5. ? ?y=-5. → → =CD → → ②若四边形 ACD2B 为平行四边形,则AB 2. 而AB=(4,0),CD2=(x-1,y+5).
? ?x-1=4, ∴? ? ?y+5=0. ? ?x=5, ∴? ? ?y=-5.

∴D2(5,-5).

8分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列5 忽视平行四边形的多样性致误
典例:(12 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0), (1,-5),求第四个顶点的坐标.

易错分析
→ =(x+1,y),CB → =(2,5), 而AD 3
? ?x+1=2, ∴? ? ?y=5, ? ?x=1, ∴? ? ?y=5.

规范解答

温 馨 提 醒

→ =CB →. ③若四边形 ACBD3 为平行四边形,则AD 3

∴D3(1,5).

11分

综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为(-3,-5)或(5,-5)或(1,5). 12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列5 忽视平行四边形的多样性致误
典例:(12 分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0), (1,-5),求第四个顶点的坐标.

易错分析

规范解答

温 馨 提 醒

(1)本题考查向量坐标的基本运算,难度中等,但错误率较高,典型错 误是忽视了分类讨论.此外,有的学生不知道运用平行四边形的性质, 找不到解决问题的切入口.
(2)向量本身就具有数形结合的特点, 所以在解决此类问题时, 要注意画 图,利用数形结合的思想求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行 四边形法则,将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中 坐标运算法则是运算的关键.

方 法 与 技 巧

2.平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条 件是 a=λb,这与 x1y2-x2y1=0 在本质上是没 有差异的,只是形式上不同. (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个 向量,然后再按两向量共线进行判定.
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

思想方法·感悟提高

1. 要区分点的坐标和向量的坐标, 向量坐标中包含向量 大小和方向两种信息; 两个向量共线有方向相同、 相

失 误 与 防 范

反两种情况.

2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不 x1 y1 能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应 x2 y2 表示为 x1y2-x2y1=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ =(2,3),CA → =(4,7),则BC → 等于( A ) 1.(2012· 广东)若向量BA A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10)

解析

→ → 由于BA=(2,3),CA=(4,7),

→ =BA → +AC → =(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4). 所以BC

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ =2PC → ,点 Q 是 AC 的 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP → =(4,3),PQ → =(1,5),则BC → 等于 中点,若PA ( B ) A.(-2,7) C.(2,-7) B.(-6,21) D.(6,-21)

→ =3PC → =3(2PQ → -PA → )=6PQ → -3PA → 解析 BC =(6,30)-(12,9)=(-6,21)

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.设向量a,b满足|a|=2 “a∥b”成立的 A.充要条件 C.充分不必要条件
解析

5 ,b=(2,1),则“a=(4,2)”是 ( C ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

若 a=(4,2),则|a|=2 5,且 a∥b 都成立;

因 a∥b,设 a=λb=(2λ,λ),由|a|=2 5,
知 4λ2+λ2=20,

∴λ2=4, ∴λ=± 2, ∴a=(4,2)或 a=(-4,-2). 因此“a=(4,2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.已知 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于( B ) 1 3 1 3 A.- a+ b B. a- b 2 2 2 2 3 1 3 1 C.- a- b D.- a+ b 2 2 2 2

解析

设 c=λa+μb,

∴(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),
? 1 λ= ? ? 2 - 1 = λ + μ ? ∴? , ∴? ? ?2=λ-μ ?μ=-3 2 ?
基础知识 题型分类

1 3 , ∴c= a- b. 2 2
思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.如图,在△ABC中,点D是BC边上靠近B的三等分点,则 → AD等于 ( C ) 2→ 1→ 1→ 2→ A. AB- AC B. AB+ AC 3 3 3 3 2→ 1→ 1→ 2→ C. AB+ AC D. AB- AC 3 3 3 3

→ → → 解析 由平面向量的三角形法则,可得:AD=AB+BD,
又因为点D是BC边上靠近B的三等分点,

→ → 1→ → 1 → → 2→ 1→ 所以AD=AB+ BC=AB+ (AC-AB)= AB+ AC. 3 3 3 3
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.已知 A(-3,0),B(0, 3),O 为坐标原点,C 在第二象限, → → → 1 且∠AOC=30° , OC=λOA+OB, 则实数 λ 的值为________ .

→ =(-3,0),OB → =(0, 3), 解析 由题意知OA → =(-3λ, 3), 则OC 由∠AOC=30° 知以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一

个角为 150° ,

3 3 3 ∴tan 150° = , ∴λ=1. -3λ 即- 3 =- 3λ ,
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7. 已知向量 a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b, v=2a-b, 且 u∥v, 则实数 x
解析
1 的值为________ . 2

因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,

所以 u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因为 u∥v, 所以 3(2x+1)-4(2-x)=0, 即 10x=5, 1 解得 x= . 2
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8.△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p

60° =(a+c, b), q=(b-a, c-a), 且 p∥q, 则角 C=________.
解析 因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
2 2 2 a + b - c 1 2 2 2 所以 a +b -c =ab, = , 2ab 2

1 结合余弦定理知,cos C= , 2
又 0° <C<180° ,
∴C=60° .
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9.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点 C 的坐标.
→ → (1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1). → ∥AC →, ∵A、B、C 三点共线, ∴AB 解析

∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → =2AB →, ∴(a-1, b-1)=2(2, -2), (2)∵AC
? ?a-1=4 ∴? ? ?b-1=-4 ? ?a=5 ,解得? ? ?b=-3

, ∴点 C 的坐标为(5,-3).
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10.如图,G 是△OAB 的重心,P,Q 分别是边 OA、OB 上的 动点,且 P,G,Q 三点共线. → =λPQ → ,将OG → 用 λ,OP → ,OQ → 表示; (1)设PG 1 1 → → → → (2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明: + 是定值. x y → =OP → +PG → =OP → +λPQ → =OP → +λ(OQ → -OP →) (1)解 OG
→ +λOQ →. =(1-λ) OP

→ → → (2)证明 一方面,由(1),得OG=(1-λ) OP+λOQ → +λyOB → ;① =(1-λ)xOA

另一方面,∵G 是△OAB 的重心,
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.如图,G 是△OAB 的重心,P,Q 分别是边 OA、OB 上的 动点,且 P,G,Q 三点共线. → =λPQ → ,将OG → 用 λ,OP → ,OQ → 表示; (1)设PG 1 1 → → → → (2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明: + 是定值. x y 2→ 2 1 → → 1→ 1→ → ∴OG=3OM=3×2(OA+OB)=3OA+3OB. → ,OB → 不共线, 而OA



?1 1 ? ?x =3-3λ, 1 1 ??1-λ?x=3, ∴ + =3(定值). 解得? ∴由①②,得? x y 1 1 ? ?λy= . =3λ. y ? 3 ?
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→ =λa+b,AC → =a+μb,λ, 1.已知 a,b 是不共线的向量,AB μ∈R,那么 A、B、C 三点共线的充要条件为 A.λ+μ=2 C.λμ=-1 B.λ-μ=1 D.λμ=1 ( D )

∵A、B、C 三点共线, → =tAC →, ∴存在实数 t,满足AB 即 λa+b=ta+μtb,又 a,b 是不共线的向量,
? ?λ=t ∴? ? ?1=μt

解析



∴λμ=1.
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→ =2DB → ,CD → =rAB → 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD → ,则 r+s 的值是 +sAC ( D ) 2 4 A. B. C.-3 D.0 3 3 → =AB → -AD →, 解析 ∵DB
1→ → → → → → → ∴CD=AB-DB-AC=AB- CD-AC, 2

3→ → → 2→ 2 → → ∴ CD=AB-AC,∴CD= AB- AC. 2 3 3 2 2 → → → 又CD=rAB+sAC, ∴r= ,s=- , 3 3
∴r+s=0,故选 D.
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1 → 3.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC 2 → ,则实数 a=________. 2 =2CB

解析 → CB=(1-x,4-y),

→ 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),

? ? ?x-7=2?1-x? ?x=3 → → ? , 解得? ∵AC=2CB, ∴ . ∴C(3,3). ? ? ?y-1=2?4-y? ?y=3

1 1 又∵C 在直线 y= ax 上, ∴3= a· 3,∴a=2. 2 2
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2π → → 4.给定两个长度为1的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 . 3 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 AB 上运动. → =xOA → +yOB → ,其中x,y∈R, 若OC 求x+y的最大值.

解析

→ 所在的直线为 x 轴建立平面直 以 O 为坐标原点, OA

角坐标系,

1 3 如图所示,则 A(1,0),B(- , ), 2 2 2π 设∠AOC=α(α∈[0, ]),则 C(cos α,sin α), 3
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2π → → 4.给定两个长度为1的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 . 3 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 AB 上运动. → =xOA → +yOB → ,其中x,y∈R, 若OC 求x+y的最大值.

2π π 又 α∈[0, ],所以当 α= 时,x+y 取得最大值 2. 3 3
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1 ? → → → 由OC=xOA+yOB, ?cos α=x-2y 得? 3 2 3 3 所以 x=cos α+ sin α,y= sin α, ? 3 3 sin α= 2 y ? π 所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sin(α+ ), 6



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→ =OA → +tAB → ,试问: 5.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → =(1,2),AB → =(3,3), 解 (1)∵OA → =OA → +tAB → =(1+3t,2+3t). ∴OP

2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3 ? ?1+3t<0, 2 若点 P 在第三象限,则? 解得 t<- . 3 ? ?2+3t<0.
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→ =OA → +tAB → ,试问: 5.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由.
→ =AB →, (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP
? ?1+3t=3, ∴? ? ?2+3t=3.

∵该方程组无解,
∴四边形 OABP 不能成为平行四边形.
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